Extremwertaufgaben

Ein Bauer hat ein neues Grundstück gekauft und dazu Material, um einen Zaun mit einer Länge von bis zu \(500\,\text{m}\) zu bauen. Daraus soll eine neue Weide für seine Rinder werden. Er möchte, dass die Fläche der Weide so groß wie möglich wird, sie muss aber rechteckig sein, sodass er daneben noch neue Felder anlegen kann.

Wie kann er nun herausfinden, wie er den Zaun bauen muss, damit seine Rinder möglichst viel Platz haben?

Der Bauer benötigt also zuerst eine Funktion, die den Flächeninhalt der neuen Weide darstellt.

Abb. 1 - Recheck

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst Du die Seite \({\color{blau}a}\) mit der Seite \({\color{türkies}b}\).

\[A={\color{blau}a}\cdot{\color{türkies}b}\]

Das ist nun die Hauptbedingung.

Der Bauer kann also einen \(500\,\text{m}\) langen Zaun bauen. Dafür benötigst Du den Umfang des Rechtecks:

Abb. 2 - Rechteck

Für den Umfang addierst Du alle Seiten des Rechtecks miteinander. Da die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, kannst Du ihnen denselben Namen geben.

\[U={\color{blau}a}+{\color{türkies}b}+{\color{blau}a}+{\color{türkies}b}=2({\color{blau}a}+{\color{türkies}b})=500\,\text{m}\]

Damit hast Du soeben auch die Nebenbedingung gefunden.

Die Nebenbedingung ist der Umfang der Weide, der \(500\,\text{m}\) betragen soll. Diese Gleichung kannst Du nach einer Variablen auflösen

\begin{align}2(a+b)&=500&&\vert:2\\a+b&=250&&\vert-b\\a&=250-b\end{align}

und in die Hauptbedingung einsetzen:

\begin{align}A&=a\cdot b\\A&=(250-b)\cdot b=250b-b^2\\\end{align}

Damit ist die Zielfunktion gefunden.

Die Zielfunktion \(A=250b-b^2\) muss also abgeleitet und mit 0 gleichgesetzt werden, um die Stelle zu finden, an der ein Extrempunkt vorliegt, also die Fläche ihren maximalen Wert hat.

\begin{align}A'&=250-2b\\\\0&=250-2b&&\vert+2b\\2b&=250&&\vert:2\\b&=125\,[\text{m}]\\\end{align}

Die Funktion hat also eine Extremstelle bei \(b=125\,\text{m}\). Um sicherzugehen, dass es sich wirklich um ein Maximum handelt, kannst Du noch die 2. Ableitung bilden und überprüfen, welche Steigung sie hat.

\[A''=-2<0\]

Die Steigung ist kleiner als 0. Das heißt, es handelt sich wirklich um ein Maximum, da der Graph danach nicht weiter ansteigt, sondern wieder abfällt.

Du hast berechnet, dass an der Stelle von \(b=125\) ein Extrempunkt existiert. Setzt Du diesen Wert nun in die Gleichung der Nebenbedingung ein, erhältst Du:

\begin{align}U&=2(a+b)\\500&=2(a+125)&&\vert:2\\250&=a+125&&\vert-125\\a&=125\,[\text{m}]\\\end{align}

Eingesetzt in die Gleichung der Hauptbedingung ergibt das:

\begin{align}A&=a\cdot b\\A&=125\cdot 125=15\,625\,[\text{m}^2]\\\end{align}

Die größtmögliche Weide mit \(500\,\text{m}\) Zaun hat also eine Fläche von \(15\,625\,\text{m}^2\), was umgerechnet etwa \(\text{1,6 ha}\) entspricht.

Wenn Du also die Extremstelle von beispielsweise der Funktion \({\color{blau}f(x)=(x-2)^2+1}\) suchst, leitest Du die Funktion ab, setzt sie mit \(0\) gleich und löst nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=(x-2)^2+1\\[0.2 cm]f'(x)&=2(x-2)\\f'(x)&=2x-4\\[0.2 cm]\rightarrow\quad 2x-4&=0&&|+4&&&|:2\\x&=2\\\end{align}

Also existiert ein Extrempunkt bei \(x=2\). In diesem Fall handelt es sich um ein Minimum, weil die Paralbel positiv, also nach oben geöffnet ist.

