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Gebrochen rationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen. Was genau eine gebrochen rationale Funktion ist, wie Du ihren Definitionsbereich, ihre Nullstellen sowie Extrempunkte und Asymptoten berechnen kannst, erfährst Du hier. Außerdem bekommst Du hier eine Anleitung für eine Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen und lernst auch an Beispielen, wie Du einen Funktionsgraphen zeichnen kannst.
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Leg kostenfrei losWas beschreibt eine Asymptote?
Wie leitest Du gebrochen rationale Funktionen ab?
Was ist eine hebbare Definitionslücke?
Welche Arten von Asymptoten gibt es?
Was ist die Polstelle einer gebrochen rationalen Funktion?
Wie berechnest Du die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion?
Was ist eine gebrochen rationale Funktion?
Wie bestimmst Du den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion?
Welche Schritte sind nötig, um eine gebrochen rationale Funktion zu zeichnen?
Welche Bedingung überprüfst Du, um Extremstellen zu finden?
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Was ist eine gebrochen rationale Funktion?
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Team Gebrochenrationale Funktionen Lehrer
Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.
$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$
Wobei \( g(x) \) und \( h(x) \) Polynome, also ganzrationale Funktionen sind.
Gebrochen rationale Funktionen werden in unecht und echt gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Dabei wird der Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners verglichen.
Abb. 1 - Beispiel unecht gebrochene rationale Funktion.
Abb. 2 - Beispiel echt gebrochene rationale Funktion.
Der Definitionsbereich von gebrochen rationalen Funktionen ist generell für diejenigen \(x\)-Werte eingeschränkt, für die der Nenner der Funktion gleich null ist. An dieser Stelle existiert eine sogenannte Definitionslücke.
Um den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, kannst Du also wie folgt vorgehen:
Wenn sich gebrochen rationale Funktionen soweit kürzen lassen, dass sie im Nenner kein Polynom mehr haben, haben sie im Bereich der Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist. Dort ist die Funktion nicht definiert, wird aber stetig fortgesetzt.
Die Funktion \(f(x)=\frac{2x^2}{x}\) kann so weit gekürzt werden, dass das Polynom im Nenner wegfällt.
\begin{align}f(x)&=\frac{2x^2}{x}\\[0.15cm]&=2x\end{align}
Nichtsdestotrotz ist die Funktion \(f(x)\) für die Nullstellen im ungekürzten Nenner, also für \(x=0\) nicht definiert. An der Stelle \(x=0\) befindet sich also eine hebbare Definitionslücke.
Wie Du den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion an einem Beispiel berechnen kannst, findest Du in der Erklärung "Definitionslücke gebrochen rationale Funktion".
Um die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, genügt es, nur den Zähler \(g(x)\) gleich null zu setzen. Du gehst dabei also wie folgt vor:
Konkrete Berechnungen von Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen findest Du in der Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen Schnittpunkte ".
Wenn Du gebrochen rationale Funktionen auf das Verhalten im Unendlichen untersuchst, betrachtest Du dabei stets die Asymptoten.
Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne dabei diesen Wert anzunehmen.
Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
| waagrechte/horizontale Asymptote | senkrechte Asymptote | schiefe/schräge Asymptote | kurvenförmige Asymptote |
Asymptotengleichung: \(y=k\) | Asymptotengleichung: \(x=k\) | Asymptotengleichung: \(y=mx+t\) | Asymptotengleichung: \(y=ax^2+bx+c\) |
Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\] \(k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\) | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty\] |
Hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asymptote, divergiert sie an einer Definitionslücke. Diese Stelle der Funktion wird Polstelle genannt. Die Funktion kann an dieser Stelle gleichzeitig gegen plus und minus unendlich divergieren.
Abb. 3 - Senkrechte Asymptote bzw. Polstelle.
Wie die Asymptoten im Einzelnen berechnet werden, erfährst Du in der Erklärung "Asymptote berechnen".
Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.
