Allgemeine Logarithmusfunktion

Allgemeinen Logarithmusfunktion – Erklärung

Doch was genau sagt die Logarithmusfunktion aus?

Schau dir nun dazu erst einmal ein Beispiel an.

Mathematisch definiert sieht das dann so aus:

Weil aus $y={\log }_b\left(x\right)$ die Gleichung $b^y=x$ folgt, kannst du dir die beiden Folgerungen des Logarithmus' merken.

$b^{{\log }_b\left(x\right)}=x\mathrm{und}{\log }_b\left(b^y\right)=y$

Logarithmus berechnen

Um mit dem Logarithmus zu rechnen, gibt es verschiedene Rechenregeln. Dazu kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.

Sonderfälle der Logarithmusfunktion

Bei der Logarithmusfunktion gibt es drei Sonderfälle. Einmal für die Basis $b=e$, einmal für $b=10$ und für $b=1$.

Basis b=e

Wenn die Basis $b$ der Eulerschen Zahl e entspricht, kann die allgemeine Logarithmusfunktion wie folgt umgeschrieben werden.

Basis b=10

Wenn die Basis $b$ der Zahl $10$ entspricht, wird oftmals die Basis $b$ weggelassen.

Basis b=1

In der Definition der Logarithmusfunktion wurde die Basis $b=1$ bereits ausgeschlossen.

Betrachte dazu erst einmal das folgende Schaubild.

Abbildung 2: Funktion mit b=1

Wie du siehst, ergibt sich aus der Basis $b=1$ eine Senkrechte mit der Gleichung $x=1$. Doch warum ist das so?

Was passiert, wenn du die Zahl $1$ mit $5$, $11$ oder $31$ potenzierst?

$\begin{array}{rcl}{1}^5& =& 1\\ 1^{11}& =& 1\\ 1^{31}& =& 1\end{array}$

Du erhältst wieder die Zahl $1$. Egal, mit welcher Zahl du die Zahl $1$ potenzierst, das Ergebnis ist immer $1$.

Rechnerisch lässt sich dies wie folgt beschreiben.

$f\left(x\right)=y={\log }_{\mathbf{1}}\left(x\right)\stackrel{dasbedeutet}{\to }{1}^y=x=1$

Da es sich bei der Gleichung $x=1$ um keine Funktionsgleichung handelt, weil einem $x-\mathrm{Wert}$ mehrere $y-\mathrm{Werte}$zugeordnet werden, muss der Wert $b=1$ ausgeschlossen werden.

Allgemeinen Logarithmusfunktion – Eigenschaften

Die allgemeine Logarithmusfunktion besitzt, wie alle anderen Funktionen auch, gewisse Eigenschaften.

Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion hängt eng mit der allgemeinen Exponentialfunktion zusammen. Das kommt daher, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist und umgekehrt.

Mathematisch lautet das wie folgt.

Klingt etwas umständlich? Dann schau dir dazu direkt einmal ein kleines Beispiel an.

Logarithmusfunktion – Definitionsbereich

Du weißt bereits von der Definition des allgemeinen Logarithmus', dass für $x$ lediglich positive Werte eingesetzt werden dürfen. Damit ergibt sich folgender Definitionsbereich für die allgemeine Logarithmusfunktion.

$D_f={\mathrm{ℝ}}^{+}$

Logarithmusfunktion – Wertebereich

Da die allgemeine Logarithmusfunktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, besitzt sie folgenden Wertebereich.

$W_f=\mathrm{ℝ}$

Logarithmusfunktion – Nullstellen

Als Nächstes kannst du die Nullstellen der allgemeinen Logarithmusfunktion bestimmen.

Dazu musst du die Funktionsgleichung $f\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)$ gleich $0$ setzen.

$f\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)=0$

Wendest du nun die Umkehrfunktion an, erhältst du folgenden Ausdruck.

${\log }_b\left(x\right)=0\stackrel{Umkehrfunktion}{\to }{b}^0=x$

Löst du diese Gleichung voll auf, erhältst du folgende Nullstelle.

$\begin{array}{rcl}x& =& b^0\\ x& =& 1\end{array}$

Damit ergibt sich folgende Definition.

Es besitzt also jede Logarithmusfunktion die Nullstelle $x=1$, egal welche Basis $b$ sie besitzt.

Logarithmusfunktion – Monotonie

Die Monotonie der allgemeinen Logarithmusfunktion hängt von der Basis $b$ ab.

Dieses Verhalten kannst du dir auch am folgenden Beispiel verdeutlichen.

Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion

Im Folgenden lernst du die Ableitung der Logarithmusfunktion kennen.

Allgemein gilt für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

Schau dir dazu diese Übung an, um die Ableitung besser zu verstehen.

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Halten wir kurz noch mathematisch fest, was für die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ gilt.