Konstanten begegnen uns überall: Pünktlich sonntags um 20.15 Uhr startet der Tatort im deutschen Fernsehen. Und auch in der Schule klingelt jeden Tag zur selben Zeit die Schulglocke.
Auch in der Mathematik sind Konstanten wichtig. Sie sind Bestandteile von konstanten linearen Funktionen und sind auch in der Natur von Bedeutung.
Konstante – Bedeutung
Vor allem in der Natur gibt es sehr viele Konstanten, also Zahlen, die immer gleich sind und sich nicht verändern. Einige dieser Naturkonstanten werden in dieser Tabelle aufgelistet:
| Naturkonstante | Wert |
| Lichtgeschwindigkeit \(c\) | \[c=2,998 \cdot 10^8 \frac{m}{s^2}\] |
| Elementarladung \(e\) | \[e=1,602 \cdot 10^{-19} C \] |
| Absoluter Nullpunkt \(T_0\) | \[T_0 =0K=-273,15 ^{\circ}\] |
| Erdbeschleunigung \(g\) | \[g\approx 9,81 \frac{m}{s^2}\] |
Konstante – Definition
Im Umgang mit Funktionen bilden Konstanten den essenziellen Grundbaustein. Sie können folgendermaßen definiert werden.
Eine Konstante ist eine wohldefinierte, unveränderliche Zahl oder ein anderes unveränderliches mathematisches Objekt.
Während Variablen mehrere Werte aus einem Definitionsbereich annehmen können, bleiben Konstanten also immer gleich.
Beispiele für konstante Zahlen sind die Zahlen \(\pi\) und \(e\). Jede feststehende Zahl in der Mathematik ist eine Konstante. Das folgende Beispiel zeigt eine Funktion, die nur aus einer Konstanten besteht.
\[ f(x)={\color{#1478C8}4}\]Die Funktion \(f(x)\) nimmt immer den Wert \({\color{#1478C8}4}\) an, egal welchen Wert \(x\) annimmt.Die Funktion \(f(x)={\color{#1478C8}4}\) ist daher eine konstante Funktion.
Konstante – Variable
Ein weiterer Grundbaustein von Funktionen sind Variablen.
Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.
Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie \(a, b, c, x, y, z\) oder mit Symbolen beschrieben.
Variablen und Konstanten unterscheiden sich dadurch, dass Variablen unbekannt und unbestimmt sind, während Konstanten bekannt und bestimmt sind.
Das folgende Beispiel zeigt Dir die Funktionsweise von Konstanten und Variablen im Kontext von Funktionen:
\[ f(x)=2\cdot{\color{#00DCB4}x}+{\color{#1478C8}4}\]Die Variable \({\color{#00DCB4}x}\) ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl, die von Konstanten in bestimmter, unveränderlicher Weise zum Funktionswert \(f(x)\) verändert wird.
Variablen sind also veränderbare Zahlen, während Konstanten gleichbleibende Zahlen sind, die sich immer gleich auf die Funktion auswirken, unabhängig vom für die Variable eingesetzten Wert.
Konstante – lineare Funktion
In diesem Abschnitt lernst Du alles, was Du über konstante Funktionen und ihre Ableitung wissen musst. Dafür solltest Du bereits wissen, wie Ableitungen funktionieren und was Funktionen sind.
Schau Dir dazu noch einmal die Erklärungen "..." und "..." genauer an.
Konstante Funktion
Konstante Funktionen sind besondere Arten von linearen Funktionen.
Eine Konstante Funktion enthält nur eine Konstante.
Sie verläuft immer parallel zur x-Achse und besitzt daher die Steigung null. Die Funktionsgleichung lautet: \[f(x)=c\]
Konstante Funktionen verlaufen also immer waagrecht.
Abb. 1 - Konstante Funktionen.
Zusammenfassend haben konstante Funktionen \(f(x)=c\) also folgende Eigenschaften:
- Sie haben einen linearen Verlauf.
- Sie verlaufen parallel zur x-Achse.
- Ihre Steigung ist in jedem Punkt \(0\).
- Die Ableitung ist immer \(f'(x)=0\).
Konstantenregel
Die Konstantenregel der Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung einer konstanten Funktion.
Die Ableitung einer Funktion gibt immer die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle an. Eine konstante Funktion besitzt überall die Steigung \(m=0\). Aus diesem Grund ist die Ableitung einer konstanten Funktion \(f´(x)=0\).
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion \(f(x)=c\) überall \(f'(x)=0\) ist.
Sieh Dir das am besten direkt an einem Beispiel an.
Aufgabe 1
Leite die Funktion \(h(x)=1{,}5\) ab.
Lösung
Die Ableitung der konstanten Funktion \(h(x)\) lautet: \[h´(x)=0\]
Konstante ableiten
Für einzelne Konstanten in jeder Art von Funktion gilt:
Jede Konstante wird zu Null abgeleitet und kann deshalb einfach weggelassen werden.
Nicht nur in konstanten und linearen Funktionen, auch in Funktionen höheren Grades kommen Konstanten vor.
Aufgabe 2
Leite die quadratische Funktion \(f(x)=x^2 + {\color{#1478c8}4,5}\) ab. Achte dabei vor allem auf die Konstante innerhalb der Funktion.
Lösung
Die Funktion wird nach den bekannten Regeln abgeleitet. Die Konstante \(4,5\) wird dabei zu \(0\) und fällt deshalb weg.
\begin{align} f'(x)&=2x+{\color{#1478c8}0} \\ &=2x \end{align}
Konstante – Mathe
Nicht nur in der Natur, auch in Mathe gibt es viele Konstanten. Oft genutzte Vertreter sind zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\) und die Eulersche Zahl \(e\).
| Konstante | Wert | Bedeutung |
| \[\pi\] | \[\pi \approx 3,14\] | KreiszahlZum Beispiel zur Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises. |
| \[e\] | \[e \approx 2,72\] | Eulersche ZahlBasis des natürlichen Logarithmus. |
Konstante – Beispiel und Aufgaben
Nachdem Du jetzt so viel über Konstanten weißt, kannst Du Dein gelerntes Wissen mithilfe einiger Aufgaben überprüfen.
Aufgabe 3
Nenne vier Beispiele für Konstanten aus der Natur oder der Mathematik.
Lösung
- Lichtgeschwindigkeit
- Elementarladung
- \(\pi\)
- Eulersche Zahl \(e\)
Aufgabe 4
Leite die Funktion \(h(x)=3\) ab.
Lösung
Die Ableitung dieser konstanten Funktion kann mithilfe der Konstantenregel bestimmt werden. Sie lautet: \[h´(x)=0\]
Aufgabe 5
Welche der folgenden Funktionen sind Konstante Funktionen?
\begin{align}1.)\,f(x)&=2x+4\\2.)f(x)&=2+4\,\\3.)f(x)&=7\\4.)f(x)&=3\end{align}
Lösung
Bis auf die erste Funktion sind alle Funktionen konstant. Die erste Funktion enthält eine Variable und ist somit nicht konstant.
Konstante – Das Wichtigste
- Eine Konstante ist eine unveränderliche Größe.
- Es gibt viele festgelegte Konstanten in der Mathematik und in der Natur.
- Eine Konstante Funktion hat die Funktionsgleichung \[f(x)=c\].
- Eine Konstante Funktion verläuft immer parallel zu der x-Achse
- Eine Konstante Funktion hat immer die Steigung \(m=0\)
- Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer Konstanten Funktion \(f(x)=c\) immer \(f'(x)=0\) ist.
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