Extremstellen

Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4$. Dafür wird zuerst die Ableitung benötigt.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{5·3}{108}{x}^2-\frac{5·2}{6}x+\frac{10}{3}\\ =& \frac{5}{36}{x}^2-\frac{5}{3}x+\frac{10}{3}\end{array}$

Setze nun diese Ableitung gleich 0.

\begin{align}f'(x)&=0\\\frac{5}{36}x^2-\frac{5}{3}x+\frac{10}{3}&=0\\\Rightarrow x_{1/2} &=\frac{\frac{5}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2-4\cdot\frac{5}{36}\cdot \frac{10}{3}}}{2\cdot\frac{5}{36}}\\&=\frac{\frac{5}{3}\pm\sqrt{\frac{25}{27}}}{\frac{5}{18}}\end{align}

Da es später von Vorteil ist, mit dem exakten x-Wert weiterzurechnen, wird an dieser Stelle teilweise die Wurzel gezogen.

$\begin{array}{r}{x}_{0/1}=\frac{\frac{5}{3}\pm \sqrt{\frac{25}{27}}}{\frac{5}{18}}\\ x_{0/1}=\frac{\frac{5}{3}\pm \frac{5\sqrt{3}}{9}}{\frac{5}{18}}\\ x_{0/1}=\frac{\cancel{5}}{\cancel{3}}·\frac{\cancel{3}·6}{\cancel{5}}\pm \frac{\cancel{5}\sqrt{3}}{\cancel{9}}·\frac{2·\cancel{9}}{\cancel{5}}\\ \begin{array}{r}{x}_0\end{array}& =& 6-2\sqrt{3}& \mathrm{oder}& x_1& =& 6+2\sqrt{3}\end{array}$

Die notwendige Bedingung ist also für $\begin{array}{rcl}{\mathrm{x}}_0& =& 6-2\sqrt{3}\end{array}$ und $\begin{array}{rcl}{\mathrm{x}}_1& =& 6+2\sqrt{3}\end{array}$ erfüllt.

Geprüft werden soll die notwendige Bedingung an der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4$. Dafür wird zuerst die zweite Ableitung benötigt.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& \frac{5·2}{36}x-\frac{5}{3}\\ =& \frac{5}{18}x-\frac{5}{3}\end{array}$

Nun kannst Du $x_0=6-2\sqrt{3}$ und $x_1=6+2\sqrt{3}$ in die zweite Ableitung $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ einsetzen.

$\begin{array}{cclcrcl}\begin{array}{r}f\text{'}\text{'}(6-2\sqrt{3})\end{array}& =& \begin{array}{r}\begin{array}{r}\frac{5}{18}\end{array}·\left(6-2\sqrt{3}\right)\begin{array}{r}-\end{array}\begin{array}{r}\frac{5}{3}\end{array}\end{array}& \mathrm{und}& f\text{'}\text{'}(6+2\sqrt{3})& =& \begin{array}{r}\begin{array}{r}\frac{5}{18}·\left(6+2\sqrt{3}\right)-\frac{5}{3}\end{array}\end{array}\\ =& \begin{array}{r}\frac{5}{3}\end{array}-\frac{5\sqrt{3}}{9}\begin{array}{r}-\end{array}\begin{array}{r}\frac{5}{3}\end{array}& =& \begin{array}{r}\frac{5}{3}\end{array}+\begin{array}{r}\frac{5\sqrt{3}}{9}\end{array}\begin{array}{r}-\end{array}\begin{array}{r}\frac{5}{3}\end{array}\\ =& -\frac{5\sqrt{3}}{9}& =& \begin{array}{r}\frac{5\sqrt{3}}{9}\end{array}\\ \approx & -0,96<0& \approx & 0,96>0\end{array}$

Dementsprechend existiert an der Stelle $x_0=6-2\sqrt{3}$ ein Hochpunkt und an der Stelle $x_1=6+2\sqrt{3}$ ein Tiefpunkt.

Das Schaubild der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=x^4$ sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 2: Schaubild einer Funktion 4. Grades

Es ist zu erkennen, dass die Funktion bei $x_0=0$ einen Extrempunkt besitzt.

