Funktionen

Funktionen Grundbegriffe

Es gibt grundlegende Begriffe, die Dir dabei helfen, das Thema Funktionen zu verinnerlichen. Dazu gehören die Begriffe Funktion, Funktionsterm, Funktionsgraph und Funktionsgleichung.

Eine Funktion $f(x)$ ist eine Vorschrift, die zwei Mengen und die darin enthaltenen Elemente einander zuordnet. Jedem Element $x$ der Definitionsmenge $\mathbb{D}$, wird ein Element $y$ der Wertemenge $\mathbb{W}$ zugeordnet.

Du kannst Funktionen (die Zuordnung aller $x$ und $y$-Werte) auch grafisch darstellen, wenn sie in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Im Beispiel hast Du bereits eine bestimmte Art von Funktionen gesehen. Sie gehört zu den ganzrationalen Funktionen.

Ganzrationale Funktionen

Eine ganzrationale Funktion, auch Polynomfunktion $n$-ten Grades genannt, ist eine Funktion $f(x)$ der Form:

$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x^1+a_0$$

Je nachdem, welchen Grad $n$ die Funktion $f(x)$ besitzt, gehören zum Beispiel auch lineare oder quadratische Funktionen zu dieser Kategorie. Was kennzeichnet diese Art Funktionen?

Lineare Funktionen und quadratische Funktionen

Eine lineare Funktion $f(x)$, ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades, welche grafisch durch eine Gerade dargestellt wird.

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und lässt sich innerhalb des Koordinatensystems durch eine Parabel darstellen und bezeichnet quadratische Funktionen.

Wenn Du noch mehr über „lineare Funktionen“ und „quadratische Funktionen“ erfahren möchtest, schau Dir die einzelnen Erklärungen an.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ lässt sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ darstellen. Demnach liegt die Funktion $f(x)$ in folgender Form vor:

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

Potenzfunktion und Wurzelfunktion

Eine Potenzfunktion $f(x)=x^n$ ist eine ganzrationale Funktion, die eine positive ganze Zahl $n$ im Exponenten hat. Wird der ganzzahlige Exponent durch einen rationalen Exponenten ersetzt, so ergibt sich die Potenzfunktion $f(x)$ mit rationalem Exponenten:

$$f(x)=x^{\frac{m}{n}}$$

Aus der Umkehrfunktion der Potenzfunktion mit ganzem Exponenten ergibt sich die allgemeine Wurzelfunktion.

$$f(x)=\sqrt[n]{x}$$

In den Erklärungen „Potenzfunktionen“ und „Wurzelfunktion“ findest Du noch weitere Beispiele und Übungsaufgaben. Sieh also gerne vorbei!

Trigonometrische Funktionen

Die Kosinus-, Sinus- und Tangensfunktion gehören zu den trigonometrischen Funktionen.

Aber wie sehen diese aus?

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion $f(x)=a^x$ mit einer Basis $a$ und einer Variable $x$ im Exponenten. Wird die Basis $a$ durch die Eulersche Zahl $e$ ersetzt, dann ergibt sich die natürliche Exponentialfunktion.

$$f(x)=e^x$$

Die Logarithmusfunktion $f(x)=lo{g}_a(x)$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion $f(x)=a^x$. Auch hier kann die Basis $a$ durch die Eulersche Zahl $e$ ersetzt werden und es ergibt sich:

$$f(x)=lo{g}_e(x)=ln(x)$$

In manchen Aufgaben kann es sein, dass Du die Funktion $f(x)$ nicht gegeben hast, sondern erst bestimmen musst. Sieh Dir dazu das nächste Kapitel an.

Rekonstruktion von Funktionen

Bei der Rekonstruktion von Funktionen hast Du nur verschiedene Eigenschaften und Informationen zu einer zunächst unbekannten Funktion $f(x)$ gegeben. Mit diesen Informationen kannst Du die Funktion $f(x)$ rekonstruieren und ihre Funktionsgleichung bestimmen.

In den Karteikarten zu „Funktionen“ findest Du noch weitere Übungsaufgaben und Wissensfragen rund um das Thema Funktionen.