Extremwert berechnen: Erklärung & Formeln

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Extremwert berechnen Einleitung StudySmarter

Extremwert Definition

Als einen Extremwert bezeichnet man einen Funktionswert $f (x_{0})$ einer Funktion f(x), wenn:

$f (x_{0})$ ein lokales Maximum von f ist, das heißt, es gibt eine Umgebung $U (x_{0})$ , sodass für alle Werte $x \in U (x_{0})$ gilt: $f (x) \leq f (x_{0})$ .
$f (x_{0})$ ein lokales Minimum von f ist, das heißt, es gibt eine Umgebung $U (x_{0})$ , sodass für alle Werte $x \in U (x_{0})$ gilt: $f (x) \geq f (x_{0})$ .

Der x-Wert $x_{0}$ wird dann als Extremstelle bezeichnet.

Der Punkt $(x_{0} f (x_{0}))$ ist dann ein Extrempunkt, und zwar:

Ein Hochpunkt, wenn $f (x_{0})$ ein lokales Maximum ist.
Ein Tiefpunkt, wenn $f (x_{0})$ ein lokales Minimum ist.

Ein Extremwert ist also ein Funktionswert, der sich für einen eingesetzten x-Wert berechnen lässt. Er ist also ein y-Wert.

Dabei unterscheidet man zwischen lokalen Maxima und lokalen Minima und betrachtet für diese Unterscheidung immer eine Umgebung des eingesetzten x-Werts. Diese Umgebung ist nichts anderes als ein kleines Intervall der x-Achse.

Ist mein x-Wert zwei, so wäre eine Umgebung $U (2)$ beispielsweise das Intervall $I = [1, 5; 2, 5]$ .

Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall I kleiner oder gleich dem Funktionswert $f (2)$ , also der Funktionswert an der Stelle zwei am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.

Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert $f (2)$ , dann spricht man von einem lokalen Minimum.

Man spricht von lokalen Extremstellen, weil man sich nur die kleine Umgebung um die Stelle $x_{0}$ anschaut. Sind alle Funktionswerte des gesamten Definitionsbereichs größer oder kleiner als der Wert $f (x_{0})$ , dann spricht man von einem globalen Maximum oder globalen Minimum.

Im Unterschied zum Extremwert ist eine Extremstelle dann der x-Wert.

Der Extrempunkt ist das Paar aus Extremstelle und Extremwert, also x-Wert und y-Wert. Ist der Extremwert ein lokales Maximum, so ist der Extrempunkt ein Hochpunkt. Der Funktionsgraph hat dort also eine Spitze. Ist der Extremwert ein lokales Minimum, so ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt und der Graph hat ein Tal.

In folgender Grafik siehst du noch mal die Unterschiede genauer:

Extremwert berechnen Extrempunkt Extremwert Extremstelle StudySmarter

Abbildung 1: Unterschied Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt

Lokale Extremwerte berechnen – Bedinungen

Wenn du einen Extrempunkt bestimmen musst, benötigst du die Ableitungen der jeweiligen Funktion.

Lies dir hierzu gerne nochmal unsere Artikel zum Thema Ableitung durch!

Um festzustellen, ob ein Funktionswert eine Extremstelle ist, gibt es verschiedene Bedingungen. Mit ihnen überprüfst du in ein paar Schritten, ob es sich um eine Extremstelle handelt oder nicht. Es gibt eine notwendige Bedingung und zwei hinreichende Bedingungen.

Eine notwendige Bedingung ist die Voraussetzung dafür, dass eine bestimmte Eigenschaft vorliegen kann. Erfüllt also eine Funktion f(x) zu einem bestimmten x-Wert nicht die notwendige Bedingung für Extremstellen, dann kann dieser x-Wert keine Extremstelle sein.

Aus einer hinreichenden Bedingung folgt dagegen direkt die Eigenschaft. Erfüllt also ein x-Wert eine hinreichende Bedingung für Extremstellen, so weißt du direkt, dass dieser x-Wert eine Extremstelle ist.

Wenn die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, so kann auch die hinreichende Bedingung nicht erfüllt werden. Ist die hinreichende Bedingung aber erfüllt, ist automatisch auch die notwendige Bedingung erfüllt.