Bilde zunächst die erste und zweite Ableitung.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& 4x^3\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& 12x^2\end{array}$

Wende als Nächstes das notwendige Kriterium an.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x_0\right)& =& 0\\ 4{x_0}^3& =& 0\\ {x_0}^3& =& 0\\ x_0& =& 0\end{array}$

Versuche nun das hinreichende Kriterium anzuwenden.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(0\right)& =& 12·0^2\\ =& 0\end{array}$

In diesem Fall ist auch die zweite Ableitung gleich 0. Hier greift die Möglichkeit, den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle $x_0=0$ zu betrachten. Schau Dir dazu das Schaubild der ersten Ableitung $f\text{'}\left(x\right)=4·x^3$ an.

Abbildung 3: Schaubild einer Ableitungsfunktion

Im Schaubild kann erkannt werden, dass an der Stelle $x_0=0$ ein Vorzeichenwechsel von - nach + vollzogen wird. Alternativ kann der Vorzeichenwechsel wie folgt bestimmt werden.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}(-1)& =& 4·{(-1)}^3=-4\\ f\text{'}\left(1\right)& =& 4·1^3=4\end{array}$

Durch diese Rechnung wird ebenfalls deutlich, dass an der Stelle $x_0=0$ ein Vorzeichenwechsel von - nach + vollzogen wird. Es handelt sich demnach um einen Tiefpunkt an der Stelle $x_0=0$.

Dazu werden die Extremstellen $x_0=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ und $x_1=6+2\sqrt{3}\approx 9,46$ in die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4$ eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}f(6\pm 2\sqrt{3})& =& \frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4\\ =& \frac{5}{108}·{\left(6\pm 2\sqrt{3}\right)}^3-\frac{5}{6}·{\left(6\pm 2\sqrt{3}\right)}^2+\frac{10}{3}·\left(6\pm 2\sqrt{3}\right)+4\end{array}$

An dieser Stelle kannst Du den Ausdruck jeweils einmal mit + und einmal mit - in den Taschenrechner eingeben.

$\begin{array}{rcl}f(6-2\sqrt{3})& \approx & 7,85\end{array}\begin{array}{rcl}f(6+2\sqrt{3})& \approx & 0,15\end{array}$

Damit existiert ein Hochpunkt $HP(2,54|7,85)$ und ein Tiefpunkt $TP(9,46|0,15)$.

Abbildung 5: Schaubild und Extremstellen der Eingangsaufgabe

Da das Eingangsbeispiel nur im Intervall $[0,12)$ betrachtet wird, werden auch nur in diesem Bereich die Extremwerte auf ihre Lokal- bzw. Globalität untersucht.

Die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4$ besitzt zwei Extrempunkte $HP(2,54|7,85)$ und $TP(9,46|0,15)$.

Die Randwerte sind bei der Funktion $f\left(x\right)=\frac{5}{108}{x}^3-\frac{5}{6}{x}^2+\frac{10}{3}x+4$ bei $x=0$ und $x=12$.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& 4\\ f\left(12\right)& =& 4\end{array}$

Damit ist $f\left(x\right)=7,85>4$ zeitgleich ein lokales und globales Maximum, während $f\left(x\right)=0,15<4$zeitgleich ein lokales und globales Minimum ist.

Nun möchtest Du wissen, wie hoch Du Deinen Damm mindestens bauen musst, wenn sich das Flussufer $6,5m$über der niedrigsten Stelle im Flussbett befindet. Der Damm soll so hoch sein, dass Dein Haus kein Wasser abbekommt, sollte das globale Maximum erreicht werden.

Das globale Maximum beträgt $f\left(x\right)=7,85$ und das globale Minimum ist $f\left(x\right)=0,15$. Damit muss der Damm mindestens

$7,85m-6,5m-0,15m=1,2m$

hoch werden.

Der Gartenteich lässt sich nur mit dem Flusswasser bewässern, wenn der Wasserstand im Fluss mindestens $1m$beträgt.

Damit ist eine ganzjährige Bewässerung des Gartenteichs nicht gewährleistet, da das globale Minimum nur $0,15m$beträgt.

Zudem kannst Du von der nachfolgenden Abbildung ablesen, in welchen Monaten Du auf die Bewässerung des Gartenteichs verzichten musst, wenn das Intervall $[0,1)$ den Januar, $[1,2)$ den Februar usw. darstellt.

Abbildung 6: Interpretation der Eingangsaufgabe

Der erste Schnittpunkt liegt circa bei $x_2\approx 8$ und der zweite circa bei $x_3\approx 10,7$. Damit ist die Bewässerung des Gartenteichs von Anfang September bis Ende November nicht möglich.