Funktion strecken

Der Aufbau der Gleichung einer Funktion ist zum Beispiel

$y=f\left(x\right)=x^4-4x^2+2$

Aufgabe 1

Zeichne die Funktion $f\left(x\right)=x^4-4x^2+2$ in ein Koordinatensystem ein. Ermittle dazu eine in y-Richtung gestreckte Funktion von $f\left(x\right)$ mit dem Streckungsfaktor $a=2$.

Lösung

Zur Erinnerung: die Funktionsgleichung einer Funktion, die um den Faktor a in Richtung der y-Achse gestreckt wird, lautet:$g\left(x\right)=a·f\left(x\right)$

Das bedeutet in diesem Beispiel, wenn Du a und $f\left(x\right)$ einsetzt und direkt ausmultiplizierst:

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)\hspace{0.17em}& =& 2·(x^4-4x^2+2)\\ & =& 2x^4-8x^2+4\end{array}$

Die Funktion $f\left(x\right)$ und die mit dem Faktor $a=2$ in Richtung der y-Achse gestreckte Funktion $g\left(x\right)$ sehen gezeichnet so aus:

Abbildung 1: In y-Richtung gestreckte Funktion

Wie Du in der Grafik erkennen kannst, ist die Streckung der Funktion an den Extrempunkten besonders deutlich zu erkennen. Diese liegen doppelt so weit von der x-Achse entfernt, wie die Extrempunkte der Ausgangsfunktion. Das liegt daran, dass der Faktor für die Streckung in diesem Beispiel 2 beträgt.

Aufgabe 2

Zeichne die Funktion$f\left(x\right)=3·e^x+2$ ein.

Ermittle $f\left(x\right)$ um den Streckungsfaktor $a=0,5$ in y-Richtung gestaucht.

Wie lautet die gestauchte Funktion $g\left(x\right)$ ?

Lösung

Es ergibt sich nach der Definition von oben:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=0,5·f\left(x\right) \\ =0,5·\left(3·e^x+2\right) \\ g\left(x\right)=1,5·e^x+1 \end{gathered}$$

Auch grafisch kannst Du eine Veränderung beobachten.

Abbildung 2: g(x) ist die gestauchte Version von der e-Funktion f(x)

Im Beispiel kannst Du sehen, wie sich zwischen $x=-6$ und $x=-4$ der Abstand von grob eins auf grob ein halb (mit der Streckung) halbiert, bei $x=1$ sieht man gut wie $f(x=1)=5$ ist und $g(x=1)=10$ halb so weit entfernt von der x-Achse entfernt ist.

Aufgabe 3

Strecke die Funktion $f\left(x\right)=x^4-{4x}^2+2$ um den Faktor $a=2$ und zeichne beide Funktionen ein.

Lösung

Du hast zwei x in der Ausgangsgleichung:

$f\left(x\right)=x^4-{4x}^2+2$

Und diese ersetzt Du jetzt in der transformierten Funktion.

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)& =& f\left(\frac{1}{a}·x\right)\\ & =& f\left(\frac{1}{2}·x\right)\\ & & \\ & =& {\left(\frac{x}{2}\right)}^4-4{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+2\\ & & \\ h\left(x\right)& =& \frac{x^4}{16}-x^2+2\end{array}$

Gezeichnet erkennt man dann gut, wie die transformierte Funktion $h\left(x\right)$ den Abstand zur y-Achse verdoppelt hat.

Abbildung 5: In x-Richtung gestreckte Funktion

Anhand der Darstellung kannst Du schön die Charakteristika der Streckung an der x-Achse prüfen:

• Schnittpunkte mit der y-Achse bleiben gleich
• Der Abstand zur y-Achse verdoppelt sich

Aufgabe 4

Bestimme die gestauchte Funktion $h\left(x\right)$.

$h\left(x\right)$ ist die um den Streckungsfaktor $a=\frac{1}{2}$ gestauchte Transformation der Funktion $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=x^4-4x^2+2$.

Lösung

Es gilt

$h\left(x\right)=f\left(\frac{1}{a}·x\right)$

Du kannst bei $a=\frac{1}{2}$ das x in $f\left(x\right)$ durch $2x$ ersetzen, da ja gilt $\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$. Die Ausgangsfunktion $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=x^4-4x^2+2$ wird dann bei der Stauchung zu:

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)& =& f\left(2x\right)\hspace{0.17em}\\ & =& {\left(2x\right)}^4-4{\left(2x\right)}^2+2\\ & =& 2^4·x^4-4·2^2·x^2+2\\ & =& 16x^4-4·4·x^2+2\\ h\left(x\right)& =& 16x^4-16x^2+2\end{array}$

Abbildung 6: Stauchung eines Polynoms in x-Richtung

Aufgabe 6

Strecke $f\left(x\right)=x^2$ mit den Streckungsfaktoren$a=2$ und $a=\frac{1}{2}$ an der x-Achse und zeichne alle drei Funktionen.

