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Exponentialfunktion Formel
Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet:
\[f(x) = {\color{#1478c8}a} \cdot {\color{#fa3273}b}^{\color{#00dcb4}x}\]
- \({\color{#1478c8}a}\) stellt den Anfangswert der Funktion dar.
- \({\color{#fa3273}b}\) ist der Wachstumsfaktor und bestimmt, wie schnell die Funktion wächst oder fällt.
- Die Variable \({\color{#00dcb4}x}\) ist immer im Exponenten des Wachstumsfaktors zu finden.
Hierbei gelten folgende Regeln für \({\color{#1478c8}a}\) und \({\color{#fa3273}b}\): \({\color{#1478c8}a} \ne 0~ \text{und}~ {\color{#fa3273}b} \in \mathbb{R^+}\)
Diese Regeln besagen, dass a niemals 0 sein darf und b immer größer als 0 sein muss.
Exponentialfunktion Eigenschaften
Die Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion \(f(x)= a\cdot b^x\) lauten:
- Definitionsbereich \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
- y-Achsenabschnitt bei \(y = a\)
- streng monoton steigend für \(b> 1\) und streng monoton fallend für \(b< 1\)
- die x-Achse ist eine Asymptote
Wenn Du allerdings verschiedenen Werte für \(a\) und \(b\) einsetzt, erhältst Du verschiedene steigende oder fallende Funktionsgraphen der Exponentialfunktion, welche im Folgenden genauer erläutert werden.
Exponentialfunktion der Form \(f(x) = a \cdot b^x\)
- Der Anfangswert \(a\) gibt den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen vor
- Es gibt zwei Fälle: die Graphen für \(a > 0\) steigen, während Graphen für \(a < 0\) fallen.
| Beispielgraphen für \(a > 0\): | Beispielgraphen für \(a < 0\) |
 |  |
Exponentialfunktion der Form \(f(x) = b^x\)
- Wenn \(a\) den Wert 1 annimmt, wird nur das Wachstum des Graphen betrachtet.
- Der Punkt \(P(0|1)\) ist für \(a=1\) der y-Achsenschnitt jedes Graphen.
| Beispielgraphen für \(b > 1\) | Beispielgraphen für \(0 < b < 1\) |
 |  |
Funktionsgleichung mit Parameter d
- \[f(x) = a \cdot b^x + d\]
- Der Parameter \(d\) verschiebt den Funktionsgraphen in y-Richtung, also nach oben oder unten.
Weiteres zur grundlegenden Form der Exponentialfunktionen findest Du in der Erklärung "Allgemeine Exponentialfunktion".
Exponentialfunktion ableiten
Die Ableitung der Exponentialfunktion \(f(x) = a \cdot {\color{#1478c8}b}^{\color{#00dcb4}g(x)}\) ist gegeben durch:
\[\begin{align}f'(x) &= a \cdot {\color{#fa3273}ln(b)}\cdot {\color{#1478c8}b^{g(x)}} \cdot {\color{#00dcb4}g'(x)} \end{align}\]
Das ist die allgemeine Regel, wie Du jede Exponentialfunktion ableitest.
Wende diese Regeln einmal an einem Beispiel an.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
| \(3\cdot 2^x\) | \(3\ln(2)\cdot2^x\) |
| \(4^{3x}\) | \(3\ln(4)\cdot 4^{3x}\) |
Exponentialfunktion zeichnen
Um den Graphen einer Exponentialfunktion zeichnen zu können, musst Du zuerst folgende Eigenschaften bestimmen.
- Y-Achsenabschnitt
- Verhalten im Unendlichen
- Monotonieverhalten
Als Beispiel dient der Graph der Funktion: \[f(x) = {\color{#1478c8}2} \cdot {\color{#00dcb4}3}^{\color{#fa3273}x} + {\color{#8363e2}1}\]
Zunächst solltest Du Dir alle Informationen herausschreiben, die Dir die Funktionsgleichung gibt und weitere Kenngrößen berechnen.
