Ganzrationale Funktionen Nullstellen

Aufgabe 1

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+5x^2+x\)

Lösung

Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.

\[\begin{align} f(x) &= 4x^3+5x^2+x \\&= x \cdot (4x^2+5x+1) \end{align}\]

Ein Produkt wird immer 0, sobald einer seiner Faktoren 0 wird. Das heißt, dass Deine erste Nullstelle \(x = 0\) ist, da das Produkt 0 wird, wenn das ausgeklammerte x 0 wird. Somit hast Du die erste Nullstelle durch Faktorisieren herausgefunden.

Die restlichen Nullstellen berechnest Du nun mit der Mitternachtsformel. Hierfür nimmst Du nur den Term zweiten Grades, welcher in den Klammern steht.

\[x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-5 \pm 3}{8}\]

\[x_2 = \frac{-5+3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} ; x_3 = \frac{-5-3}{8} = \frac{-8}{8} = -1\]

Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = -\frac{1}{4}\) und \(x_3 = –1\) berechnet.

Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-7x^2-2x+14\)

Lösung

Die gegebene Funktion ist ein Polynom dritten Grades und kann durch Ausklammern so umgestellt werden, dass Du auf einen Blick die Nullstellen herausfinden kannst.

\[f(x) = 0\]

\[\begin{align}x^3-7x^2-2x+14 &= 0 \\x^2\cdot(x-7)-2\cdot(x-7) &= 0 \\(x^2-2)\cdot(x-7) &= 0\end{align}\]

Die Terme $(x^2-2)$ und $(x-7)$ sind die Linearfaktoren und gleichzeitig auch die Terme, welche Dir die Nullstellen zeigen. Wenn Du weiterrechnest, kommt folgendes als Nullstellen heraus:

\[\begin{align}x^2-2 = 0~~~~~~~~~~~~~~~~und~~~~~~~~~~~~~~~~~ x-7 = 0 \\x^2 = 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x_3 = 7 \\x_{1,2} = \pm \sqrt{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{align}\]

Damit hast Du durch Ausklammern und Linearfaktorzerlegung die Nullstellen \(x_1 = \sqrt{2}, ~~~ x_2 = -\sqrt{2}\) und \(x_3 = 7\) herausgefunden.

Aufgabe 3

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.

Lösung

1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion erfüllt das nicht, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.

2. Schritt: \(x\) ausklammern

\[\begin{align} 5x^3+7x^2+2x &= 0 \\x \cdot (5x^2+7x+2) &= 0 \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen

\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{10} \\x_{2,3} &= \frac{-7 \pm 3}{10} \end{align}\]

\[x_2 = \frac{-7 + 3}{10} = -0,4\] \[x_3 = \frac{-7-3}{10} = -1\]

Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 5x^3+7x^2+2x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = -0,4\) und \(x_3 = -1\) berechnet.

Aufgabe 4

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 5x^4+8x^2+3\).

Lösung

1. Schritt: geeignete Variable zur Substitution finden

Du möchtest die gegebene Funktion vierten Grades in eine Funktion zweiten Grades umwandeln. Dies funktioniert am besten, wenn Du für \(x^2\) eine neue Variable einsetzt. \(z\) eignet sich hierfür gut.

\[x^2 = z\]

Wenn Du diese neue Variable in die Funktion \(f(x)\) einsetzt, kommt folgende neue Funktion heraus:

\[f(z) = 5z^2+8z+3\]

2. Schritt: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen dieser neuen Funktion \(f(z)\) kannst Du durch die Mitternachtsformel berechnen.

\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{8^2-4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} \\z_{1,2} &= \frac{8 \pm 2}{10} \end{align}\]

\[z_1 = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[z_2 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6\]

3. Schritt: Resubstitution

Wie oben schon erwähnt, steht als letzter Schritt die Resubstitution der berechneten Nullstellen von \(f(z)\) an. Dafür nimmst Du die Formel für die Variable \(z\), setzt jeweils eine Nullstelle ein und stellst sie nach \(x\) um.

