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In dieser Erklärung lernst Du, was eine Exponentialfunktion ist, wie ihre Formel und Eigenschaften lauten, was die natürliche Exponentialfunktion ist und wie man eine Exponentialfunktion ableitet und löst. Außerdem erfährst Du, wie sich exponentielles Wachstum mit der Exponentialfunktion beschreiben lässt.
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Leg kostenfrei losWas ist die allgemeine Form einer Exponentialfunktion?
Wo liegt der y-Achsenabschnitt bei der Funktion f(x) = a · b^x + d?
Was ist der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 2 · 3^x + 1?
Wie berechnet man den Zerfallsfaktor b bei einer Halbwertszeit?
Wie lautet die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x?
Was beschreibt der Parameter 'a' in der Exponentialfunktion?
Welcher Punkt ist der y-Achsenschnitt für die Funktion f(x) = b^x, wenn a = 1?
Welche Formel beschreibt das exponentielle Wachstum einer Bakterienkultur, die sich in 1 Stunde verdreifacht?
Wie lautet die Ableitungsregel für die Exponentialfunktion f(x) = a · b^g(x)?
Welche Besonderheit hat die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x?
Wie nennt man die Exponentialfunktion mit der Basis e?
Was ist die allgemeine Form einer Exponentialfunktion?
Wo liegt der y-Achsenabschnitt bei der Funktion f(x) = a · b^x + d?
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Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:
\[f(x) = {\color{#1478c8}a} \cdot {\color{#fa3273}b}^{\color{#00dcb4}x}\]
Hierbei gelten folgende Regeln für \({\color{#1478c8}a}\) und \({\color{#fa3273}b}\): \({\color{#1478c8}a} \ne 0~ \text{und}~ {\color{#fa3273}b} \in \mathbb{R^+}\)
Diese Regeln besagen, dass a niemals 0 sein darf und b immer größer als 0 sein muss.
Die Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion \(f(x)= a\cdot b^x\) lauten:
Wenn Du allerdings verschiedenen Werte für \(a\) und \(b\) einsetzt, erhältst Du verschiedene steigende oder fallende Funktionsgraphen der Exponentialfunktion, welche im Folgenden genauer erläutert werden.
| Beispielgraphen für \(a > 0\): | Beispielgraphen für \(a < 0\) |
 |  |
| Beispielgraphen für \(b > 1\) | Beispielgraphen für \(0 < b < 1\) |
 |  |
Weiteres zur grundlegenden Form der Exponentialfunktionen findest Du in der Erklärung "Allgemeine Exponentialfunktion".
Die Ableitung der Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot {\color{#1478c8}b}^{\color{#00dcb4}g(x)}\) ist gegeben durch:
\[\begin{align}f'(x) &= a \cdot {\color{#fa3273}ln(b)}\cdot {\color{#1478c8}b^{g(x)}} \cdot {\color{#00dcb4}g'(x)} \end{align}\]
Das ist die allgemeine Regel, wie Du jede Exponentialfunktion ableitest.
Wende diese Regeln einmal an einem Beispiel an.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
| \(3\cdot 2^x\) | \(3\ln(2)\cdot2^x\) |
| \(4^{3x}\) | \(3\ln(4)\cdot 4^{3x}\) |
Um den Graphen einer Exponentialfunktion zeichnen zu können, musst Du zuerst folgende Eigenschaften bestimmen.
Als Beispiel dient der Graph der Funktion: \[f(x) = {\color{#1478c8}2} \cdot {\color{#00dcb4}3}^{\color{#fa3273}x} + {\color{#8363e2}1}\]
Zunächst solltest Du Dir alle Informationen herausschreiben, die Dir die Funktionsgleichung gibt und weitere Kenngrößen berechnen.
