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Team Konstante Lehrer
Auch in der Mathematik sind Konstanten wichtig. Sie sind Bestandteile von konstanten linearen Funktionen und sind auch in der Natur von Bedeutung.
Vor allem in der Natur gibt es sehr viele Konstanten, also Zahlen, die immer gleich sind und sich nicht verändern. Einige dieser Naturkonstanten werden in dieser Tabelle aufgelistet:
| Naturkonstante | Wert |
| Lichtgeschwindigkeit \(c\) | \[c=2,998 \cdot 10^8 \frac{m}{s^2}\] |
| Elementarladung \(e\) | \[e=1,602 \cdot 10^{-19} C \] |
| Absoluter Nullpunkt \(T_0\) | \[T_0 =0K=-273,15 ^{\circ}\] |
| Erdbeschleunigung \(g\) | \[g\approx 9,81 \frac{m}{s^2}\] |
Im Umgang mit Funktionen bilden Konstanten den essenziellen Grundbaustein. Sie können folgendermaßen definiert werden.
Eine Konstante ist eine wohldefinierte, unveränderliche Zahl oder ein anderes unveränderliches mathematisches Objekt.
Während Variablen mehrere Werte aus einem Definitionsbereich annehmen können, bleiben Konstanten also immer gleich.
Beispiele für konstante Zahlen sind die Zahlen \(\pi\) und \(e\). Jede feststehende Zahl in der Mathematik ist eine Konstante. Das folgende Beispiel zeigt eine Funktion, die nur aus einer Konstanten besteht.
\[ f(x)={\color{#1478C8}4}\]Die Funktion \(f(x)\) nimmt immer den Wert \({\color{#1478C8}4}\) an, egal welchen Wert \(x\) annimmt.Die Funktion \(f(x)={\color{#1478C8}4}\) ist daher eine konstante Funktion.
Ein weiterer Grundbaustein von Funktionen sind Variablen.
Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.
Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie \(a, b, c, x, y, z\) oder mit Symbolen beschrieben.
Variablen und Konstanten unterscheiden sich dadurch, dass Variablen unbekannt und unbestimmt sind, während Konstanten bekannt und bestimmt sind.
Das folgende Beispiel zeigt Dir die Funktionsweise von Konstanten und Variablen im Kontext von Funktionen:
\[ f(x)=2\cdot{\color{#00DCB4}x}+{\color{#1478C8}4}\]Die Variable \({\color{#00DCB4}x}\) ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl, die von Konstanten in bestimmter, unveränderlicher Weise zum Funktionswert \(f(x)\) verändert wird.
Variablen sind also veränderbare Zahlen, während Konstanten gleichbleibende Zahlen sind, die sich immer gleich auf die Funktion auswirken, unabhängig vom für die Variable eingesetzten Wert.
In diesem Abschnitt lernst Du alles, was Du über konstante Funktionen und ihre Ableitung wissen musst. Dafür solltest Du bereits wissen, wie Ableitungen funktionieren und was Funktionen sind.
Schau Dir dazu noch einmal die Erklärungen "..." und "..." genauer an.
Konstante Funktionen sind besondere Arten von linearen Funktionen.
Eine Konstante Funktion enthält nur eine Konstante.
Sie verläuft immer parallel zur x-Achse und besitzt daher die Steigung null. Die Funktionsgleichung lautet: \[f(x)=c\]
Konstante Funktionen verlaufen also immer waagrecht.
Abb. 1 - Konstante Funktionen.
Zusammenfassend haben konstante Funktionen \(f(x)=c\) also folgende Eigenschaften:
Die Konstantenregel der Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung einer konstanten Funktion.
Die Ableitung einer Funktion gibt immer die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle an. Eine konstante Funktion besitzt überall die Steigung \(m=0\). Aus diesem Grund ist die Ableitung einer konstanten Funktion \(f´(x)=0\).
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion \(f(x)=c\) überall \(f'(x)=0\) ist.
Sieh Dir das am besten direkt an einem Beispiel an.
Aufgabe 1
Leite die Funktion \(h(x)=1{,}5\) ab.
Lösung
Die Ableitung der konstanten Funktion \(h(x)\) lautet: \[h´(x)=0\]
Für einzelne Konstanten in jeder Art von Funktion gilt:
Jede Konstante wird zu Null abgeleitet und kann deshalb einfach weggelassen werden.
Nicht nur in konstanten und linearen Funktionen, auch in Funktionen höheren Grades kommen Konstanten vor.
Aufgabe 2
Leite die quadratische Funktion \(f(x)=x^2 + {\color{#1478c8}4,5}\) ab. Achte dabei vor allem auf die Konstante innerhalb der Funktion.
Lösung
Die Funktion wird nach den bekannten Regeln abgeleitet. Die Konstante \(4,5\) wird dabei zu \(0\) und fällt deshalb weg.
\begin{align} f'(x)&=2x+{\color{#1478c8}0} \\ &=2x \end{align}
Nicht nur in der Natur, auch in Mathe gibt es viele Konstanten. Oft genutzte Vertreter sind zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\) und die Eulersche Zahl \(e\).
| Konstante | Wert | Bedeutung |
| \[\pi\] | \[\pi \approx 3,14\] | KreiszahlZum Beispiel zur Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises. |
| \[e\] | \[e \approx 2,72\] | Eulersche ZahlBasis des natürlichen Logarithmus. |
Nachdem Du jetzt so viel über Konstanten weißt, kannst Du Dein gelerntes Wissen mithilfe einiger Aufgaben überprüfen.
Aufgabe 3
Nenne vier Beispiele für Konstanten aus der Natur oder der Mathematik.
Lösung
Aufgabe 4
Leite die Funktion \(h(x)=3\) ab.
Lösung
Die Ableitung dieser konstanten Funktion kann mithilfe der Konstantenregel bestimmt werden. Sie lautet: \[h´(x)=0\]
Aufgabe 5
Welche der folgenden Funktionen sind Konstante Funktionen?
\begin{align}1.)\,f(x)&=2x+4\\2.)f(x)&=2+4\,\\3.)f(x)&=7\\4.)f(x)&=3\end{align}
Lösung
Bis auf die erste Funktion sind alle Funktionen konstant. Die erste Funktion enthält eine Variable und ist somit nicht konstant.
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Was ist eine konstante Gleichung?
Eine konstante Gleichung ist die Gleichung einer konstanten Funktion. Eine Funktion ist immer dann konstant, wenn sie parallel zur x- Achse verläuft. Die konstante Gleichung ist immer f(x) = c.
Welche Konstanten gibt es?
Bei Funktionen gibt es Konstanten und Variablen. Eine Konstante ist dabei eine Zahl, die sich, wenn man die Funktionsgleichung betrachtet, nie verändert.
Warum fällt die Konstante beim Ableiten weg?
Beim ableiten einer Funktion bestimmst du die Steigung dieser Funktion. Da eine Konstante keinen Einfluss auf die Steigung einer Funktion hat, fällt diese beim ableiten weg.
Was bedeutet mathematisch konstant?
Eine Konstante ist in der Mathematik eine unveränderliche Zahl.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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