Ableitung Potenzfunktion

Aufgabe 2

Bilde die Ableitung \(f'(x)\) zu folgender Potenzfunktion:

\[f(x) = 3 \cdot x^{\frac{7}{6}}\]

$f\left(x\right)=x^3$

Lösung

Als Erstes zeihst Du wieder den Exponenten vor die Potenz. Dass der Exponent in diesem Fall ein Bruch ist, ändert nichts an Deinem Vorgehen.

\[f(x) = 3 \cdot x^{{\color{#1478c8}\frac{7}{6}}} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, f(x) = 3 \cdot {\color{#1478c8}\frac{7}{6}} \cdot x^{{\color{#1478c8}\frac{7}{6}}}\]

Im nächsten Schritt verkleinerst Du dann den Bruch um \(1\).

\[f'(x) = 3 \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1}\]

Wenn Du jetzt die Rechnung durchführst, musst Du \(1\) als Bruch umschreiben und so erweitern, dass Du die Subtraktion durchführen kannst.

\[f'(x) = 3 \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6} - \frac{6}{6}} = 3 \cdot \frac {7}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}}\]

Jetzt kannst Du noch die Vorfaktoren multiplizieren und schon bist Du fertig.

\[f'(x) = \frac{3}{1} \cdot \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}} = \frac{21}{6} \cdot x^{\frac{1}{6}}\]

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung \(f(x)\) folgender Potenzfunktion:

\[f(x) = 7 \cdot x^\sqrt {6}\]

Lösung

Zuerst wandelst Du die Wurzel in einen Bruch um. Dabei gilt die Regel, dass der Wurzelexponent den Nenner und der Radikand die Basis darstellt. In den Zähler der Potenz wird der Exponent des Radikanden, in diesem Fall also \(1\), geschrieben.

\[\sqrt[2]{6} = 6^{\frac{1}{2}}\]

Im nächsten Schritt kannst Du diese Potenzfunktion ableiten. Du ziehst \(\frac{1}{2}\) also vor die \(6\) und verkleinerst den Exponenten um eins.

\[f(x) = 7 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \, \, \, \, \, \rightarrow \, \, \, \, \, f'(x) =\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6^{\frac{1}{2}-1}\]

Diese Rechnung kannst Du jetzt noch durchführen und dann hast Du schon die Ableitung der Wurzel gebildet.

\begin{align} f(x) &= 7 \cdot x^\sqrt{6} \\[0.2 cm] f'(x) &= 3{,}5 \cdot 6^{-\frac{1}{2}}\end{align}

Aufgabe 4

Leite die folgende Polynomfunktion ab:

\[f(x) = 5x^4 + x^{-2} - 2x + 9\]

Lösung

Du startest damit, die Potenzfunktionen einzeln abzuleiten. Wenn Du, wie hier bei der dritten Potenz, keine Hochzahl siehst, aber ein \(x\) vorhanden ist, so kann das \(x\) auch als \(x^1\) geschrieben werden. Siehst Du kein \(x\), wie beim vierten Summanden, so fällt dieser Faktor beim Ableiten immer weg.

\begin{align} 5 \cdot x^4 \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 20 \cdot x^3 \\ x^{-2} \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, -2 \cdot x^{-3} \\ 2 \cdot x \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 2 \\ 9 \, \, \, \, \, &\rightarrow \, \, \, \, \, 0 \end{align}

Anschließend fügst Du diese Ableitungen wieder mit den Verbindungszeichen aus der gegebenen Funktion zusammen.

\begin{align} f(x) &= {\color{#00dcb4}5x^4} {\color{#1478c8}+} {\color{#fa3273}x^{-2}} {\color{#1478c8}-} {\color{#8363e2}2x} {\color{#1478c8}+} {\color{#ffcd00}9} \\[0.2 cm] f'(x) &= {\color{#00dcb4}20x^3} {\color{#fa3273}-2x^{-3}} {\color{#1478c8}-} {\color{#8362e2}2} {\color{#1478c8}+} {\color{#ffcd00}0}\end{align}

Nach der h-Methode berechnet sich die Ableitung einer Funktion durch:

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$

Die allgemeine Form setzt Du in die Gleichung ein.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}\end{array}$

Du kannst die binomische Formel nicht eindeutig berechnen, da Du nicht weißt, welchen Wert n hat. In der Berechnung der Ableitung mit der h-Methode am Anfang und in der Idee der Herleitung fällt auf, dass beim Auflösen alle Summanden, die zwischen dem ersten und letzten Summanden stehen, ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n+n·x^{n-1}·h+\cdots +n·x·h^{n-1}+h^n-x^n}{h}\end{array}$

Nun kannst Du $x^n$ voneinander abziehen. Im Zähler stehen also nur Summanden, die ein h enthalten, welches Du ausklammern kannst.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{n·x^{n-1}·h+\cdots +n·x·h^{n-1}+h^n}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{h·\left(n·x^{n-1}+\cdots +h^{n-1}\right)}{h}\end{array}$

Jetzt kannst Du im Zähler und Nenner das h wegkürzen und die Grenzwertsätze anwenden. Da h nur noch im Zähler ist, kannst Du das einsetzen. Somit fällt jeder Summand weg, außer dem Ersten.

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }(n·x^{n-1}+\dots )=n·x^{n-1}$