Differenzierbarkeit

Wenn Du folgende Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ gegeben hast, kannst Du an die Stelle $x_0=1$ eine Tangente anlegen.

Dies sieht wie folgt aus.

Abb. 1 - Differenzierbarkeit an einer Stelle.

Zudem kannst Du mit Hilfe der Potenzregel die Ableitung bilden.

Es ergibt sich damit von der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ die folgende Ableitung.

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Die Ableitung an der Stelle $x_0=1$ lautet damit wie folgt.

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Da an der Stelle $x_0=1$ eine Ableitung existiert und Du somit eindeutig eine Tangente anlegen kannst, ist die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ an dieser Stelle differenzierbar.

Aus dem vorherigen Beispiel ergibt sich folgendes Schaubild der Ableitung $f^{\prime }(x)$ mit $f^{\prime }(x)=2x$ von der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$.

Abb. 2 - Differenzierbarkeit im gesamten Definitionsbereich.

Da damit, ohne Einschränkungen, eine Ableitung $f^{\prime }(x)$ im gesamten Definitionsbereich $D_f=(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ existiert, ist die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ differenzierbar.

Wenn Du die Funktion $f(x)$ mit $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ gegeben hast, kannst Du deren Definitionsbereich bestimmen.

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$$

Das Schaubild der Funktion $f(x)$ sieht folgendermaßen aus.

Abb. 3 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Obwohl Du hier beim Zeichnen den Stift absetzen musst, ist diese Funktion stetig. Dies liegt daran, dass die Stelle $x_0=0$ nicht im Definitionsbereich $D_f$ der Funktion $f(x)$ enthalten ist. Innerhalb des Definitionsbereichs für $x<0$ und $x>0$ kannst Du den Graphen ohne Unterbrechung zeichnen.

Da also für alle Stellen $x_0$ im Definitionsbereich $D_f$ eine Ableitung existiert, ist die Funktion in ihrem Definitionsbereich differenzierbar.

Der Differentialquotient der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ lautet wie folgt.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x_0+h{)}^2-{x_0}^2}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cancel{{x_0}^2}+2\cdot x_0\cdot h+h^2\cancel{-{x_0}^2}}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\cdot x_0\cdot \cancel{h}+h\cancel{{}^2}}{\cancel{h}}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}2\cdot x_0+h\end{array}$$

Wendest Du nun die Grenzwertgesetze an, so erhältst Du folgenden Ausdruck.$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}2\cdot x_0+\underset{h\to 0}{lim}h$$

Lässt Du nun $h$ gegen $0$ laufen, so ist der erste Ausdruck unabhängig von $h$ und der zweite ergibt $0$.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =2\cdot x_0+0\\ f^{\prime }(x_0)& =2\cdot x_0\end{array}$$

Damit ist die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2$ differenzierbar.

Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ lässt sich in zwei bzw. drei verschiedene Funktionen überführen. Für $x<0$ entspricht es der Funktion $g_1(x)=-x$, während sie für $x>0$ der Funktion $g_2(x)=x$ entspricht. Dies lässt sich auch folgendermaßen schreiben.

$$f(x)=\{\begin{array}{lll}-x& ,& x<0\\ 0& ,& x=0\\ x& ,& x>0\end{array}$$

Der Graph der Betragsfunktion $f(x)=|x|$ sieht wie folgt aus.

Abb. 4 - Differenzierbarkeit der Betragsfunktion.

Es lässt sich gut erkennen, dass die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0=0$ einen Knick macht.

Mit Hilfe der Potenzregel lassen sich die Funktionen $g_1(x)$ und $g_2(x)$ ableiten.

$$\begin{array}{rl}{g}_1^{\prime }(x)& =-1\\ g_2^{\prime }(x)& =1\end{array}$$

Damit ergibt sich, dass die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ für $x<0$ und $x>0$.

Doch was ist mit der Stelle $x_0=0$? An dieser muss nun der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten betrachtet werden.

Beim linksseitigen Grenzwert für die Funktion $g_1(x)$ gilt:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0^{-})& =\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ g_1^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{g_1(x_0+h)-g_1(x_0)}{h}\\ g_1^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-(x_0+h)-(-x_0)}{h}\\ g_1^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cancel{-x_0}-h\cancel{+x_0}}{h}\\ g_1^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}-\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ g_1^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}-1=-1\end{array}$$

Beim rechtsseitigen Grenzwert für die Funktion $g_2(x)$ gilt:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0^{+})& =\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ g_2^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{g_2(x_0+h)-g_2(x_0)}{h}\\ g_2^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cancel{x_0}+h\cancel{-x_0}}{h}\\ g_2^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ g_2^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}1=1\end{array}$$

Damit ergeben sich für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert unterschiedliche Werte.

$$g_1^{\prime }(x_0)=-1\ne g_2^{\prime }(x_0)=1$$

Damit ist die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ nicht differenzierbar.

Hier tritt genau der Fall ein, dass an der Stelle $x_0=0$ mehrere Tangenten angelegt werden könnten, die die Funktion $f(x)=|x|$ berühren. Damit ist die Funktion $f(x)=|x|$ an der Stelle $x_0$ nicht differenzierbar und damit ist die Funktion $f(x)$ nicht differenzierbar.

Aufgabe 1

Begründe, weshalb die Funktion $f(x)$ mit

$$f(x)=\{\begin{array}{lll}-3x& ,& x\le 1\\ x-2& ,& x>1\end{array}$$

nicht differenzierbar ist. Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)$ ist $D_f=\mathbb{R}$.

Lösung

Schau Dir dafür zuerst das Schaubild der Funktion $f(x)$ an.

Abb. 5 - Schaubild zur Aufgabe 1.

Es ist zu erkennen, dass die Funktion $f(x)$ einen Sprung bei $x_0=1$ macht und damit der Graph im Definitionsbereich $D_f$ nicht ohne Unterbrechung ist. Dadurch lässt sich am Punkt $x_0=1$ keine Tangente anlegen. Das bedeutet, dass die Funktion $f(x)$ nicht stetig ist und damit auch nicht differenzierbar.

Aufgabe 2

Zeige mit Hilfe des Differentialquotienten, dass die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x-\pi$ differenzierbar ist.

Lösung

Schau Dir wieder zuerst das Schaubild der Funktion $f(x)$ an.

Abb. 6 - Schaubild zur Aufgabe 2.

Anhand des Schaubildes kann erahnt werden, dass die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist. Überprüfe dies nun mit Hilfe des Differentialquotienten.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x_0+h{)}^2+(x_0+h)-\pi -({x_0}^2+x_0-\pi )}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cancel{{x_0}^2}+2\cdot x_0\cdot h+h^2\cancel{+x_0}+h\cancel{-\pi }\cancel{-{x_0}^2}\cancel{-x_0}\cancel{+\pi }}{h}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\cdot x_0\cancel{\cdot h}+h^{\cancel{2}}+\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ f^{\prime }(x_0)& =\underset{h\to 0}{lim}2\cdot x_0+h+1\\ f^{\prime }(x_0)& =2\cdot x_0+1\end{array}$$

Die Ableitung $f^{\prime }(x)$ der Funktion $f(x)$ existiert uneingeschränkt. Damit ist die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x-\pi$ differenzierbar.