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Kannst du schon mithilfe des Integrals die Fläche zwischen einem Graph und der x-Achse berechnen? Dann bist du jetzt bereit für das nächste Level: In diesem Artikel lernst du, wie du die Fläche zwischen zwei Graphen ermittelst!
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Team Fläche zwischen zwei Graphen Lehrer
Oft berechnest du die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass du die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ausrechnen musst. Die Berechnung erfolgt auch in diesem Fall durch die Berechnung des bestimmten Integrals.
Falls du dir unsicher bist, wie die Fläche zwischen eines Graphens und der x-Achse berechnet wird, dann schau' dir den entsprechenden Artikel an. Dieser befindet sich auch in diesem Kapitel!
Der Gedanke, die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen, ist bis hierhin gar nichts Neues. In der Tat, hast du das wahrscheinlich schon gemacht, indem du die Fläche einer Funktion beispielsweise oberhalb der x-Achse berechnet hast! Denn die x-Achse kann als die Funktion verstanden werden. Ohne es also zu wissen, hast du schon vorher die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet.
In der folgenden Abbildungen sind zwei Funktionen gegeben, die eine türkise Fläche umschließen, die berechnet werden soll:
Abbildung 1: Zwei Funktionen, die eine Fläche umschließen
Wie auch bei anderen Aufgaben zur Flächenberechnung komplexerer Sachverhalte können wir zuerst die große Fläche berechnen und dann die kleinere Fläche davon abziehen. In diesem Fall ist die orange Fläche die große Fläche und die hellblaue Fläche die kleine Fläche:
Abbildung 2: Die große orangene Fläche 
Abbildung 3: Die kleine blaue Fläche
Falls dir die Berechnung bestimmter Integrale bzw. die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung schwerfällt, dann schau' dir am besten die entsprechenden Artikel unter Integralrechnung an!
Um die beiden Teilflächen auszurechnen, verwendest du wie gewohnt die Berechnung über das bestimmte Integral. Die beiden Funktionen genügen den Funktionsgleichungen:
Die Integrationsgrenzen entsprechen den x-Werten der Schnittpunkte der beiden Funktionen. Um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, setzt du diese gleich:
Das zu integrierende Intervall lautet also: 
.
Beide Funktionen besitzen eine Ableitung, da sie Polynomfunktionen sind und das Intervall abgeschlossen ist. Daher darfst du zur Berechnung den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwenden. Die Fläche berechnest du dann wie folgt:
Eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen bilden:
Dann kannst du die bestimmten Integrale aufstellen und den Flächeninhalt berechnen:
Alternativ kannst du hier in der Berechnung auch die Achsensymmetrie der beiden Funktionen benutzen. Durch die Symmetrie ist die Fläche links von der y-Achse genauso groß wie die Fläche rechts von der x-Achse. Dann kannst du nur eine Fläche berechnen und diese anschließend verdoppeln. Für die erste Fläche würde die Berechnung dann wie folgt lauten:
Dann musst du die kleinere von der größeren Fläche abziehen und schon bist du fertig! Du hast die türkise Fläche berechnet:
Damit du nicht immer zwei bestimmte Integrale ausrechnen musst, kann die Berechnung der Fläche etwas vereinfacht werden. Statt die Flächen am Ende voneinander zu subtrahieren, tun wir dies am Anfang, aber mit den Funktionen.
Wenn zwei Funktionen und voneinander subtrahiert werden, dann nennt man die neu entstandene Funktion Differenzfunktion:
Bei der Flächenberechnung zwischen einer Funktion und der x-Achse ist es von Bedeutung zu wissen, ob die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Dies ist hier irrelevant. Allerdings musst du dafür etwas anderes beachten!
Es ist wichtig zu wissen, welche Funktion ober- und welche unterhalb der jeweils anderen Funktion verläuft:
Abbildung 4: Zwei Funktionen, die eine Fläche umschließen
In unserem Beispiel von oben wäre die obere Funktion im Intervall 
und die untere Funktion. Die untere Funktion wird bei der Bildung der Differenzfunktion von der oberen Funktion abgezogen:
Abbildung 5: die Differenzfunktion
In der Grafik kannst du dann erkennen, dass wenn die Funktionswerte der beiden Funktionen stark voneinander abweichen, dass dann die Differenzfunktion dort einen hohen Funktionswert hat. Sind die Funktionswerte aber gleich, also wenn sich die beiden Funktionen schneiden, dann ist die Differenzfunktion an der Stelle gleich null.
