Fläche zwischen Graph und x-Achse

Die Tür wird durch die Funktion $f\left(x\right)$ dargestellt:

Der Abbildung können die Integrationsgrenzen entnommen werden: .

Die Funktion kannst du ableiten, da es sich um eine Polynomfunktion handelt, und das Intervall ist abgeschlossen. Daher dürfen wir dir Fläche nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen:

Nun weißt du, wie groß die Tür und wie groß die Gesamtfläche ist. Subtrahieren wir diese Werte voneinander, dann ergibt sich die zu streichende Fläche:

Der Querschnitt eines Flusses wird durch die Funktion $f\left(x\right)$ approximiert:

Abbildung 3: Die Funktion f(x) mit der gesuchten Fläche

Auch hier können wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, da für die Funktion eine Ableitung existiert und das Intervall abgeschlossen ist. Also suchen wir wieder eine Stammfunktion der Funktion $f\left(x\right)$ und wenden dann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an:

Durch die Betragsstriche wird der negative Zahlenwert in einen positiven umgewandelt, weil eine Fläche nicht negativ sein kann.

Gegeben sei die lineare Funktion $f\left(x\right)=x$ und die Intervallgrenzen .

Angenommen wir rechnen wie bisher, dann stellen wir fest, dass wir den Hauptsatz benutzen dürfen, da die Funktion differenzierbar und das Intervall abgeschlossen ist. Demnach berechnet sich die Fläche durch:

Nun haben wir ausgerechnet, dass die Fläche null ist, es also keine Fläche gibt, aber wenn wir die Aufgabe graphisch lösen, dann sehen wir, dass es eine Fläche gibt:

Abbildung 4: Die gesuchte Fläche der Funktion f(x)

Die Fläche unterhalb der x-Achse ist genauso groß wie die Fläche oberhalb der x-Achse. Das Integral nimmt davon dann die Bilanz, sprich in dem Fall werden die beiden Flächen aufaddiert. Allerdings ist eine Fläche vermeintlich negativ. Du weißt von oben aber schon, was dann zu tun ist, nämlich den Betrag nehmen für die Fläche unterhalb der x-Achse. Übrigens spricht man dann auch vom gerichteten Flächeninhalt:

Aufgabe 1

Berechne die Fläche zwischen $f\left(x\right)$ und der x-Achse im abgeschlossenen Intervall !

Lösung

1. Schritt: Bestimme die Nullstellen der Funktion:

Dazu müssen diejenigen x-Werte bestimmt werden, für die $y=0$ gilt:

Jetzt weißt du, dass bei $x=1$ die Funktion eine Nullstelle hat. Das heißt, das Vorzeichen der y-Werte wird sich an der Stelle mit ziemlich großer Sicherheit ändern.

2. Schritt: Bestimme das Vorzeichen der y-Werte:

Oben haben wir festgestellt, dass es wichtig ist, ob die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Genau das untersuchst du in diesem Schritt.

Setzen wir den äußeren Intervallwert 0 ein, dann ist der Funktionswert -1, also negativ. Dann weißt du, dass die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, zumindest bis zur Nullstelle $x=1$. Wenn du dann noch den anderen äußeren Intervallwert 2 in die Funktionsgleichung einsetzt, dann kommt dort ein positiver Wert raus. Das heißt, die Funktion verläuft in oberhalb der x-Achse!

Alternativ kannst du das auch zeichnerisch lösen:

Abbildung 5: Die verschobene Wurzelfunktion

3. Schritt: Bestimme eine Stammfunktion der gegebenen Funktion:

4. Schritt: Berechne die bestimmten Integrale unter Beachtung des Verlaufs der Funktion:

Dazu muss in diesem Fall die Fläche unterhalb der x-Achse im Intervall $[0,1]$ berechnet werden und die Fläche oberhalb der x-Achse im Intervall $[1,2]$. Anschließend addierst du beide Flächen!

Zur Berechnung wird wieder der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet:

Aufgabe 2

Berechne die Fläche zwischen des Graphens der Funktion $f\left(x\right)$ und der x-Achse im Intervall !

Lösung

Die Sinusfunktion verläuft im besagten Intervall oberhalb der x-Achse, daher kann die Fläche durch das bestimmte Integral berechnet werden. Außerdem wissen wir, dass die Sinusfunktion differenzierbar ist, daher verwenden wir zur Berechnung des bestimmten Integrals den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Die gesuchte Fläche beträgt also rund 5,14 Flächeneinheiten.