Die erste Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) wird wie folgt berechnet:
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
Leite also zunächst jeweils den Zähler \(g(x)\) und den Nenner \(h(x)\) der gebrochen rationalen Funktion ab und setze diese dann anschließend in die Ableitungsformel der Quotientenregeln ein.
Du möchtest das Ganze mal an einem Beispiel sehen? Dann schau Dir die Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen ableiten" an.
1. Bilde die erste und zweite Ableitung von \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\)
Nutze zum Ableiten die Quotientenregel
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
\begin{align} f(x)&= \frac{8x}{(x-1)^2}\\ \to f'(x)&=\frac{-8x-8}{(x-1)^3}\\ \to f''(x)&=\frac{16x+32}{(x-1)^4}\end{align}
2. Notwendige Bedingung
Setze die erste Ableitung gleich null, \( f'(x)=0\), und löse nach \(x\) auf.
\[\to \text{potenzielle Ex}\text{tremstelle bei } x_E\]
\begin{align}f'(x)&=0\\[0.15cm] \frac{-8x-8}{(x-1)^3} &=0&&|\cdot (x-1)^3\\[0.15cm]-8x-8&=0&&|+8\\-8x&=8&&|:(-8)\\x&=-1 \\[0.15cm] \to x_E &=-1\end{align}
3. Hinreichende Bedingung
Setze \(x_E\) in die zweite Ableitung ein
\begin{align} f''({\color{bl}x_E})&=\frac{16{\color{bl}x_E}+32}{({\color{bl}x_E}-1)^4}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{16\cdot {\color{bl}-1}+32}{({\color{bl}-1}-1)^4}\\[0.15cm]&=4 \,\,>0 \to \text{Tiefp}\text{unkt} \end{align}
4. Extrempunkt bilden
Setze die Extremstelle \(x_E\) in die Funktion \(f(x)\) ein und löse nach \(y\) auf.
\[\to \text{Extrempunkt bei } E= \left(x_E|f(x_E)\right)\]
\begin{align} f({\color{bl}x_E})&=\frac{8{\color{bl}x_E}}{({\color{bl}x_E}-1)^2}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{8\cdot {\color{bl}-1}}{({\color{bl}-1}-1)^2}\\[0.15cm]&=-2 \end{align}\(\to \text{Tiefp}\text{unkt bei } T=(-1|-2) \)
Die gebrochen rationale Funktion \(f(x)=\frac{8x}{(x-1)^2}\) hat also als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt, also ein lokales Minimum.
Abb. 4 - Gebrochen rationale Funktion mit Tiefpunkt.
Ging Dir das etwas zu schnell? Dann schau Dir die Erklärung "Extremstellen" an.
Um eine gebrochen rationale Funktion zu zeichnen, kannst Du den folgenden Schritten folgen:
| Schritt | Beispiel \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}\) |
| 1. Bestimme den Definitionsbereich. | \(\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{2\}\) |
| 2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem. | \(x_1=-2\), \(x_2=1\)
|
| 3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem. |
|
| 4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem. |
|
| 5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert. |
|
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören neben dem Ermitteln der Nullstellen und des Definitionsbereiches noch weitere Schritte. In der folgenden Tabelle findest Du einen Überblick, wie Du eine vollständige Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen durchführen kannst, und worauf Du besonders achten musst.
1. Definitionsbereich bestimmen
3. y-Achsenabschnitt bestimmen
4. Symmetrieverhalten
5. Asymptote berechnen
6. Verhalten im Unendlichen
8. Monotonie
10. Wendestellen berechnen
11. Wertebereich bestimmen
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Wann ist eine Funktion gebrochen rational?
Eine Funktion ist gebrochen rational, wenn sie aus einem Quotienten zweier Polynome bzw. zweier ganzrationaler Funktionen besteht.
Wann ist eine gebrochen rationale Funktion symmetrisch?
Hat jede gebrochen rationale Funktion eine Asymptote?
Nein, nicht jede gebrochen rationale Funktion hat eine Asymptote. Es gibt zum Beispiel bestimmte unechte gebrochen rationale Funktionen wie f(x) = 4x2 : x, die keine Asymptoten haben.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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