Das \(x\) kannst Du nun noch in \({\color{blau}f(x)}\) einsetzen, um den genauen Punkt zu berechnen:

\begin{align}f(2)&=(2-2)^2+1\\f(2)&=1\quad\Rightarrow\quad{\color{türkies}P\,(2|1)}\end{align}

Abb. 3 - Minimum quadratische Funktion

Ein Dreieck soll im ersten Quadranten unterhalb des Graphen \(f(x)\) liegen. Die Grundseite des Dreiecks liegt auf der x-Achse und vom rechten Ende geht eine Parallele zur y-Achse bis zum Schnittpunkt mit \(f(x)\) wie in der folgenden Abbildung. Die Funktion lautet \(f(x)=-\frac{2}{15} x^2+10\).

Abb. 4 - maximales Dreieck unter Funktion Skizze

Berechne die maximale Fläche des Dreiecks und gib den Schnittpunkt mit dem Graphen von \({\color{blau}f(x)}\) an.

Schritt 1: Hauptbedingung aufstellen

Die Hauptbedingung ist die Fläche des Dreiecks, die maximal werden soll. Die Fläche eines Dreiecks berechnest Du mit:

\[A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\]

Schritt 2: Nebenbedingung aufstellen:

Die Nebenbedingung ist, dass das Dreieck unterhalb der Funktion \(f(x)\) liegen muss. Somit liegt die Spitze des Dreiecks genau auf dem Graphen der Funktion \(f(x)\). Da Du diesen Punkt erst berechnen musst, setzt du für die Grundseite \(g\) ein \(x\) ein (da die Grundseite auf der x-Achse liegt) und für die Höhe \(h\) die Funktion \(f(x)\).

\begin{align}g & = x\\h & = f(x) = - \frac{2}{15} x^2 + 10\end{align}

Abb. 5 - maximales Dreieck unter Funktion Seitenlängen

Schritt 3: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:

Nun setzt Du \(g\) und \(h\) in die Formel für das Dreieck ein:

\begin{align}A &= \frac{1}{2} \cdot x \cdot (- \frac{2}{15} x^2 + 10) \\&= - \frac{1}{15} x^3 + 5 \cdot x\end{align}

Schritt 4: Extremstellen der Zielfunktion berechnen:

Dazu wird wieder die Ableitung der erhaltenen Funktion ermittelt.

\begin{align}A'&= -3 \cdot \frac{1}{15} x^2 + 5 \\&= - \frac{1}{5} x^2 + 5\end{align}

Um die Extremstellen zu ermitteln, wird nun die Ableitung mit Null gleichgesetzt.

\begin{align}- \frac{1}{5} x^2 + 5 &= 0 &&| - 5 \\- \frac{1}{5} x^2 &= - 5 &&\left| : \left(-\frac{1}{5}\right)\right. \\ x^2 &= 25 &&\left|\sqrt{\quad}\right.\\[0.2cm]x_{1/2}&=\pm5\\\\\Rightarrow\quad&x_1 = -5\qquad x_2= 5\end{align}

Hier macht allerdings nur \(5\) Sinn, weil das Dreieck im 1. Quadranten liegen soll, in dem alle Werte nur positiv sein können.

Schritt 5: Werte bestimmen:

Nun kannst Du das gefundene \(x\) in die Zielfunktion einsetzen und damit den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:

\begin{align}A &= - \frac{1}{15} x^3 + 5 x \\[0.2 cm]&= \frac{50}{3} \approx \text {16,7 FE}\end{align}

Genauso wie \(g\) und \(h\) setzt sich der Schnittpunkt zusammen aus \(x\) und \(f(x)\):

\begin{align}P \, (5| f(5)) &= P \, \left(5\left| -\frac{2}{15}\cdot 5^2 + 10\right.\right) \\[0.2cm]&= P \, \left(5\left| \frac{20}{3}\right.\right)\end{align}

Das gesuchte Dreieck besitzt eine maximale Fläche von \(\text {16,7 FE}\). Seine Spitze liegt auf dem Punkt \(P \, \left(5\left| \frac{20}{3}\right.\right)\).

