Zehnerpotenzen

Hier siehst Du eine positive Zehnerpotenz mit Exponent $4$.$${10}^4$$

Unten siehst Du eine negative Zehnerpotenz mit Exponent $-3$.$${10}^{-3}$$ In diesem Fall ist der Exponent also negativ.

Angenommen, Du hast die Zahl $3475$ und möchtest diese mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen. Dafür kannst Du die oben gelernte Stellenwerttafel zur Hilfe nehmen. In diesem Fall hat die Zahl $4$ Stellen, also brauchst Du eine Stellenwerttafel, die bis zur Tausenderstelle geht.

Hast Du die Zahl eingetragen, so siehst Du genau, welche Stelle mit welcher Zehnerpotenz korrespondiert. Jetzt multiplizierst Du die jeweilige Stelle mit der zugehörigen Zehnerpotenz und addierst diese Produkte.

$$3\cdot {10}^3+4\cdot {10}^2+7\cdot {10}^1+5\cdot {10}^0$$

Zum Schluss kannst Du beispielsweise die ${10}^0$ weglassen. Und so kannst Du die Zahl $3475$ mit Zehnerpotenzen ausdrücken:

$$3475=3\cdot {10}^3+4\cdot {10}^2+7\cdot {10}^1+5$$

Angenommen, Du hast folgende Zehnerpotenzen gegeben und sollst sie zu einer Zahl umschreiben: $8\cdot {10}^6+4\cdot {10}^5+7\cdot {10}^4+3\cdot {10}^2$.

Auch hier kannst Du wieder mit einer Stellenwerttabelle arbeiten. Trage die Koeffizienten in die Spalte mit der passenden Zehnerpotenz ein. Wenn es einen Koeffizienten in der Angabe nicht gibt, so kann diese Zehnerpotenz dargestellt werden, indem sie mit $0$ multipliziert wird.

Jetzt kannst Du die entstandene Zahl in der letzten Zeile einfach abschreiben und schon hast Du Dein Ergebnis.

Zehnerpotenzen – Aufgabe 2

Führe folgende Rechnung auf zwei Arten durch:

$$32\cdot {10}^2+28\cdot {10}^3$$

Lösung

Möglichkeit 1

Als Erstes schreibst Du die Zehnerpotenzen als ganze Zahlen auf.

$$\begin{array}{rl}32\cdot {10}^2& =3200\\ 28\cdot {10}^3& =28000\end{array}$$

Anschließend addierst Du die beiden Zahlen wie gewohnt.

$$3200+28000=31200$$

Möglichkeit 2

Bei der zweiten Möglichkeit musst Du zuerst die beiden Zehnerpotenzen auf den gleichen Exponenten bringen. Dafür kannst Du eine Null der $28$ hinzufügen, sodass sich der Exponent dieser Zehnerpotenz um eins verringert.

$$28\cdot {10}^3\to 280\cdot {10}^2$$

Anschließend kannst Du jetzt die Vorfaktoren addieren und die Zehnerpotenz beibehalten.

$$280\cdot {10}^2+32\cdot {10}^2=(280+32)\cdot {10}^2=312\cdot {10}^2$$

Zehnerpotenzen – Aufgabe 3

Führe folgende Rechnung auf zwei Arten durch:

$$32\cdot {10}^5-28\cdot {10}^2$$

Lösung

Möglichkeit 1

Schreibe zuerst die Zehnerpotenzen als ganze Zahlen auf.

$$\begin{array}{rl}32\cdot {10}^5& =3200000\\ 28\cdot {10}^2& =2800\end{array}$$

Jetzt kannst Du die beiden Zahlen subtrahieren.

$$3200000-2800=3197200$$

Möglichkeit 2

Du kannst aber auch anders vorgehen, indem Du die Exponenten der Zehnerpotenzen angleichst.