| Schritt | Beschreibung |
| 1. Y-Achsenabschnitt | Der Faktor \({\color{#1478c8}a}\) gibt den y-Achsenabschnitt des Graphen an. Die gegebene Beispielfunktion ist allerdings um den Faktor \({\color{#8363e2}d} = 1\) nach oben verschoben. Dementsprechend ist der y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen bei \({\color{#1478c8}a} + {\color{#8363e2}d} = {\color{#1478c8}2} + {\color{#8363e2}1} = 3\).  |
| 2. Limes | Der Faktor \({\color{#8363e2}d}\) gibt einen Limes der Exponentialfunktion an. Dieser Limes ist für \({\color{#00dcb4}b} > 0\) also: \[\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} (2 \cdot 3^x + {\color{#8363e2}1}) = 1\] |
| 3. Berechnung für \(\lim\limits_{x\to\infty}\) | Berechne dann den zweiten Limes \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)\) (auch Grenzwert genannt). \[\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\infty} (2 \cdot 3^x + 1) = \lim\limits_{x\to\infty} 2 \cdot 3^{100000000} - 1 = \infty\] Wenn Du Deine Kenntnisse zum Limes und seiner Berechnung noch einmal auffrischen möchtest, schau bei der Erklärung "Limes" vorbei. |
| 4. Monotonieberechnung | Für die Berechnung des Monotonieverhaltens benötigst Du die erste Ableitung der Funktionsgleichung. \begin{align}f(x) &= 2 \cdot 3^x + 1 \\ f'(x) &= 2 \cdot ln(3) \cdot 3^x\end{align} Das Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion findest Du folgendermaßen heraus: Setze einmal Werte größer als 0 und danach Werte kleiner als 0 in die erste Ableitung für x ein. Berechne dadurch, ob das Ergebnis positiv (streng monoton steigend) oder negativ (streng monoton fallend) ist. Überprüfe zuerst x-Werte größer als 0. \[f'(5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^5 \approx 533,93 \text{ } \rightarrow \text{streng monoton steigend}\] Überprüfe danach die x-Werte kleiner als 0. \[f'(-5) = 2 \cdot ln(3) \cdot 3^{-5} \approx 0,00904 \text{ } \rightarrow \text{monoton steigend}\] |
| 5. Einzeichnen | Damit hast Du alle nötigen Informationen herausgefunden und kannst den Funktiongraphen in ein Koordinatensystem zeichnen.  |
Am Graphen kannst Du das Berechnete überprüfen.
Im Bereich \(x > 0\) steigt der Graph schneller als im Bereich \(x < 0\). Außerdem liegt der y-Achsenabschnitt bei \(y = 3\) und der untere Grenzwert bei \(y = 1\).
Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\) ist ein Spezialfall der Exponentialfunktion. Diese enthält die Euler'sche Zahl \(e\), weswegen sie natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion genannt wird.
Abbildung 1: Graph einer e-Funktion
Eine wichtige Besonderheit der natürlichen Exponentialfunktion ist, dass die Ableitung der Euler'schen Zahl immer die Euler'sche Zahl selbst ist. Das einzige, was Du sonst ableiten musst, sind mögliche Parameter in der Gleichung.
\[\begin{align} f(x) = e^x \\ f'(x) = e^x\end{align}\]
Eine detaillierte Erklärung findest Du im Artikel zur e-Funktion.
Exponentialfunktion Aufgaben
In diesem Abschnitt findest Du noch weitere Aufgaben rund um die Exponentialfunktion.
Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe
Beim Reaktorunglück 1986 in Tschernobyl wurden \(26{,}4 \,\text{kg}\) vom radioaktiven Element Cäsium-\(137\), mit einer Halbwertszeit von \(30\) Jahren, in den umliegenden Wäldern verstreut. Das Unglück war im Jahr 2016 genau \(30\) Jahre her. Stelle eine Funktionsgleichung auf und berechne, wie viel Gramm im Jahr 2022 noch vom radioaktiven Stoff übrig ist.
Lösung
Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus. \[\begin{align} a &= 26{,}4 \,\text{kg} = 26\,400 \,\text{g}\\ x &= 36\end{align}\] Der Zerfallsfaktor \(b\) ist nicht gegeben. Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(30\) Jahren halbiert hat. Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu bekommen. \[\begin{align}f(x) = 26\,400 \,\text{g} \cdot b^{30} &= 13\,200 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :26\,400 \,\text{g}\\ b^{30} &= \frac{13\,200 \,\text{g}}{26\,400 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[30]{} \\ b &= \sqrt[30]{\frac{1}{2}} \approx 0,977\end{align}\] Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,977\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die Menge an radioaktivem Material im Jahr 2022 berechnen. \[\begin{align} 26\,400 \,\text{g} \cdot 0,997^x \\ 26\,400 \,\text{g} \cdot 0,977^{36} \approx 11\,424 \,\text{g}\end{align}\] Mit dieser Rechnung hast Du die in 2022 verbliebene Menge an radioaktivem Cäsium-\(137\) berechnet. Es liegen noch \(11\,424\,\text{kg}\) dieses Stoffes in den umliegenden Wäldern Tschernobyls.
Exponentialfunktion ableiten – Aufgabe
Bilde die erste Ableitung der folgenden Exponentialfunktion.
\[f(x) = 2^{3x}\]
Lösung
Bestimmte zuerst, was in der gegebenen Funktionsgleichung den Teilen aus einer allgemeinen Exponentialfunktion entspricht.
\[\begin{align}b &= 2\\\text{Exponent} &= 3x\end{align}\]
Da in der Aufgabe kein Anfangswert \(a\) gegeben ist, wird zuerst die Basis \(b\) abgeleitet.
\[f'(x) = ln(2)\]
Anschließend leitest Du den Exponenten einzeln ab und schreibst ihn als weiteren Faktor hinter die Ableitung der Basis.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 3\]
Dann schreibst Du die nicht abgeleitete Basis inklusive des Exponenten erneut als Faktor hinten an.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 3 \cdot 2^{3x}\]
Zuletzt vereinfachst Du noch die bestehende Rechnung und bist fertig. Den \(ln(2)\) kannst Du so stehen lassen.
\[f'(x) = ln(2) \cdot 6^{3x}\]
Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe
Eine Bakterienkultur wächst in 1 Stunde um das Dreifache an. Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind, wenn die Kultur bei 5000 Bakterien gestartet ist.