Abb. 6 - maximales Dreieck unter Funktion Ergebnis

Eine Schachtel soll gebastelt werden. Zur Verfügung stehen \(40\text{ cm}^2\) Pappe. Die Schachtel soll ein Quader sein, dessen Volumen \(40 \text{ cm}^3\) entspricht. Die Seitenlänge \(a\) beträgt \(4 \text{ cm}\). Reicht die Pappe aus?

Schritt 1: Hauptbedingung aufstellen

Hierbei ist die Oberfläche der Schachtel die Hauptbedingung. In diese Formel kannst Du auch gleich den Wert für \(a\) einsetzen.

\begin{align}O &= 2ab + 2bc + 2ac \\&= 2 \cdot 4b + 2bc + 2 \cdot 4c \\&= 8b + 2bc + 8c\end{align}

Schritt 2: Nebenbedingung aufstellen

Das Volumen ist angegeben. Dieses teilt sich wiederum aus den drei Komponenten der Länge, Breite und Höhe auf. Wie auch im vorherigen Schritt kannst Du den Wert für \(a\) einsetzen. Danach kannst Du nach einer Variablen auflösen. Hier wird nach \(b\) aufgelöst.

\begin{align}V &= abc \\[0.4cm]40 &= 4bc &&|:(4c)\\[0.2cm]\frac{10}{c}&=b\end{align}

Schritt 3: Zielfunktion

Nun kannst Du \(b\) in die Hauptfunktion einsetzen und erhältst die Zielfunktion.

\begin{align}O &= 8b + 2bc + 8c \\&= 8\cdot\frac{10}{c} + 2\cdot\frac{10}{c}\cdot c + 8c \\&= \frac{80}{c} + 8c + 20\end{align}

Schritt 4: Extremstellen der Zielfunktion berechnen

Erstelle nun die Ableitung dieser Zielfunktion.

\[ O' = -\frac{80}{c^2} + 8 \]

Setze die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstelle zu erhalten.

\begin{align}O' &= 0 \\[0.2cm]-\frac{80}{c^2} + 8 &= 0 &&\left|-8\right.\\[0.2cm]-\frac{80}{c^2} &= -8 &&\left|\cdot(-c^2)\right.\\[0.2cm]80 &= 8 c^2 &&\left|:8\right.\\[0.4cm]10 &= c^2 &&\left|\sqrt{\quad}\right.\\[0.3cm]c_{1/2} &= \pm \sqrt{10}\end{align}

Nur die Extremstelle \(+\sqrt{10}\) ergibt Sinn, weil es keine negativen Längen gibt.

Schritt 5: Ergebnis berechnen

Nun kannst Du die minimal mögliche Oberfläche berechnen, indem Du alle Variablen einsetzt.

\begin{align}b&=\frac{10}{c}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\\\\O&= 8 \cdot \sqrt{10} + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} + 8 \cdot \sqrt{10} \\[0.1cm]&= 20+16\sqrt{10}=\text{70,60}\,[\text{cm}^3]\end{align}

\(40 \text{ cm²}\) Pappe reichen leider nicht aus, um eine Schachtel mit einem Volumen von \(40\text{ cm}^3\) herzustellen.

Aufgabe 1

Du möchtest einen rechteckigen Teppich in Dein Zimmer legen. Dein Zimmer ist allerdings nicht rechteckig, sondern hat zwei jeweils 5 Meter lange Wände mit einem rechten Winkel und \(\frac{1}{4}\) Kreisbogen anstatt der anderen zwei Wände. Die Funktion dafür ist die Kreisgleichung \(y=\pm\sqrt{25-x^2}\).