| Schritt | Beschreibung |
| 1. Y-Achsenabschnitt | Der Faktor \({\color{#1478c8}a}\) gibt den y-Achsenabschnitt des Graphen an. Die gegebene Beispielfunktion ist allerdings um den Faktor \({\color{#8363e2}d} = 1\) nach oben verschoben. Dementsprechend ist der y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen bei \({\color{#1478c8}a} + {\color{#8363e2}d} = {\color{#1478c8}2} + {\color{#8363e2}1} = 3\).  |
| 2. Limes | Der Faktor \({\color{#8363e2}d}\) gibt einen Limes der Exponentialfunktion an. Dieser Limes ist für \({\color{#00dcb4}b} > 0\) also: \[\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} (2 \cdot 3^x + {\color{#8363e2}1}) = 1\] |
| 3. Berechnung für \(\lim\limits_{x\to\infty}\) | Berechne dann den zweiten Limes \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)\) (auch Grenzwert genannt). \[\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} (2 \cdot 3^x + 1) = \lim\limits_{x\to\infty} 2 \cdot 3^{100000000} - 1 = \infty\] Wenn Du Deine Kenntnisse zum Limes und seiner Berechnung noch einmal auffrischen möchtest, schau bei der Erklärung "Limes" vorbei. |
| 4. Monotonieberechnung | Für die Berechnung des Monotonieverhaltens benötigst Du die erste Ableitung der Funktionsgleichung. \begin{align}f(x) &= 2 \cdot 3^x + 1 \\ f'(x) &= 2 \cdot ln(3) \cdot 3^x\end{align} Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion findest Du folgendermaßen heraus: Setze einmal Werte größer als 0 und danach Werte kleiner als 0 in die erste Ableitung für x ein. Berechne dadurch, ob das Ergebnis positiv (streng monoton steigend) oder negativ (streng monoton fallend) ist. Überprüfe zuerst x-Werte größer als 0. \[f'(5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^5 \approx 533,93 \text{ } \rightarrow \text{streng monoton steigend}\] Überprüfe danach die x-Werte kleiner als 0. \[f'(-5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^{-5} \approx 0,00904 \text{ } \rightarrow \text{monoton steigend}\] |
| 5. Einzeichnen | Damit hast Du alle nötigen Informationen herausgefunden und kannst den Funktiongraphen in ein Koordinatensystem zeichnen.  |
Am Graphen kannst Du das Berechnete überprüfen.
Im Bereich \(x > 0\) steigt der Graph schneller als im Bereich \(x < 0\). Außerdem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(y = 3\) und der untere Grenzwert bei \(y = 1\).
Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) ist ein Spezialfall der Exponentialfunktion. Diese enthält die Euler'sche Zahl \(e\), weswegen sie natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion genannt wird.
Abbildung 1: Graph einer e-Funktion
Eine wichtige Besonderheit der natürlichen Exponentialfunktion ist, dass die Ableitung der Euler'schen Zahl immer die Euler'sche Zahl selbst ist. Das einzige, was Du sonst ableiten musst, sind mögliche Parameter in der Gleichung.
\[\begin{align} f(x) = e^x \\ f'(x) = e^x\end{align}\]
Eine detaillierte Erklärung findest Du im Artikel zur e-Funktion.
In diesem Abschnitt findest Du noch weitere Aufgaben rund um die Exponentialfunktion.
Beim Reaktorunglück 1986 in Tschernobyl wurden \(26{,}4 \,\text{kg}\) vom radioaktiven Element Cäsium-\(137\), mit einer Halbwertszeit von \(30\) Jahren, in den umliegenden Wäldern verstreut. Das Unglück war im Jahr 2016 genau \(30\) Jahre her. Stelle eine Funktionsgleichung auf und berechne, wie viel Gramm im Jahr 2022 noch vom radioaktiven Stoff übrig ist.
Lösung
Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus. \[\begin{align} a &= 26{,}4 \,\text{kg} = 26\,400 \,\text{g}\\ x &= 36\end{align}\] Der Zerfallsfaktor \(b\) ist nicht gegeben. Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(30\) Jahren halbiert hat. Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu bekommen. \[\begin{align}f(x) = 26\,400 \,\text{g} \cdot b^{30} &= 13\,200 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :26\,400 \,\text{g}\\ b^{30} &= \frac{13\,200 \,\text{g}}{26\,400 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[30]{} \\ b &= \sqrt[30]{\frac{1}{2}} \approx 0,977\end{align}\] Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,977\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die Menge an radioaktivem Material im Jahr 2022 berechnen. \[\begin{align} 26\,400 \,\text{g} \cdot 0,997^x \\ 26\,400 \,\text{g} \cdot 0,977^{36} \approx 11\,424 \,\text{g}\end{align}\] Mit dieser Rechnung hast Du die in 2022 verbliebene Menge an radioaktivem Cäsium-\(137\) berechnet. Es liegen noch \(11\,424\,\text{kg}\) dieses Stoffes in den umliegenden Wäldern Tschernobyls.