\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 1 \\x &= \sqrt{1} \end{align}\]\[x_1 = -1 ~~~~ x_2 = 1\]

\[\begin{align} x^2 &= z \\x^2 &= 0,6 \\x &= \sqrt{0,6} \end{align}\]

\[x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5} ~~~~ x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\]

Durch Substitution und Resubstitution hast Du die Nullstellen \(x_1 = -1\) ; \(x_2 = 1\) ; \(x_3 = -\frac{\sqrt{15}}{5}\) und \(x_4 = \frac{\sqrt{15}}{5}\) herausgefunden.

Aufgabe 5

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x^3-2x^2-4x+8\)

Lösung

Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.

\[f(2) = 2^3-2\cdot2^2-4\cdot2+8 = 8-8-8+8 = 0\]

Wenn Du für x 2 einsetzt, wird die ganze Gleichung 0, das heißt, dass \(x_1 = 2\) eine Nullstelle der Funktion f(x) ist. Damit kannst Du die Polynomdivision mit \((x-2)\) als Dividenden durchführen.

\[\begin{align}(x^3-2x^2-4x+8) : (x-2) = x^2-4 \\-(x^3-2x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\-(-4x+8) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]

Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = x^2-4\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.

\[x_{2,3} = \frac{0 \pm \sqrt{0-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1} = \frac{\pm \sqrt{16}}{2} = \frac{\pm 4}{2}\]

\[x_2 = \frac{4}{2} = 2;~~ x_3 = \frac{-4}{2} = -2\]

Dadurch, dass die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) die gleiche sind, hast Du an dieser x-Koordinate eine doppelte Nullstelle gefunden.

Damit hast Du die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) berechnet.

Aufgabe 6

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 4x^3+6x^2-4x-3\) mit dem Horner-Schema.

Lösung

Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.

\[f(0) = 4\cdot0^3+6\cdot0^2-4\cdot0-3 = 0+0-0-3 = -3\]

An der x-Koordinate \(x = 0\) liegt keine Nullstellen vor.

\[\begin{align} f(-0,5) &= 4\cdot(-0,5)^3+6\cdot(-0,5)^2-4\cdot(0,5)-3 = \\&= 4\cdot(-0,125)+6\cdot0,25-4\cdot(-0,5)-3 = \\&= -0,5+1,5+2-3 = 0 \end{align}\]

An der x-Koordinate \(x = -0,5\) wird die Funktion f(x) 0, was heißt, dass hier eine Nullstelle vorliegt. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem Horner-Schema weitermachen.

Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = -0,5\)bestätigt wurde.

Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile sind die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.

\[g(x) = \frac{4x^3+6x^2-4x-3}{x+0,5} = -2x^2-2x+3\]

Das neue Polynom zweiten Grades kannst Du als letzten Schritt in die Mitternachtsformel oder pq-Formel einsetzen, um die letzten zwei Nullstellen herauszufinden.

\[x_{2,3} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(-2)\cdot3}}{2\cdot(-2)} = \frac{2\pm\sqrt{4+24}}{-4} = \frac{2\pm\sqrt{28}}{-4}\]

\[x_2 = \frac{2+\sqrt{28}}{-4} \approx 1,82; ~~~ x_3 = \frac{2-\sqrt{28}}{-4} \approx -0,82\]

Aufgabe 7

Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 2x^3 +8x^2-2x-6\) mit der Formel von Cardano.

Lösung

Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.

1. Schritt: \(x^3\) muss alleine stehen.

\[\begin{align} 2x^3+8x^2-2x-6 &= 0 ~~~~~~~~ | :2 \\x^3+4x^2-x-3 &= 0 \end{align}\]

2. Schritt: Nötige Variablen definieren

Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten einer kubischen Funktion, also einer \(x^3\)-Funktion, bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.

