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Ein Auto fährt aus der Einfahrt und auf eine Landstraße. Es fährt 15 Minuten und legt insgesamt 12 Kilometer Strecke hinter sich, wobei es unterwegs mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fährt. Wie schnell fährt es genau zu Beginn der zweiten Minute?
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Leg kostenfrei losBewerte folgende Aussage: Der Differentialquotient ist eine andere Bezeichnung für den Differenzenquotient.
Bewerte folgende Aussage: Der Differentialquotient \(f^\prime\left(x_0\right)\) an der Stelle \(x_0\) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(x \longrightarrow x_0\): \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]
Entscheide, ob mithilfe des Differentialquotienten die Ableitungsfunktion einer Funktion berechnet werden kann.
Bewerte folgende Aussage:Mit dem Differentialquotienten wird die mittlere Änderungsrate berechnet.
Entscheide, welche Art von Gerade im direkten Zusammenhang mit der lokalen Änderung steht?
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Team Differentialquotient Lehrer
Wie Du vielleicht bereits weißt, kannst Du die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf der Strecke mithilfe des Differenzenquotienten berechnen. Doch kann die Geschwindigkeit des Autos in einem bestimmten Zeitpunkt bestimmt werden? Dies ist mit dem sogenannten Differentialquotienten möglich.
In dieser Erklärung lernst Du alles Wichtige zum Differentialquotienten, zur Ableitung und h-Methode sowie zur Berechnung des Differentialquotienten.
Damit Du nachvollziehen kannst, was der Differentialquotient ist und warum er eine wichtige Rolle spielt, ist bestimmtes Grundwissen nötig.
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in einem Punkt P berührt, jedoch nicht schneidet. In diesem Punkt P besitzt die Kurve die gleiche Steigung wie die Tangente.
Mehr Wissenswertes über Tangenten findest Du in der Erklärung Tangente.
Die mittlere Änderungsrate beschreibt die Steigung \(m\) der Sekante zwischen zwei Punkten \(A(a|f(a))\) und \(B(b|f(b))\) auf dem Graphen einer Funktion \(f\). Sie kann mit dem sogenannten Differenzenquotienten berechnet werden: \[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Weitere Erklärungen sowie Beispielrechnungen zum Differenzenquotienten kannst Du Dir in der Erklärung mittlere Änderungsrate ansehen.
Der Differenzenquotient bildet eine Basis für den Differentialquotienten. Rücken die Punkte \(A\) und \(B\) immer näher aneinander, so wird das Intervall immer kleiner. Das Ziel ist es, die Sekante zu einer Tangente werden zu lassen, die nur einen Punkt \(P\) der Funktion berührt, um dort die lokale Änderungsrate bestimmen zu können.
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleiner werdendes Intervall.
Wie genau der Differentialquotient definiert ist, wie Du ihn berechnest und was das mit der sogenannten h-Methode zu tun hat, erfährst Du jetzt.
Der Differentialquotient beschreibt die lokale bzw. momentane Änderung einer Funktion in einem Punkt \(P\).
Die lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung \(m\) der Tangente an die Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) auf dem Graphen. Sie kann mit dem sogenannten Differentialquotienten berechnet werden.
Das kann zum Beispiel so aussehen:
Abb. 1 – Tangentensteigung als lokale Änderung
Der Differentialquotient kann als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet werden. Der Differenzenquotient für ein Intervall \([x_0,x]\) lautet \[m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\] Lässt Du nun \(x\) gegen \(x_0\) laufen, wird das Intervall unendlich klein.
Der Differentialquotient \(f^\prime\left(x_0\right)\) an der Stelle \(x_0\) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(x \longrightarrow x_0\): \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]
Wäre nun eine Funktion bekannt, die die zurückgelegte Strecke des Autos aus obigem Beispiel zu den einzelnen Zeitpunkten darstellt, so könntest Du mit ihr und dem Differentialquotienten die genaue Geschwindigkeit bestimmter Zeitpunkte ausrechnen.
Der Differentialquotient spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik: Bestimmst Du den Differentialquotienten einer Funktion, so bestimmst Du ihre Ableitung.
Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt \(P\left(x_0|f(x_0)\right)\). Sie wird mit dem Differentialquotienten bestimmt.
Mithilfe des Differentialquotienten lässt sich überprüfen, ob eine Funktion eine Ableitung besitzt und damit differenzierbar ist.
Eine Funktion \(f\) ist genau dann an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, wenn an dieser Stelle eine Ableitung \(f^\prime(x_0)\) existiert.
Wie Du die Differenzierbarkeit von Funktionen genau überprüfst, erfährst Du in der Erklärung Differenzierbarkeit.
Die genaue Berechnung der Ableitung ist mit der bisher bekannten Formel des Differentialquotienten eher unpraktisch. Daher wird die sogenannte „h-Methode“ genutzt. Hier wird im Differentialquotienten das \(x\) durch \(x_0+h\), wofür dann der Grenzwert \(h \longrightarrow 0\) berechnet wird.