$$32\cdot {10}^5\to 32000\cdot {10}^2$$

Dann kannst Du so rechnen, dass Du nur die Vorfaktoren subtrahierst, die Zehnerpotenz beim Ergebnis dann aber mit übernimmst.

$$32000\cdot {10}^2-28\cdot {10}^2=(32000-28)\cdot {10}^2=31972\cdot {10}^2$$

Zehnerpotenzen – Aufgabe 4

Multipliziere die folgenden zwei Werte:

$$3\cdot {10}^2\cdot 4\cdot {10}^3$$

Lösung

Zuerst sortierst Du die Vorfaktoren links in eine Klammer und die Zehnerpotenzen rechts in eine Klammer.

$$3\cdot {10}^2\cdot 4\cdot {10}^3=(3\cdot 4)\cdot ({10}^2\cdot {10}^3)$$

Dann multiplizierst Du die Vorfaktoren wie natürliche Zahlen.

$$(3\cdot 4)\cdot ({10}^2\cdot {10}^3)=12\cdot ({10}^2\cdot {10}^3)$$

Zum Schluss addierst Du jetzt die Exponenten der Zehnerpotenzen.

$$12\cdot ({10}^{2+3})=12\cdot {10}^5$$

Zehnerpotenzen – Aufgabe 5

Führe folgende Division durch:

$$\frac{8\cdot {10}^6}{2\cdot {10}^1}$$

Lösung

Als Erstes sortierst Du wieder die Vorfaktoren links in eine Klammer und die Zehnerpotenzen rechts in eine Klammer.

$$\frac{8\cdot {10}^6}{2\cdot {10}^1}=\left(\frac{8}{2}\right)\cdot \left(\frac{{10}^6}{{10}^1}\right)$$

Anschließend dividierst Du die Vorfaktoren wie natürliche Zahlen.

$$\left(\frac{8}{2}\right)\cdot \left(\frac{{10}^6}{{10}^1}\right)=4\cdot \left(\frac{{10}^6}{{10}^1}\right)$$

Zum Schluss subtrahierst Du dann die Exponenten der Zehnerpotenzen.

$$4\cdot \left({10}^{6-1}\right)=4\cdot {10}^5$$

Zehnerpotenzen – Aufgabe 9

Fasse folgende Rechnung mithilfe von Potenzgesetzen als Zehnerpotenz zusammen: $$25\cdot {10}^2+27\cdot {10}^4-30\cdot {10}^3$$

Lösung

Dadurch, dass es sich hier um Strichrechnungen handelt, müssen die Zehnerpotenzen den gleichen Exponenten haben. In diesem Fall wird der kleinste Exponent, also $2$ genommen.

$$\begin{array}{rl}27\cdot {10}^4& \to 2700\cdot {10}^2\\ 30\cdot {10}^3& \to 300\cdot {10}^2\end{array}$$

Anschließend kannst Du dann die Vorfaktoren addieren bzw. subtrahieren.

$$(25+2700-300)\cdot {10}^2=2425\cdot {10}^2$$

Zehnerpotenzen – Aufgabe 10

Fasse folgende Rechnung mithilfe von Potenzgesetzen als Zehnerpotenz zusammen: $$\frac{8\cdot {10}^6\cdot 11\cdot {10}^5}{2\cdot {10}^2}$$

Lösung

Als Erstes multiplizierst Du beiden Zehnerpotenzen im Zähler, indem Du die Vorfaktoren multiplizierst und ide Exponenten addierst.

$$8\cdot {10}^6\cdot 11\cdot {10}^5=(8\cdot 11)\cdot ({10}^{6+5})=88\cdot {10}^{11}$$

Anschließend dividierst Du dieses Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs. Dafür kannst Du die Vorfaktoren dividieren und die Exponenten subtrahieren.

$$\frac{88\cdot {10}^{11}}{2\cdot {10}^2}=\frac{88}{2}\cdot {10}^{11-2}=44\cdot {10}^9$$