\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]

\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} - 3 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} -3 \\q &= \frac{83}{27} \end{align}\]

\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{83}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= 2,36 - \frac{6859}{729} \\D &= -\frac{761}{108} \approx -7,05\end{align}\]

\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]

Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.

3. Schritt: Fallunterscheidung für die Endberechnung

Bei der cardanischen Formel gibt es Fallunterscheidungen für D, falls es negativ oder positiv wird. In diesem Fall ist D negativ, also nimmst Du die Formel für das negative D. Mit dieser Formel hast Du für die drei reellen Lösungen drei verschiedene Formeln.

\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right]\]

\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right]\]

\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot p}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right]\]

\[\begin{align} p &= -\frac{19}{3}\\q &= \frac{83}{27}\end{align}\]

\[z_1 = \sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) \right] \approx 2,23\]

\[z_2 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right] \approx 0,51\]

\[z_3 = -\sqrt{-\frac{4\cdot (-\frac{19}{3})}{3}} \cdot \cos \left[\frac{1}{3} \cdot arc\cos \left(-\frac{\frac{83}{27}}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{(-\frac{19}{3})^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right] \approx -2,73\]

4. Schritt: x berechnen

Als letzten Schritt setzt Du die gerade errechneten z-Werte in die Gleichung \(x = z - \frac{4}{3}\) ein und findest damit x heraus.

\[\begin{align} x_1 &= z_1 - \frac{4}{3} \\&= 2,23 - \frac{4}{3} \approx 0,89\end{align}\]

\[\begin{align} x_2 &= z_2 - \frac{4}{3} \\&= 0,51 - \frac{4}{3} \approx -0,83\end{align}\]

\[\begin{align} x_3 &= z_3 - \frac{4}{3} \\&= -2,73 - \frac{4}{3} \approx -4,06\end{align}\]

Damit hast Du die drei Nullstellen der Funktion \(f(x) = 2x^3+8x^2-2x-6\) als \(x_1 = 0,89; ~~ x_2 = -0,83\) und \(x_3 = -4,06\) herausgefunden.

Aufgabe 8

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3+9x^2-4x\)

Lösung

Bei einer Funktion, welche kein konstantes Glied, also keine Zahl ohne eine Variable, enthält, ist Faktorisieren der schnellste Weg, um die erste Nullstelle herauszufinden.

\[\begin{align} f(x) &= 6x^3+9x^2-4x \\&= x \cdot (6x^2+9x-4) \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

Die letzten zwei Nullstellen berechnest Du mit dem Term, welcher in den Klammern steht.

\[x_{2,3} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot6\cdot(-4)}}{2\cdot6} = \frac{-9 \pm \sqrt{81+96}}{12} = \frac{-9 \pm \sqrt{177}}{12}\]

\[x_2 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} = \approx 0,36~~ ; x_3 = \frac{-9+\sqrt{177}}{12} \approx -1,86\]

Damit hast Du durch Faktorisieren und die Mitternachtsformel die Nullstellen \(x_1 = 0, ~~x_2 = 0,36\) und \(x_3 = –1,86\) berechnet.

Aufgabe 9

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) mit dem Satz vom Nullprodukt.

Lösung

1. Schritt: Du solltest überprüfen, ob die Funktion \(f(x)\) ein konstantes Glied, also eine Zahl ohne \(x\) hat. Die gegebene Funktion hat nur Zahlen mit einer Variable, weswegen Du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst.

2. Schritt: \(x\) ausklammern

\[\begin{align} 6x^3-4x^2-5x &= 0 \\x \cdot (6x^2-4x-5) &= 0 \end{align}\]

\[x_1 = 0\]

3. Schritt: restlichen Nullstellen mit der pq- oder Mitternachtsformel berechnen

\[\begin{align} x_{2,3} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 6 \cdot (-5)}}{2 \cdot 6} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{16+120}}{12} \\x_{2,3} &= \frac{4 \pm \sqrt{136}}{12} \end{align}\]

\[x_2 = \frac{4+\sqrt{136}}{12} \approx 1,31; ~~~ x_3 = \frac{4-\sqrt{136}}{12} \approx -0,64\]

Damit hast Du für die Funktion \(f(x) = 6x^3-4x^2-5x\) die Nullstellen \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1,31\) und \(x_3 = -0,64\) berechnet.