Die notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss in jedem Fall erfüllt sein:

Ist eine Funktion f(x) in einer Umgebung von $x_{0}$ differenzierbar, und ist $x_{0}$ eine Extremstelle, dann gilt:

$f' (x_{0}) = 0$

Die Ableitung der Funktion spiegelt die Steigung der Tangente wider. Die Definition sagt also aus, dass an der Stelle $x_{0}$ die Steigung der Tangente gleich null sein muss. Nur dann wäre es überhaupt möglich, dass es sich um eine Extremstelle handelt.

Dass die Steigung der Tangente an einem Extrempunkt immer gleich null sein muss, siehst du hier an einem Graphen veranschaulicht:

Extremwert berechnen Extrempunkte StudySmarter

Abbildung 2: Extrempunkte im Vergleich

Die hinreichenden Bedingungen

Im Folgenden findest du die beiden hinreichenden Bedingungen:

Erste hinreichende Bedingung:

Ist $x_{0}$ eine Nullstelle von f' mit Vorzeichenwechsel, dann ist $f (x_{0})$ ein lokales Extremum.

Zweite hinreichende Bedingung:

Gilt $f' (x_{0}) = 0$ und $f'' (x_{0}) \neq 0$ , dann liegt ein lokales Extremum bei $f (x_{0})$ vor.

Es gibt also zwei verschiedene Bedingungen, mit denen man überprüfen kann, ob es sich um eine lokale Extremstelle handelt. Dabei ist es egal, welche der beiden Bedingungen du prüfst.

Die erste hinreichende Bedingung sagt Folgendes aus: Da die erste Ableitung die Steigung der Funktion angibt, sind die Extremstellen der Funktion eine Nullstelle der Ableitung, da die Steigung dort ja gleich null ist.

Wenn also $x_{0}$ eine Nullstelle der Ableitung von der Funktion f(x) ist, dann kann es sich bei $x_{0}$ um eine Extremstelle handeln. Es ist aber noch zu prüfen, ob die Ableitung an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt, also beispielsweise vor $x_{0}$ negativ ist und danach positiv. Ist das nicht der Fall, ändert sich ja das Steigungsverhalten der Funktion nicht und es liegt auch kein Extrempunkt vor.

In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion $f$ und ihre Ableitung $f'$ . $f$ hat an der Stelle $x = 0$ ein lokales Minimum, denn die Ableitung $f'$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle und ist vor der Nullstelle negativ, und danach positiv.

Extremwert berechnen Erklärung hinreichende Bedingung StudySmarter

Abbildung 3: Funktion mit lokalem Minimum und ihre Ableitung

Die folgende Abbildung zeigt die Funktion $g$ und ihre Ableitung $g'$ . Die Ableitung $g'$ hat zwar auch an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle, ist aber sowohl vor der Nullstelle als auch nach der Nullstelle positiv. Deshalb ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion $g$ auch nicht und $g$ hat an der Stelle $x = 0$ kein lokales Extremum.

Extremwert berechnen Erklärung hinreichende Bedingung StudySmarter

Abbildung 4: Funktion ohne lokales Extremum und ihre Ableitung

Wenn du diesen Punkt mit dem Vorzeichenwechsel irritierend findest, empfiehlt sich die zweite hinreichende Bedingung.

Durch die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle $x_{0}$ ermittelst du, ob die Ableitung an der Stelle einen Extrempunkt haben kann. Ist die zweite Ableitung ungleich null (was wir ja wollen), dann kann wegen der notwendigen Bedingung für Extrempunkte die erste Ableitung an der Stelle $x_{0}$ kein Extremum haben. $f'$ muss also einen Vorzeichenwechsel haben, da $f' (x_{0}) = 0$ ist. Und damit wären wir wieder bei der ersten hinreichenden Bedingung.

Berechnung von lokalen Extrempunkten

Im Folgenden lernst du die spezifische Berechnung der Extremstellen, Extremwerten und Extrempunkten.

Der Hochpunkt

Der Hochpunkt ist der höchste Punkt eines Funktionsgraphen in einer kleinen Umgebung. Er hat in dieser Umgebung den größten y-Wert.

Ein Hochpunkt sieht zum Beispiel so aus:

Extremwert berechnen Hochpunkt StudySmarter

Abbildung 5: Hochpunkt

Handelt es sich bei einem Extrempunkt um einen Hochpunkt, dann steigt der Funktionsgraph vor dem Hochpunkt und fällt danach wieder.

Bei der Ableitung findet also ein Vorzeichenwechsel statt: Vor dem Extremwert ist die Ableitung positiv, nach dem Extremwert ist sie negativ.

