Funktionsgleichung aus Punkten bestimmen

Lineare Funktionen – Grundlagen

Gute Neuigkeiten, das geht wirklich. Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktion hat das Prinzip $y=mx+t$. Dabei ist $m$ die Steigung und $t$ der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet.

Dazu zeichnest Du Dir ein Steigungsdreieck ein. Ob das Steigungsdreieck über oder unter dem Graphen liegt, ist egal. Du kannst also von einem der beiden Punkte eine waagrechte Linie in Richtung des anderen Punktes ziehen und vom anderen Punkt aus eine senkrechte Linie, also ein Lot in Richtung des ersten Punktes. Dort, wo sich die Linien schneiden, entsteht somit ein rechter Winkel und Du hast ein Steigungsdreieck gezeichnet.

Abbildung 1: Steigungsdreick

Um die Steigung zu ermitteln, folgst Du nun den Linien und schreibst Dir die Abstände, also $\mathrm{\Delta }x$ und $\mathrm{\Delta }y$, als Bruch auf. Es gilt: $$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

Dabei ist es egal, bei welchem Punkt Du beginnst. Wichtig ist: folgst Du der Linie in positive x oder y-Richtung, schreibst Du einen positiven Wert in den Bruch. Folgst Du der Linie in negativer Richtung, so resultiert ein negativer Wert. Zum Schluss kannst Du den Bruch noch kürzen. Dann hast Du die Steigung gefunden.

Funktionsgleichung aus 2 Punkten bestimmen

Wenn Du 2 Punkte gegeben hast und eine lineare Funktion zeichnen sollst, ist das schnell erledigt, indem Du die Punkte mit einer Geraden verbindest. Dann fehlt Dir allerdings noch die Funktionsgleichung.

Gleichung einer Geraden bestimmen aus 2 Punkten

Um die gesuchte lineare Funktion aufstellen zu können, benötigst Du diese Formel: $$y=mx+t$$Das ist die allgemeine Form einer linearen Gleichung.

Bei zwei gegebenen Punkten gibt es zwei Möglichkeiten, die Funktionsgleichung zu erhalten:

• die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen
• lineares Gleichungssystem aufstellen

Steigung und y-Achsenabschnitt berechnen

Die Steigung $m$ kannst Du berechnen, indem Du die beiden gegebenen Punkte (beispielsweise $P(x|y)$ und $Q(x|y)$) voneinander abziehst.

$$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$$

Nun fehlt noch der y-Achsenabschnitt $t$. Den erhältst Du, indem Du die Steigung $m$ und einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung $y=mx+t$ einsetzt und dann nach $t$ auflöst.

Lineares Gleichungssystem aufstellen

Die zweite Möglichkeit besteht darin, beide Punkte jeweils in die Formel $y=mx+t$ einzusetzen und somit ein lineares Gleichungssystem zu erstellen.

Es gibt allerdings noch viele weitere Möglichkeiten, um Funktionsgleichungen anhand von gegebenen Kriterien aufzustellen.

Funktionsgleichung ablesen graphisch

Du hättest beispielsweise auch zuerst den Graphen anhand Deiner Punkte zeichnen und danach die Funktionsgleichung ablesen können. Wie das geht, wurde weiter oben bei den Grundlagen schon angesprochen.

Lineare Funktionsgleichung mit Punkt und y-Achsenabschnitt oder Punkt und Steigung ermitteln

Hast Du einen Punkt und den y-Achsenabschnitt $t$ gegeben, brauchst Du nur noch die Steigung $m$ zu berechnen, damit Du alle nötigen Werte für die Formel $y=mx+t$ hast. Dazu hast Du wieder 2 Möglichkeiten. Das gleiche Prinzip gilt auch für den Fall, dass Du einen Punkt und die Steigung gegeben hast.

Steigung mit Formel berechnen

$t$ ist nicht nur der Schnittpunkt mit der y-Achse, sondern kann auch als normaler Punkt mit $x=0$ angesehen werden, also $t(y|0)$. Somit kannst Du mit $t$ und dem gegebenen Punkt $P(x|y)$ die Steigung $m$ berechnen.

$$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

Steigung mittels Gleichung berechnen

Die andere Möglichkeit ist, dass Du $t$ und den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung $y=mx+t$ einsetzt und nach $m$ auflöst. Somit hast Du $t$ und $m$ gefunden.

Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aus 2 Punkten bestimmen

Eine Exponentialfunktion kannst Du auch anhand von 2 Punkten finden. Da die Steigung variabel ist, also sich im Verlauf des Graphen ändert, ist das allerdings auch die einzige Möglichkeit, die Funktionsgleichung zu bestimmen.

Um eine Exponentialfunktion anhand von zwei Punkten zu finden, brauchst Du ein Gleichungssystem. Dazu nimmst Du die allgemeine Form der Exponentialfunktion, setzt jeweils einen Punkt ein und hast somit 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die Du auflösen kannst.

Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen

Bei quadratischen Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten, was gegeben sein kann.

• 3 Punkte
• ein Punkt und der Scheitelpunkt
• ein Punkt und zwei Nullstellen

Für diese 3 Möglichkeiten gibt es auch unterschiedliche Formeln, die Du nutzen kannst.

Die Wahl der Formel ist also entscheidend, je nachdem, was Du gegeben hast.

Quadratische Funktionsgleichung aus 3 Punkten bestimmen

Wenn Du drei Punkte gegeben hast, erstellst Du Dir mit der allgemeinen Form der Parabel ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Wenn Du dieses auflöst, erhältst Du als Ergebnis die Funktionsgleichung der gesuchten Parabel.

Wenn Du mehr über die Punkte weißt, die Du gegeben hast, dann geht diese Rechnung allerdings schneller.

Quadratische Funktionsgleichung mit Punkt und Scheitel bestimmen

Für den Fall, dass Du einen Punkt und den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ gegeben hast, verwendest Du die Scheitelpunktform.$$y=a(x-x_s{)}^2+y_s$$. Damit kannst Du dann $a$ berechnen und die Funktionsgleichung aufstellen.

Quadratische Funktionsgleichung mit Punkt und Nullstellen bestimmen

Eine weitere Möglichkeit ist, dass ein Punkt und die Nullstellen gegeben sind. Hier kommt die faktorisierte Form für die Nullstellen $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ ins Spiel. Auch hier setzt Du wieder alle gegebenen Punkte ein und löst nach $a$ auf.

Quadratische Funktionsgleichung am Graphen aufstellen

Zu guter Letzt kannst Du eine Funktionsgleichung auch aufstellen, wenn Du nur den Graphen gegeben hast. Welche der 3 eben genannten Methoden Du dabei verwendest, ist Dir überlassen. Die benötigten Punkte dafür kannst Du Dir selbst aussuchen, indem Du sie vom Funktionsgraphen abliest. Dabei empfehlen sich ganzzahlige Koordinaten. Die 3 Möglichkeiten sind:

• Berechnung mit der allgemeinen Form einer Parabel (3 Punkte und Gleichungssystem)
• Berechnung mit der Scheitelpunktform (1 Punkt und der Scheitelpunkt)
• Berechnung mit der faktorisierten Form (Nullstellen)

Funktionsgleichung aus Punkten bestimmen – Aufgaben

Das waren jetzt ziemlich viele verschiedene Fälle. Versuche Dich doch mal an ein paar Übungen.