Lösung
Als Erstes solltest Du die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu hast Du im Text alle nötigen Informationen gegeben.
Der Startwert \(a\) sind 5000 Bakterien. Nach einer Stunde steigt die Bakterienkultur um das Dreifache an. Das heißt, dass der Wachstumsfaktor \(b\) 3 ist. Damit kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^x\]
Nun sollst Du noch berechnen, wie viele Bakterien nach 6 Stunden vorhanden sind. Dafür setzt Du für x (Zeitvariable) die 6 ein und berechnest die Gleichung.
\[f(x) = 5000 \cdot 3^6 = 3.645.000\]
Nach 6 Stunden hat sich die Bakterienkultur auf 3.645.000 Bakterien erhöht.
Exponentialfunktion aufstellen – Aufgabe
Uran-\(234\) hat eine Halbwertszeit von \(245\,500\) Jahren. Stelle eine Formel auf, welche berechnet, wie viel Gramm einer Probe mit der Masse von \(1\,\text{kg}\) nach der durchschnittlichen Lebensdauer eines Menschen von circa \(80\) Jahre übrig ist.
Lösung
Suche Dir auch hier zuerst alle wichtigen Zahlen aus der Aufgabe heraus.
\[\begin{align} a &= 1 \,\text{kg} = 1\,000 \,\text{g}\\x &= 80\end{align}\]
Der Zerfallsfaktor \(b\) ist hier nicht gegeben.
Aus der Aufgabe ist nur ersichtlich, dass sich die Menge des radioaktiven Materials nach \(245\,500\) Jahren halbiert hat.
Mithilfe dieser Information kannst Du eine Gleichung aufstellen und diese nach \(b\) auflösen, um so den Zerfallsfaktor zu erhalten.
\[\begin{align}f(x) = 1\,000 \,\text{g} \cdot b^{245\,500} &= 500 \,\text{g}~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :500 \,\text{g}\\b^{245\,500} &= \frac{500 \,\text{g}}{1\,000 \,\text{g}} = \frac{1}{2}~~~~~~~| \sqrt[245\,500]{} \\b &= \sqrt[245\,500]{\frac{1}{2}} \approx 0,999\,997\end{align}\]
Damit hast Du den Zerfallsfaktor \(b\) als \(0,999\,997\) berechnet. Mit diesem Wert kannst Du die heutige Menge an radioaktivem Material berechnen.
\[\begin{align} 1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^x \\1\,000 \,\text{g} \cdot 0,999\,997^{80} \approx 999{,}76 \,\text{g}\end{align}\]
Nach \(80\) Jahren sind also noch \(999{,76}\,\text{g}\) dieses Stoffes übrig.
Exponentialfunktion – Das Wichtigste
- Die allgemeine Exponentialfunktion lautet \(f(x) = a \cdot b^x\).
- \(a\) ist hier der Anfangswert und \(b\) ist der Wachstumsfaktor
- Es kann vorkommen, dass die Funktionsgleichung noch den Parameter d enthält, welcher den Funktionsgraphen in y-Richtung verschiebt.
- Der Parameter \(a\) gibt den y-Achsenabschnitt an, kann aber durch den Parameter d verändert werden.
- Verschiedene Werte für \(a\) und \(b\) verändern den Verlauf des Funktionsgraphen.
- Eine Exponentialfunktion wird immer nach der Kettenregel abgeleitet.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentialfunktion
Wie lautet die Exponentialfunktion?
Eine Exponentialfunktion ist jede Funktion, bei der die Variable im Exponenten einer Zahl steht.
Was sind die Eigenschaften einer Exponentialfunktion?
Die allgemeine Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaften:
- keine Nullstelle
- 1 y-Achsenabschnitt
- streng monoton steigend oder fallend
- unterer Grenzwert geht gegen null
- oberer Grenzwert führt ins positiv Unendliche
Was ist der Anfangswert einer Exponentialfunktion?
Der Anfangswert der allgemeinen Exponentialfunktion nähert sich der 0 an, wird aber nie 0.
Wie zeichnet man eine Exponentialfunktion?
Viele Werte, die fürs Zeichnen wichtig sind, kannst Du schon aus der Funktionsgleichung herauslesen. Die restlichen berechnest Du selbst und zeichnest dann auf Grundlage derer die Funktion in ein Koordinatensystem.
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