Die hinreichenden Bedingungen für lokale Maxima sind also:

Erste hinreichende Bedingung:

Ist $x_{0}$ eine Nullstelle von $f'$ mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ, dann ist $f (x_{0})$ ein lokales Maximum.

Zweite hinreichende Bedingung:

Gilt $f' (x_{0}) = 0$ und $f'' (x_{0}) < 0$ , dann liegt ein lokales Maximum bei $f (x_{0})$ vor.

Der Tiefpunkt

Der Tiefpunkt stellt das Gegenteil von einem Hochpunkt dar.

Das sieht folgendermaßen aus:

Extremwert berechnen Tiefpunkt StudySmarter

Abbildung 6: Tiefpunkt

Handelt es sich bei einem Extrempunkt um einen Tiefpunkt, dann verhält sich der Funktionsgraph genau verkehrt herum als ein Hochpunkt: Er fällt vor dem Tiefpunkt und steigt danach wieder.

Bei der Ableitung findet also ein Vorzeichenwechsel statt: Vor dem Extremwert ist die Ableitung negativ, nach dem Extremwert ist sie positiv.

Die hinreichenden Bedingungen für lokale Minima sind also:

Erste hinreichende Bedingung:

Ist eine Nullstelle von $f'$ mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, dann ist $f (x_{0})$ ein lokales Minimum.

Zweite hinreichende Bedingung:

Gilt $f' (x_{0}) = 0$ und $f'' (x_{0}) > 0$ , dann liegt ein lokales Minimum bei $f (x_{0})$ vor.

Vorgehen zur Bestimmung von lokalen Extremwerten

Um lokale Extremwerte – egal welcher Art – zu bestimmen, kannst du in den folgenden Schritten vorgehen:

Option 1: Erste hinreichende Bedingung

Schritt: Berechne die erste Ableitung deiner Funktion. Diese benötigst du, um weiter rechnen zu können.
Schritt: Nutze die notwendige Bedingung, um eine mögliche Extremstelle zu finden. Setze also die erste Ableitung gleich null.
Schritt: Wähle einen x-Wert, der kurz vor der im zweiten Schritt berechneten Extremstelle liegt. Setze diesen in die erste Ableitung ein und notiere dir das Vorzeichen des Funktionswerts.
Schritt. Wähle einen x-Wert, der kurz nach der im zweiten Schritt berechneten Extremstelle liegt. Setze diesen in die erste Ableitung ein und notiere dir das Vorzeichen des Funktionswerts.
Schritt: Vergleiche die Vorzeichen vor und nach der möglichen Extremstelle:
1. Ist das Vorzeichen davor negativ und danach positiv, dann handelt es sich um die x-Koordinate eines Tiefpunkts.
2. Ist das Vorzeichen davor positiv und danach negativ, dann handelt es sich um die x-Koordinate eines Hochpunkts.
Schritt: Setze deinen Wert der x-Koordinate für das x bei $f (x)$ ein und berechne nun die y-Koordinate deines Punktes.

Option 2: Zweite hinreichende Bedingung

Schritt: Berechne die erste und zweite Ableitung deiner Funktion. Diese benötigst du, um weiter rechnen zu können.
Schritt: Nutze die notwendige Bedingung, um eine mögliche Extremstelle zu finden. Setze also die erste Ableitung gleich null.
Schritt: Setze nun den x-Wert der berechneten Extremstelle in die zweite Ableitung ein.
1. Wenn der Wert der zweiten Ableitung größer als null ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt.
2. Wenn der Wert der zweiten Ableitung kleiner als null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.
Schritt: Setze deinen Wert der x-Koordinate für das x bei $f (x)$ ein und berechne nun die y-Koordinate deines Punktes.

Du kannst dir besser einprägen, wann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, wenn du dir merkst, dass es immer das Gegenteil ist. Also wenn $f'' (x)$ größer als null ist, ist es ein Tiefpunkt. Wenn es kleiner als null ist, ist es ein Hochpunkt.

Extemwert berechnen – Übungsaufgabe

Um zu testen, wie gut du den Hoch- und Tiefpunkt schon verstanden hast, kannst du hier eine Aufgabe bearbeiten!

Aufgabe

Gegeben ist folgende Funktion .

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f(x). Gib auch an, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Lösung

Um auf die Extrempunkte der Funktion f(x) zu kommen, musst du das Verfahren anwenden, das du oben in den Schritten gelernt hast.