Aufgabe 10

Berechne die Nullstellen der Funktion \[f(x) = 4x^4-3x^2-6\] mit der Substitution.

Lösung

Wie oben erwähnt benötigst Du für die Nullstellenberechnung mit der Substitution 3 Schritte; eine passende Variable finden, substituieren und Nullstellen berechnen und resubstituieren.

1. Schritt: passende Variable finden

\[x^2 = z\]

2. Schritt: Substituieren und Nullstellen berechnen

\[f(z) = 4z^2-3z-6\]

\[\begin{align} z_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\&= \frac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4} \\&= \frac{3\pm\sqrt{9+96}}{8} \\&= \frac{3\pm\sqrt{105}}{8} \end{align}\]

\[z_1 = \frac{3+\sqrt{105}}{8} \approx = 1,66; ~~~ z_2 = \frac{3-\sqrt{105}}{8} \approx -0,91\]

3. Schritt: Resubstitution mit \(x = \pm \sqrt{z}\)

\[x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx 1,29; ~~~ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{\frac{3+\sqrt{105}}{8}} \approx -1,29\]

Die Nullstellen \(x_3\) und \(x_4\) kannst Du nicht berechnen, da die Nullstelle \(z_2\) negativ ist und Du keine negativen Wurzeln lösen kannst.

Somit hast Du für die Funktion \(f(x) = 4x^4-3x^2-6\) die Nullstellen \(x_1 = 1,29\) und \(x_2 = -1,29\) berechnet.

Aufgabe 11

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\)

Lösung

Zuerst solltest Du eine Nullstelle durch Einsetzen verschiedener, kleiner x-Werte herausfinden, um einen Dividenden für die Polynomdivision zu bekommen.

\[f(1) = -5 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2+15 \cdot 1 + 9 = -5+9+15+9 = 28\]

\[f(3) = -5 \cdot 3^3+9 \cdot 3^2+15 \cdot 3 +9 = -135+81+45+9 = 0\]

Wenn Du für x die Zahl 3 einsetzt, bekommst Du als Ergebnis 0 heraus, was bedeutet, dass bei \(x = 3\) eine Nullstelle vorhanden ist. Nun kannst Du also die Funktion \(f(x)\) durch den Term \(x-3\) teilen.

\[\begin{align}(-5x^3+9x^2+15x+9) : (x-3) = -5x^2-6x-3\\-(-5x^3+15x^2)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-6x^2+15x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-6x^2+18x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-3x+9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\-(-3x+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}\]

Durch die Polynomdivision hast Du nun die quadratische Funktion \(g(x) = -5x^2-6x-3\), welche Du in die Mitternachtsformel einsetzen kannst, um so die letzten beiden Nullstellen zu bekommen.

\[x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot(-5)\cdot(-3)}}{2\cdot(-5)} = \frac{6 \pm \sqrt{36-60}}{-10} = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{-10}\]

Die Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\) kannst Du nicht berechnen, da Du keine negativen Klammern lösen kannst. Somit hast Du die einzige Nullstelle der Funktion \(f(x) = -5x^3+9x^2+15x+9\) bei \(x_1 = 3\) gefunden.

Aufgabe 12

Löse die ganzrationale Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) mit der Formel von Cardano.

Lösung

Wie oben erwähnt, sind für die Formel von Cardano 4 Schritte notwendig.

