Exponentialfunktion

Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe

Beim Reaktorunglück 1986 in Tschernobyl wurden $26,4\text{kg}$ vom radioaktiven Element Cäsium-$137$, mit einer Halbwertszeit von $30$ Jahren, in den umliegenden Wäldern verstreut. Das Unglück war im Jahr 2016 genau $30$ Jahre her. Stelle eine Funktionsgleichung auf und berechne, wie viel Gramm im Jahr 2022 noch vom radioaktiven Stoff übrig ist.

Lösung

Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus. $$\begin{array}{rl}a& =26,4\text{kg}=26400\text{g}\\ x& =36\end{array}$$ Der Zerfallsfaktor $b$ ist nicht gegeben. Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach $30$ Jahren halbiert hat. Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach $b$ auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu bekommen. $$\begin{array}{rl}f(x)=26400\text{g}\cdot b^{30}& =13200\text{g}|:26400\text{g}\\ b^{30}& =\frac{13200\text{g}}{26400\text{g}}=\frac{1}{2}|\sqrt[30]{}\\ b& =\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\approx 0,977\end{array}$$ Damit hast Du den Zerfallsfaktor $b$ als $0,977$ berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die Menge an radioaktivem Material im Jahr 2022 berechnen. $$\begin{array}{r}26400\text{g}\cdot 0,{997}^x\\ 26400\text{g}\cdot 0,{977}^{36}\approx 11424\text{g}\end{array}$$ Mit dieser Rechnung hast Du die in 2022 verbliebene Menge an radioaktivem Cäsium-$137$ berechnet. Es liegen noch $11424\text{kg}$ dieses Stoffes in den umliegenden Wäldern Tschernobyls.

Exponentialfunktion ableiten – Aufgabe

Bilde die erste Ableitung der folgenden Exponentialfunktion.

$$f(x)=2^{3x}$$

Lösung

Bestimmte zuerst, was in der gegebenen Funktionsgleichung den Teilen aus einer allgemeinen Exponentialfunktion entspricht.

$$\begin{array}{rl}b& =2\\ \text{Exponent}& =3x\end{array}$$

Da in der Aufgabe kein Anfangswert $a$ gegeben ist, wird zuerst die Basis $b$ abgeleitet.

$$f^{\prime }(x)=ln(2)$$

Anschließend leitest Du den Exponenten einzeln ab und schreibst ihn als weiteren Faktor hinter die Ableitung der Basis.

$$f^{\prime }(x)=ln(2)\cdot 3$$

Dann schreibst Du die nicht abgeleitete Basis inklusive des Exponenten erneut als Faktor hinten an.

$$f^{\prime }(x)=ln(2)\cdot 3\cdot 2^{3x}$$

Zuletzt vereinfachst Du noch die bestehende Rechnung und bist fertig. Den $ln(2)$ kannst Du so stehen lassen.

$$f^{\prime }(x)=ln(2)\cdot 6^{3x}$$

Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe

Eine Bakterienkultur wächst in 1 Stunde um das Dreifache an. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind, wenn die Kultur bei 5000 Bakterien gestartet ist.

Lösung

Als Erstes solltest Du die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu hast Du im Text alle nötigen Informationen gegeben.

Der Startwert $a$ sind 5000 Bakterien. Nach einer Stunde steigt die Bakterienkultur um das Dreifache an. Das heißt, dass der Wachstumsfaktor $b$ 3 ist. Damit kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$$f(x)=5000\cdot 3^x$$

Nun sollst Du noch berechnen, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind. Dafür setzt Du für x (Zeitvariable) die 6 ein und berechnest die Gleichung.

$$f(x)=5000\cdot 3^6=3.645.000$$

Nach 6 Stunden hat sich die Bakterienkultur auf 3.645.000 Bakterien erhöht.

Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe

Uran-$234$ hat eine Halbwertszeit von $245500$ Jahren. Stelle eine Formel auf, welche berechnet, wie viel Gramm einer Probe mit der Masse von $1\text{kg}$ nach der durchschnittlichen Lebensdauer eines Menschen von circa $80$ Jahre übrig ist.

Lösung

Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.

$$\begin{array}{rl}a& =1\text{kg}=1000\text{g}\\ x& =80\end{array}$$

Der Zerfallsfaktor $b$ ist hier nicht gegeben.

Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach $245500$ Jahren halbiert hat.

Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach $b$ auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu erhalten.

$$\begin{array}{rl}f(x)=1000\text{g}\cdot b^{245500}& =500\text{g}|:500\text{g}\\ b^{245500}& =\frac{500\text{g}}{1000\text{g}}=\frac{1}{2}|\sqrt[245500]{}\\ b& =\sqrt[245500]{\frac{1}{2}}\approx 0,999997\end{array}$$

Damit hast Du den Zerfallsfaktor $b$ als $0,999997$ berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die heutige Menge an radioaktivem Material berechnen.

$$\begin{array}{r}1000\text{g}\cdot 0,999{997}^x\\ 1000\text{g}\cdot 0,999{997}^{80}\approx 999,76\text{g}\end{array}$$

Nach $80$ Jahren sind also noch $999,76\text{g}$ dieses Stoffes übrig.