Lösung

In diesem Fall ist eine Skizze hilfreich:

Also skizzierst Du den Graphen der Kreisgleichung und integrierst dann den quadratischen Teppich in den Kreis. Die zwei geraden Wände werden durch die x- und die y-Achse dargestellt, sodass Du den Teppich dort anlegen kannst. Die Fläche des Teppichs an sich berechnest Du mit \(x\cdot y\).

Abb. 7 - maximales Rechteck in Kreissektor

Das heißt, die Hauptbedingung ist die Fläche des Teppichs:

\[A=x\cdot y\]

Und die Nebenbedingung ist die Funktion des Kreisbogens:

\[f(x)=\sqrt{25-x^2}\]

Das \(y\) in der Hauptbedingung ist dasselbe wie \(f(x)\), also kannst Du die Kreisgleichung direkt in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen.

\[{\color{türkies}A}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}f(x)}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}\sqrt{25-x^2}}\]

Der Wert einer Wurzel wird dann ein Maximum, wenn der Term unter der Wurzel ein Maximum wird. Hier ist es also am sinnvollsten, das \(x\) in die Wurzel zu verschieben und dann die Diskriminante abzuleiten.

\begin{align}A&=\sqrt{x^2(25-x^2)}=\sqrt{25x^2-x^4}\\d'&=50x-4x^3\\\end{align}

Diese Ableitung kannst Du nun mit \(0\) gleichsetzen und die Extrema berechnen.

\begin{align}50x-4x^3&=0&&\vert:x\\50-4x^2&=0&&\vert+4x^2\\50&=4x^2&&\vert:4\\12,5&=x^2&&\vert\sqrt{\quad}\\x_{1/2}&=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\\\end{align}

Da nur Werte aus dem 1. Quadranten gesucht sind, ist das positive Ergebnis interessant. Das kannst Du nun in die Nebenbedingung einsetzen, um auch die 2. Variable zu berechnen.

\[f(x)=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Jetzt hast Du beide Unbekannte gelöst und kannst den Flächeninhalt des größtmöglichen Teppichs berechnen.

\[A=x\cdot f(x)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=12,5\,[m^2]\]

Der größtmögliche Teppich ist also quadratisch, mit einer Seitenlänge von jeweils ungefähr \(\text{3,5 m}\) und deckt somit eine Fläche von \(\text{12,5 m}^2\) ab.

Aufgabe 2

Wie sieht das Ganze nun aus, wenn der Teppich den gesamten Kreis aus Aufgabe 1 ausfüllen soll?

Lösung

Eine Skizze der Situation sieht folgendermaßen aus:

Abb. 8 - maximales Rechteck in Kreis

1. Bestimme die Hauptbedingung

Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des rechteckigen Teppichs.

\[A=x\cdot y\]

Aber Achtung, das ist noch nicht die endgültige Hauptbedingung, denn Du hast hier 2 Möglichkeiten.

1. Entweder Du berechnest die Extremwerte beider Hälften der Kreisgleichung (also vom positiven und negativen Teil) und verwendest die Beträge der Ergebnisse zur Berechnung des Flächeninhalts \(\quad\rightarrow\quad A=\left(x_{1}+|x_{2}|\right)\cdot\left(y_{1}+|y_{2}|\right)\),
2. oder Du berechnest nur den Teil im 1. Quadranten (das geht, weil alles achsensymmetrisch ist) und nimmst das \(x\) und \(y\) jeweils mal \(2\) (da Du das \(x\) sowohl vor als auch nach dem Ursprung brauchst; genauso \(y\)) \(\quad\rightarrow\quad A=2x\cdot 2y\)

Die Rechnung ist aber wesentlich kürzer, wenn Du die 2. Möglichkeit verwendest. Diese wird hier gezeigt.

2. Bestimme die Nebenbedingung

Die Nebenbedingung stellt in diesem Fall die Kreisgleichung dar.

\[y=\sqrt{25-x^2}\]

3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.

Die Kreisgleichung ist bereits nach \(y\) aufgelöst, also kannst Du sie direkt in die Hauptbedingung einsetzen.

4. Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.

\[{\color{türkies}A}={\color{türkies}x}\cdot{\color{blau}\sqrt{25-x^2}}=\sqrt{25x^2-x^4}\]

5. Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.

Hier kannst Du nicht die ganze Funktion, sondern nur die Diskriminante ableiten und die Extrempunkte berechnen.

\begin{align}d'&=50x-4x^3\\\\50x-4x^3&=0&&\vert:x\\50-4x^2&=0&&\vert+4x^2\\50&=4x^2&&\vert:4\\12,5&=x^2&&\vert\sqrt{\quad}\\x_{1/2}&=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\\\end{align}

6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein.

Für den Flächeninhalt kannst Du nur positive Ergebnisse brauchen, daher fällt das negative Ergebnis weg. Das \(x\) kannst Du jetzt in die Kreisgleichung einsetzen und somit \(y\) berechnen.

\[y=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

\begin{align}A&=2x\cdot 2y=2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 2\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}=\left(5\sqrt{2}\right)^2=50\,[\text{m}^2]\\[0.2cm]x&=y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot2=5\sqrt2=\text{7,07 }[\text{m}]\end{align}

Der größtmögliche Teppich ist also quadratisch, mit einer Seitenlänge von jeweils \(\text{7,07 m}\) und einem Flächeninhalt von \(\text{50 m}^2\).

Aufgabe 3

Ein Getränkehersteller möchte für jede Getränkedose so wenig Material wie möglich verwenden. Die Dosen sollen eine zylindrische Form haben und \(\text{0,5 Liter}\) fassen. Berechne, wie viel Material mindestens benötigt wird.

• Das Volumen eines Zylinders berechnest Du mit \(V = \pi r^2 h\)
• und die Oberfläche mit \(O = 2 \pi r (r+h)\)

Lösung

1. & 2. Bestimme Haupt- und Nebenbedingung:

Zuerst empfiehlt es sich, den halben Liter in Quadratzentimeter umzurechnen, da die Oberfläche der Dose wahrscheinlich in dieser Größenordnung liegen wird.

\[0,5\, l = 0,5\, dm^2 = 50\, cm^2\]

Das heißt,

• die Hauptbedingung ist die Oberfläche, welche minimal werden soll: \(O = 2 \pi r (r+h)\)
• und die Nebenbedingung ist das Volumen, das einen halben Liter umfasst: \(V = \pi r^2 h\)

3. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf.

Hier empfiehlt sich die Variable \(h\).

\begin{align}\pi r^2 h&=50&&\vert:\left(\pi r^2\right)\\h&=\frac{50}{\pi r^2}\\\end{align}

4. Setze das Ergebnis von 3. in die Hauptbedingung ein. Du erhältst die Zielfunktion.\[O=2\pi r \left( r+\frac{50}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac {100}{r}\]

5. Berechne mithilfe der Ableitung die Extremstellen der Zielfunktion.

Hauptbedingung ableiten und mit \(0\) gleichsetzen liefert das Ergebnis für \(r\):

\begin{align}O'=4\pi r - \frac{100}{r^2} &=0 &&\vert+\frac{100}{r^2}\\4\pi r&= \frac{100}{r^2} &&\vert\cdot r^2\\4\pi r^3 &=100 &&\vert:4\pi\\r^3 &= \frac {25}{\pi} &&\vert\sqrt[3] {\quad} \\r &= \sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}=1,99\\\end{align}

6. Setze den errechneten Wert in die Nebenbedingung ein.

\begin{align}50&=\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi\cdot h&&\left|:\left(\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi\right)\right.\\h&=\frac{50}{\left(\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}}\right)^2\cdot\pi}=3,99\\\end{align}

7. Berechne die Hauptbedingung.

Nun kannst Du die Oberfläche des kleinstmöglichen Zylinders berechnen:

\[O=2\pi r(r+h)=\text{74,77}\, [\text{cm}^2]\]

Der kleinstmögliche Bedarf an Material für die Dose beträgt also gerundet \(\text{75 cm}^2\).