Um die Fläche zwischen den beiden Graphen nun auszurechnen, nimmst du dir die Differenzfunktion und berechnest das bestimmte Integral im gegebenen Intervall.
Die Differenzfunktion ist gegeben durch:
Das Intervall 
ist abgeschlossen und du kannst bei der Differenzfunktion eine Ableitung bilden. Daher dürfen wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzen.
Eine Stammfunktion von lautet:
Die Fläche berechnet sich nun durch das bestimmte Integral:
Es kann auch der Fall eintreten, dass sich zwei Funktionen mehrfach schneiden und somit mehrere Flächen ergeben, die du berechnen kannst. Dann kannst du nicht mehr nur die Differenzfunktion bilden und diese dann ausrechnen. Das liegt daran, dass das Integral nur eine Flächenbilanz ist. Wenn mehrere Flächen eingeschlossen werden, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass die Differenzfunktion dann unter der x-Achse verläuft.
In dem Artikel Fläche zwischen Funktion und x-Achse kannst du zu diesem Phänomen noch einmal Genaueres nachlesen. Hier schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an:
Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt noch einmal verdeutlichen:
Abbildung 6: Zwei Funktionen mit mehreren Schnittflächen
Dabei sind die Funktionen durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben:
Um die Fläche zu errechnen, musst du erstmal wissen, was deine Intervallgrenzen sind. Dazu musst du wie im ersten Beispiel die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen:
Danach bildest du die Differenzfunktion, prüfst, ob sich diese ableiten lässt und bildest eine Stammfunktion. Dabei musst du aber wieder beachten, welche Funktion ober- und welche unterhalb der jeweils anderen verläuft. Im ersten Intervall von -1 bis 0 ist die Differenzfunktion:
Für das andere Intervall ist die Differenzfunktion eine andere:
Dann berechnest du die Fläche durch die bestimmten Integrale:
Somit beträgt die Gesamtfläche Flächeneinheiten.
Um dein Verständnis für die Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich:
Aufgabe
Berechne die Fläche, die von den beiden Graphen der folgenden Funktionen eingeschlossen wird!
Lösung
Zuerst müssen die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnet werden:
Nun musst du durch eine Rechnung oder einer Skizze ermitteln, welche Funktion oberhalb der jeweils anderen verläuft. Schau' dir doch mal die Funktionswerte an der Stelle an:
Daran kannst du erkennen, dass die Funktion oberhalb verläuft, da der Funktionswert größer ist. Nun bildest du die Differenzfunktion:
Davon bilden wir nun eine Stammfunktion und setzen alles in das bestimmte Integral ein:
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Wie berechne ich den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen?
Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ist das bestimmte Integral der Differenzfunktion mit den Integrationsgrenzen der x-Werte der Schnittpunkte der beiden Funktionen miteinander.
Was bedeutet die Fläche zwischen zwei Graphen?
Das ist die Fläche, die zwei Graphen im Koordinatensystem einschließen.
Warum ist das Integral die Fläche?
Im Prinzip ist das Integral eine unendliche Summe von kleinen Rechtecken, die die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen annähern. Dabei ist die Länge dieser Rechtecke der Funktionswert der Funktion und die Breite unendlich kleine Teilintervalle auf der x-Achse. Da diese Teilintervalle gegen 0 gehen schreibt man statt eines Summenzeichens ein Integralzeichen. Die besagten Rechtecke können fast jede Fläche unter einer Funktion näherungsweise beschreiben.
Was versteht man unter Flächenbilanz?
Das Integral ist die Flächenbilanz einer Funktion. Bedeutet, dass die Fläche oberhalb der x-Achse subtrahiert wird von der Fläche unterhalb der x-Achse.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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