1. Schritt: Vor \(x^3\) darf keine Zahl stehen.

\[\begin{align} 4x^3+16x^2-4x+32 &= 0 ~~~~~~~~ | :4 \\x^3+4x^2-x+8 &= 0 \end{align}\]

2. Schritt: Nötige Variablen definieren

Für die Formel von Cardano sind drei neue Variablen nötig, die sich aus den Koeffizienten der kubischen Funktion bilden lassen. Du benötigst die Variablen p,q und D. Außerdem benötigst Du für x noch eine Gleichung in Abhängigkeit der Variable z, welche noch unbekannt ist.

\[\begin{align} p &= b - \frac{(a^2)} {3} \\p &= -1 - \frac{4^2}{3} \\p &= -1 - \frac{16}{3} \\p &= -\frac{19}{3}\end{align}\]

\[\begin{align} q &= \frac{2 \cdot a^3}{27} - \frac{a \cdot b}{3} + c \\q &= \frac{2 \cdot 4^3}{27} - \frac{4 \cdot (-1)}{3} + 8 \\q &= \frac{128}{27} - \frac{-4}{3} + 8 \\q &= \frac{380}{27} \end{align}\]

\[\begin{align} D &= \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \\D &= \frac{(\frac{380}{27})^2}{4} + \frac{(-\frac{19}{3})^3}{27} \\D &= \frac{361}{9} \\D &\approx 40,11 \end{align}\]

\[\begin{align} x = z - \frac{a}{3} \\x = z - \frac{4}{3}\end{align}\]

Damit hast Du alle nötigen Variablen berechnet und kannst mit dem dritten Schritt weitermachen.

3. Schritt: Fallunterscheidung für D

Anders als im Beispiel oben ist hier D positiv. Das heißt, dass es eine reelle und zwei komplexe Lösungen gibt. Hier wird nur die reelle Lösung berechnet.

\[\begin{align} z&= \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{D}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} + \sqrt{\frac{361}{9}}} + \sqrt[3]{-\frac{\frac{380}{27}}{2} - \sqrt{\frac{361}{9}}} \\z &= \sqrt[3]{-\frac{19}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{361}{27}} \\z &\approx -3,26\end{align}\]

4. Schritt: x berechnen

Als letzten Schritt setzt Du das gerade errechnete z in die Gleichung aus Schritt 2 ein und findest damit x heraus.

\[\begin{align} x &= z - \frac{a}{3} \\x &= -3,26 - \frac{4}{3} \\x &\approx -4,60 \end{align}\]

Damit hast Du die einzige reelle Nullstelle der Funktion \(f(x) = 4x^3+16x^2-4x+32\) als \(x = -4,6\) herausgefunden.

Aufgabe 13

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) mit dem Horner-Schema.

Lösung

Als ersten Schritt suchst Du eine Nullstelle, indem Du verschiedene x-Werte ausprobierst.

\[f(2) = -5\cdot2^3+3\cdot2^2+7\cdot2+14 = -40+12+14+14 = 0\]

An der x-Koordinate \(x = 2\)liegt also eine Nullstelle vor. Mit dieser Nullstelle kannst Du nun mit dem nächsten Schritt des Horner-Schemas weitermachen.

Die Addition in der letzten Spalte ergibt 0, womit die Nullstelle bei \(x = 2\)bestätigt wurde.

Die Ergebnisse der Produkte der zweiten Zeile der Tabelle geben Dir die Koeffizienten des neuen Polynoms zweiten Grades.

\[g(x) = \frac{-5x^3+3x^2+7x+14}{x-2} = -10x^2-14x-14\]

Als letzten Schritt berechnest Du die letzten zwei Nullstellen des neuen Polynoms zweiten Grades mit der Mitternachtsformel.

\[x_{2,3} = \frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot(-10)\cdot(-14)}}{2\cdot(-10)} = \frac{14\pm\sqrt{196-560}}{-20} = \frac{14\pm\sqrt{-364}}{-20}\]

Die letzten zwei Nullstellen kannst Du nicht berechnen, da unter der Wurzel eine negative Zahl herauskommt.

Somit hat die Funktion \(f(x) = -5x^3+3x^2+7x+14\) nur die Nullstelle bei \(x = 2\).