Die h-Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung der Ableitung \(f^\prime\) einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\). Die Formel dafür lautet: \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\]
Hier kann also für \(x_0\) ein konkreter Wert eingesetzt und der Differentialquotient direkt ausgerechnet werden.
Mithilfe des Differentialquotienten kann nicht nur die Ableitung an einer bestimmten Stelle \(x_0\) bestimmt werden. Du kannst auch die gesamte Ableitungsfunktion bestimmen, sofern sie existiert.
Die Ableitungsfunktion \(f^\prime(x)\) einer Funktion \(f(x)\) kann mithilfe des Differentialquotienten hergeleitet werden: \[f^\prime\left(x\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x + h\right)-f\left(x\right)}{h}\]
Nach so viel Theorie kannst Du Dir hier Anwendungsbeispiele des Differentialquotienten mit Lösung ansehen.
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3x^2\) an der Stelle \(x_0=3\).
Zunächst setzt Du also \(x_0=3\) in den Differentialquotienten ein. Hier bietet sich die h-Methode an: \begin{align} f^\prime\left(x_0\right)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0 + h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\\[0.3cm] f^\prime(3)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(3 + h)-f(3)}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3 \cdot (3+h)^2-3\cdot3^2}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h^2+18h+27-27}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h^2+18h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, 3h+18 \\[0.2cm]&=18\end{align}
Die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0=3\) ist also \(f^\prime(3)=18\).
Berechne nun einmal die Ableitung einer gesamten Funktion, ohne dass eine bestimmte Stelle gegeben ist.
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3x+7\).
Hier setzt Du ebenfalls wieder in den Differentialquotienten ein, nur dass anstelle des konkreten Wertes ein \(x\) stehen bleibt: \begin{align} f^\prime(x)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3(x+h)+7-(3x+7)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3x+3h+7-3x-7}{h}\\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} 3 \\[0.2cm] &=3\end{align}
Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) lautet \(f^\prime(x)=3\).
Falls Du Dir ansehen möchtest, wie Du mit Grenzwerten rechnest, kannst Du Dir das in der Erklärung Grenzwerte ansehen.
Jetzt bist Du dran! Überprüfe hier Dein Wissen zum Differentialquotienten und der lokalen Änderungsrate!
Aufgabe 1
Entscheide, welche der folgenden Geraden dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph von \(f\) im Punkt \(P\) besitzt.
a)
Abb. 2 – Gerade t
b)
Abb. 3 – Gerade s
Lösung
Die Gerade \(t\) beschreibt die Steigung von \(f\) im Punkt \(P\), da sie die Tangente im Punkt \(P\) ist. Somit ist a) richtig.
Die Gerade \(s\) dagegen beschreibt die Steigung von \(f\) im Intervall \([p,q]\), da sie die Sekante zwischen den Punkten ist.
Aufgabe 2
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle \(x_0=1\) mit der h-Methode.
Lösung
Setze also \(x_0=1\) in den Differentialquotienten ein: \begin{align}f^\prime(1)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1 + h)-f(1)}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{ (1+h)^3-1^3}{h} \\[0.2cm] &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^3+3h^2+3h+1-1}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h^3+3h^2+3h}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, h^2+3h+3 \\[0.2cm]&=3\end{align}
Die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0=3\) ist also \(f^\prime(1)=3\).
Aufgabe 3
Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=2x^2\) mit der h-Methode.
Lösung
Hier setzt Du die Funktion wieder in den Differentialquotienten ein, nur dass anstelle des konkreten Wertes ein \(x\) stehen bleibt: \begin{align} f^\prime(x)&=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^2-2x^2}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2x^2+4hx+2h^2-2x^2}{h}\\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4hx+2h^2}{h} \\[0.2cm] &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \, 4x+2h \\[0.2cm] &=4x\end{align}
Die Ableitung von \(f(x)\) lautet also \(f^\prime(x)=4x\)
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Was hat die Ableitung mit dem Differentialquotienten zu tun?
Der Differentialquotient einer Funktion bildet die erste Ableitung dieser Funktion. Ableitungen von Funktionen können also mithilfe des Differentialquotienten berechnet werden.
Wann benutzt man den Differenzenquotient und wann denn Differentialquotient?
Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten der Funktion. Dies ist die mittlere Änderungsrate. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein immer kleiner werdendes Intervall dieser zwei Punkte und ist damit die lokale Änderungsrate.
Was berechnet man mit dem Differentialquotient?
Mit dem Differentialquotienten wird die lokale Änderungsrate berechnet. Sie beschreibt die Steigung m der Tangente an die Funktion f im Punkt P auf dem Graphen.
Wie geht die h-Methode?
Die genaue Berechnung der Ableitung ist mit der ursprünglichen Formel des Differentialquotienten eher unpraktisch. Daher wird die sogenannte „h-Methode“ genutzt. Hier wird im Differentialquotienten das x durch x₀+h, wofür dann der Grenzwert h ⟶ 0 berechnet wird.
Die Ableitung entspricht dabei also folgender Formel: f'(x)=(f(x+h)-f(x)):h, wobei h gegen 0 läuft.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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