1. Du beginnst damit, die erste und zweite Ableitung der Funktion zu bilden:

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 f'' (x) = 2 x - 4$

2. Du nutzt die notwendige Bedingung und berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung. Dazu kann die p-q-Formel benutzt werden. Das p ist hier die -4 und das q die 3:

$0 = x^{2} - 4 x + 3 p q - F o r m e l : = {\frac{4}{2}}^{+ -} \sqrt{{(- \frac{4}{2})}^{2} - 3} = 2^{+ -} \sqrt{4 - 3} = 2^{+ -} \sqrt{1} x_{1} = 3 x_{2} = 1$

Als Nullstellen erhältst du $x = 3$ und $x = 1$ .

3. Nun setzt du jeweils die x-Werte in die zweite Ableitung ein, um zu prüfen, ob es sich hier um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt:

Die Rechnung zeigt, dass die Funktion f(x) an der Stelle $x = 3$ einen Tiefpunkt hat, da das Ergebnis größer als null ist.

Auch wird gezeigt, dass es an der Stelle $x = 1$ einen Hochpunkt gibt, da das Ergebnis kleiner als null ist.

4. Um die y-Koordinaten zu erhalten, werden die Werte in die Funktion $f$ eingesetzt.

Damit hast du die Koordinaten der lokalen Extrempunkte bestimmt: Die Funktion $f$ hat einen Hochpunkt bei und einen Tiefpunkt bei $T (3 | 0)$ .

Hier siehst du eine Abbildung der Funktion f(x):

Extremwert berechnen Hoch- und Tiefpunkt StudySmarter

Abbildung 7: Hoch- und Tiefpunkt der Beispielaufgabe

Globale Extremwerte berechnen

Bei den Extremwerten einer Funktion f(x) unterscheidest du zwischen lokalen und globalen Extremwerten.

Eine Funktion f(x) kann mehrere lokale Extremwerte haben, jedoch nur ein globales Maximum und ein globales Minimum.

$f (x_{0})$ heißt globales Maximum von f, wenn für alle $x \in D$ gilt: $f (x) < f (x_{0})$ .

$f (x_{0})$ heißt globales Minimum von f, wenn für alle $x \in D$ gilt: $f (x) > f (x_{0})$ .

Eine globale Extremstelle beschreibt also den höchsten beziehungsweise niedrigsten Punkt der gesamten Funktion f(x).

Eine lokale Extremstelle hingegen beschreibt jedoch nur einen Extremwert in unmittelbarer Nähe oder einem bestimmten Funktionsabschnitt.

Im unteren Graph siehst du den Unterschied zwischen global und lokal:

Extremwert berechnen Lokal und Global StudySmarter

Abbildung 8: Lokale vs. globale Extrempunkte

Extremwert berechnen – Wendepunkt & Sattelpunkt

Neben Extrempunkten der Funktion $f$ gibt es auch Extrempunkte der ersten Ableitung. Dazu zählt der Wendepunkt und sein Sonderfall, der Sattelpunkt.

Neben Extrempunkten der Funktion $f$ gibt es auch Extrempunkte der ersten Ableitung. Dazu zählt der Wendepunkt und sein Sonderfall, der Sattelpunkt.

Der Wendepunkt

Wir beginnen damit, uns erstmal anzusehen, welche Funktion einen Wendepunkt hat und wie wir ihn definieren:

Ein Wendepunkt einer Funktion $f$ ist ein Punkt, an dem der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten ändert.

Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn sie ihren Verlauf von rechts gekrümmt auf links gekrümmt wechselt.

Hier siehst du eine Abbildung, wo die Funktion f(x) sich bei dem Wendepunkt W von rechts gekrümmt auf links gekrümmt ändert!

Extremwert berechnen Wendepunkt StudySmarter

Abbildung 9: Wendepunkt

Um herauszufinden, ob ein Punkt ein Wendepunkt ist, gibt es auch zwei Bedingungen. Diese sind:

Notwendige Bedingung: $f'' (x) = 0$ .
Hinreichende Bedingung: $f''' (x) \neq 0$ .