Bilde die erste Ableitung der folgenden Exponentialfunktion.
\[f(x) = 2^{3x}\]
Lösung
Bestimmte zuerst, was in der gegebenen Funktionsgleichung den Teilen aus einer allgemeinen Exponentialfunktion entspricht.
\[\begin{align}b &= 2\\\text{Exponent} &= 3x\end{align}\]
Da in der Aufgabe kein Anfangswert \(a\) gegeben ist, wird zuerst die Basis \(b\) abgeleitet.
\[f'(x) = ln(2)\]
Anschließend leitest Du den Exponenten einzeln ab und schreibst ihn als weiteren Faktor hinter die Ableitung der Basis.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 3\]
Dann schreibst Du die nicht abgeleitete Basis inklusive des Exponenten erneut als Faktor hinten an.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 3 \cdot 2^{3x}\]
Zuletzt vereinfachst Du noch die bestehende Rechnung und bist fertig. Den \(ln(2)\) kannst Du so stehen lassen.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 6^{3x}\]
Eine Bakterienkultur wächst in 1 Stunde um das Dreifache an. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind, wenn die Kultur bei 5000 Bakterien gestartet ist.
Lösung
Als Erstes solltest Du die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu hast Du im Text alle nötigen Informationen gegeben.
Der Startwert \(a\) sind 5000 Bakterien. Nach einer Stunde steigt die Bakterienkultur um das Dreifache an. Das heißt, dass der Wachstumsfaktor \(b\) 3 ist. Damit kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^x\]
Nun sollst Du noch berechnen, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind. Dafür setzt Du für x (Zeitvariable) die 6 ein und berechnest die Gleichung.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^6 = 3.645.000\]
Nach 6 Stunden hat sich die Bakterienkultur auf 3.645.000 Bakterien erhöht.
Uran-\(234\) hat eine Halbwertszeit von \(245\,500\) Jahren. Stelle eine Formel auf, welche berechnet, wie viel Gramm einer Probe mit der Masse von \(1\,\text{kg}\) nach der durchschnittlichen Lebensdauer eines Menschen von circa \(80\) Jahre übrig ist.
Lösung
Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.
\[\begin{align} a &= 1 \,\text{kg} = 1\,000 \,\text{g}\\x &= 80\end{align}\]
Der Zerfallsfaktor \(b\) ist hier nicht gegeben.
Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(245\,500\) Jahren halbiert hat.
Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu erhalten.
\[\begin{align}f(x) = 1\,000 \,\text{g} \cdot b^{245\,500} &= 500 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :500 \,\text{g}\\b^{245\,500} &= \frac{500 \,\text{g}}{1\,000 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[245\,500]{} \\b &= \sqrt[245\,500]{\frac{1}{2}} \approx 0,999\,997\end{align}\]
Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,999\,997\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die heutige Menge an radioaktivem Material berechnen.
\[\begin{align} 1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^x \\1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^{80} \approx 999{,}76 \,\text{g}\end{align}\]
Nach \(80\) Jahren sind also noch \(999{,76}\,\text{g}\) dieses Stoffes übrig.
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Wie lautet die Exponentialfunktion?
Eine Exponentialfunktion ist jede Funktion, bei der die Variable im Exponenten einer Zahl steht.
Was sind die Eigenschaften einer Exponentialfunktion?
Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaften:
Was ist der Anfangswert einer Exponentialfunktion?
Der Anfangswert der allgemeinen Exponentialfunktion nähert sich der 0 an, wird aber nie 0.
Wie zeichnet man eine Exponentialfunktion?
Viele Werte, die fürs Zeichnen wichtig sind, kannst Du schon aus der Funktionsgleichung herauslesen. Die restlichen berechnest Du selbst und zeichnest dann auf Grundlage derer die Funktion in ein Koordinatensystem.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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