Differentialquotient

Differentialquotient Grundwissen – Wiederholung Tangente, Differenzenquotient und

Damit Du nachvollziehen kannst, was der Differentialquotient ist und warum er eine wichtige Rolle spielt, ist bestimmtes Grundwissen nötig.

Wiederholung Tangente

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt, jedoch nicht schneidet. In diesem Punkt P besitzt die Kurve die gleiche Steigung wie die Tangente.

Wiederholung Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung $m$ der Sekante zwischen zwei Punkten $A(a|f(a))$ und $B(b|f(b))$ auf dem Graphen einer Funktion $f$. Sie kann mit dem sogenannten Differenzenquotienten berechnet werden: $$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Differenzenquotient und Differentialquotient

Der Differenzenquotient bildet eine Basis für den Differentialquotienten. Rücken die Punkte $A$ und $B$ immer näher aneinander, so wird das Intervall immer kleiner. Das Ziel ist es, die Sekante zu einer Tangente werden zu lassen, die nur einen Punkt $P$ der Funktion berührt, um dort die lokale Änderungsrate bestimmen zu können.

Differentialquotient berechnen

Wie genau der Differentialquotient definiert ist, wie Du ihn berechnest und was das mit der sogenannten h-Methode zu tun hat, erfährst Du jetzt.

Lokale Änderungsrate und Differentialquotient Definition

Der Differentialquotient beschreibt die lokale bzw. momentane Änderung einer Funktion in einem Punkt $P$.

Das kann zum Beispiel so aussehen:

Abb. 1 – Tangentensteigung als lokale Änderung

Differentialquotient Formel

Der Differentialquotient kann als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet werden. Der Differenzenquotient für ein Intervall $[x_0,x]$ lautet $$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Lässt Du nun $x$ gegen $x_0$ laufen, wird das Intervall unendlich klein.

Wäre nun eine Funktion bekannt, die die zurückgelegte Strecke des Autos aus obigem Beispiel zu den einzelnen Zeitpunkten darstellt, so könntest Du mit ihr und dem Differentialquotienten die genaue Geschwindigkeit bestimmter Zeitpunkte ausrechnen.

Differentialquotient Ableitung

Der Differentialquotient spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik: Bestimmst Du den Differentialquotienten einer Funktion, so bestimmst Du ihre Ableitung.

Differentialquotient h-Methode

Die genaue Berechnung der Ableitung ist mit der bisher bekannten Formel des Differentialquotienten eher unpraktisch. Daher wird die sogenannte „h-Methode“ genutzt. Hier wird im Differentialquotienten das $x$ durch $x_0+h$, wofür dann der Grenzwert $h⟶0$ berechnet wird.

Hier kann also für $x_0$ ein konkreter Wert eingesetzt und der Differentialquotient direkt ausgerechnet werden.

Mithilfe des Differentialquotienten kann nicht nur die Ableitung an einer bestimmten Stelle $x_0$ bestimmt werden. Du kannst auch die gesamte Ableitungsfunktion bestimmen, sofern sie existiert.

Differentialquotient Beispiel mit Lösung

Nach so viel Theorie kannst Du Dir hier Anwendungsbeispiele des Differentialquotienten mit Lösung ansehen.

Berechne nun einmal die Ableitung einer gesamten Funktion, ohne dass eine bestimmte Stelle gegeben ist.

Differentialquotient Aufgaben

Jetzt bist Du dran! Überprüfe hier Dein Wissen zum Differentialquotienten und der lokalen Änderungsrate!