Um einen Wendepunkt zu bestimmen, führst du folgende Schritte durch:

Schritt: Berechne die ersten drei Ableitungen deiner Funktion. Diese benötigst du, um weiter rechnen zu können.
Schritt: Nutze die notwendige Bedingung für Wendepunkte. Setze also die zweite Ableitung gleich null.
Schritt: Setze nun den x-Wert der berechneten Extremstelle in die dritte Ableitung ein.
Schritt: Wenn der Wert der dritten Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt. Nun kennst du die x-Koordinate des Punktes!
Schritt: Setze deinen Wert der x-Koordinate für das x bei $f (x)$ ein und berechne nun die y-Koordinate deines Wendepunktes.

Übrigens: Auf diesem Weg kannst du auch berechnen, wie genau sich die Krümmung ändert, z. B. von links auf rechts gekrümmt oder eben andersherum!

Das ganze Verfahren gehen wir nun anhand einer Aufgabe durch, bei der du dich nochmal testen kannst!

Aufgabe:

Gegeben ist Funktion . Prüfe, ob $f$ Wendepunkte hat, und ermittle deren Koordinaten.

Lösung:

1. Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f(x):

2. Setze die zweite Ableitung gleich null und löse nach x auf:

3. Nun setze den x-Wert in die dritte Ableitung ein:

Da die dritte Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt an der Stelle null.

4. Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in die Funktion f(x) einsetzt:

Du weißt nun, dass es einen Wendepunkt an der Stelle gibt. Hier siehst du erneut den dazugehörigen Graphen mit dem Wendepunkt W:

Extremwert berechnen Wendepunkt StudySmarter

Abbildung 10: Der Wendepunkt

Der Sattelpunkt

Der Sattelpunkt ist ein Sonderfall eines Wendepunktes.

Die Steigung ist an diesem Punkt gleich null.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt einer Kurve, der eine horizontal verlaufene Tangente hat.

Da der Sattelpunkt nur ein Sonderfall eines Wendepunktes ist, ist das Verfahren für die Berechnung eines Sattelpunktes grundsätzlich gleich zu dem eines Wendepunktes. Zusätzlich muss jedoch die erste Ableitung gleich null sein, also $f' (x) = 0$ . Dies ist die Voraussetzung für eine waagerechte Tangente.

Wenn du noch mehr zum Sattelpunkt erfahren möchtest, oder dir nochmal anschauen möchtest, was der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt ist, dann schau dir mal unseren Artikel dazu an!

Ein Sattelpunkt erfüllt die notwendige Bedingung für Extrema, denn $f' (x) = 0$ ist erfüllt.

Jedoch wird keine der beiden hinreichenden Bedingungen erfüllt.

Am Sattelpunkt wird also insbesondere deutlich, dass ein Punkt die notwendige Bedingung erfüllen kann, ohne ein Extrempunkt zu sein. Nur die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist daher nicht ausreichend!

Extremwert berechnen - Das Wichtigste

Extremstellen sind besondere Punkte einer Funktion.
Es wird zwischen Extremstellen einer Funktion und Extremstellen der ersten Ableitung unterschieden.
Extremstellen müssen immer sowohl die notwendige als auch die hinreichende Bedingung erfüllen.
Es gibt sowohl lokale als auch globale Extremstellen.
Eine lokale Extremstelle beschreibt ein Extremum in unmittelbarer Nähe von x0.
Eine globale Extremstelle ist das Extremum der gesamten Funktion.
Bei einem Hochpunkt steigt die Funktion erst und fällt danach wieder.
Bei einem Tiefpunkt fällt die Funktion erst und steigt danach wieder.
Ein Wendepunkt gibt eine Veränderung der Funktion an.
Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall des Wendepunktes.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Extremwert berechnen

Wie berechnet man das Maximum einer Funktion?

Das Maximum einer Funktion berechnest du indem du die ersten beiden Ableitungen bildest und die erste gleich null setzt. Der dabei herausgekommene x-Wert muss nun in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Wenn das Ergebnis kleiner als 0 ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.

Wie bestimme ich einen Hoch- oder Tiefpunkt?

Wir bestimmen einen Hoch oder Tiefpunkt immer mit den dazugehörigen Koordinaten. Also z.B H ( x l y )

Wie berechnet man lokale Extremstellen?

Die Berechnung von lokalen Extremstellen unterscheidet sich nicht von der Berechnung eines Hoch- oder Tiefpunktes. Anschließend muss man nur prüfen, ob es im weiteren Verlauf der Funktion noch weitere Extremstellen gibt.

Wie findet man Hoch- oder Tiefpunkte?

Hochpunkte erkennst du oft, da sie aussehen wie ein Hügel. Ein Tiefpunkt sieht aus wie ein U.

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