Lösung

Du erhältst $g\left(x\right)$ nach durchgeführter Streckung mit dem Streckungsfaktor $a=2$.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 \\ g\left(x\right)=f(2·x)={(2·x)}^2 \\ =2^2·x^2 \\ g\left(x\right)=4x^2 \end{gathered}$$

Die Funktion $h\left(x\right)$ ergibt sich aus einer Stauchung um den Faktor $a=0,5$.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 \\ h\left(x\right)=f(\frac{1}{2}·x)={(\frac{1}{2}·x)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2·x^2 \\ h\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2 \end{gathered}$$

Wie Du siehst, entsprechen $g\left(x\right)$ und $h\left(x\right)$ genau einer Streckung und Stauchung in y-Richtung, aber um $a=4$ bzw. $a=\frac{1}{4}$.

Noch schöner siehst Du das in der Darstellung.

Von unten vervierfacht sich der Abstand von der x-Achse (also in y-Richtung) von $h\left(x\right)$ auf $f\left(x\right)$, während der von der y-Achse (also in x-Richtung) sich verdoppelt.

Aufgabe 8

Strecke $f\left(x\right)=e^x$ um $a=0,5$ in y-Richtung als $b\left(x\right)$ und um $a=4$ in x-Richtung als $h\left(x\right)$.

Lösung

Für die Streckung in y-Richtung nutzt Du die dazugehörige Formel und setzt Werte für a und $f\left(x\right)$ ein:

$\begin{array}{rcl}b\left(x\right)& =& a·f\left(x\right)\\ & & \\ & =& 0,5·e^x\\ & & \\ b\left(x\right)& =& \frac{1}{2}·e^x\end{array}$

In x-Richtung kannst Du auch auf die Formel zurückgreifen und die gegebenen Werte einsetzen.

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f(\frac{1}{a}·x) \\ h\left(x\right)=e^{(\frac{1}{4}·x)} \end{gathered}$$

Beide Beispiele sind unten neben $f\left(x\right)=e^x$ als $b\left(x\right)$ und $h\left(x\right)$ dargestellt. Dazu siehst Du noch die jeweilige Streckung bzw. Stauchung an der x- und y-Achse, um alle vier Optionen abgebildet zu haben.

Aufgabe 10

Stauche $f\left(x\right)=x^3-2x+1$ mit dem Streckungsfaktor $a=0,5$ in x-Richtung.

Lösung

Als Erstes setzt Du den Streckungsfaktor da ein, wo er laut Streckungsformeln hingehört. Hier nämlich vor jedes x. Anschließend vereinfachst Du die Gleichung so weit wie möglich.

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(2x\right) \\ ={\left(2x\right)}^3-2·\left(2x\right)+1 \\ h\left(x\right)=8x^3-4x+1 \end{gathered}$$

Die Funktionsgraphen für Funktion $f\left(x\right)$ und für die mit dem Faktor 2 in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion $h\left(x\right)$ sehen so aus:

Abbildung 11: Polynom in x-Richtung gestaucht

Aufgabe 11

Nun soll die Funktion aus dem Beispiel oben $f\left(x\right)=x^4-4x^2+2$ nicht mehr gestreckt werden, sondern mit dem Faktor $a=0,5$ in y-Richtung gestaucht werden.

Lösung

Setze den Faktor a vor gesamte Funktion und multipliziere aus.

Die Funktionsgleichung für die gestauchte Funktion lautet:

$g\left(x\right)=0,5·(x^4-4x^2+2)=0,5x^4-2x^2+1$

Die Funktion $f\left(x\right)$ und die mit dem Faktor $a=0,5$ in Richtung der y-Achse gestauchte Funktion $g\left(x\right)$ sehen gezeichnet so aus:

Abbildung 12: Das Polynom vierten Grades f(x) ergibt gestaucht g(x)

Auch in diesem Beispiel ist der Unterschied der beiden Funktionen, insbesondere an den Extremstellen, erkennbar. Die Extremstellen der gestauchten Funktion $g\left(x\right)$ sind nur halb so weit von der x-Achse entfernt wie die Extremstellen der Ausgangsfunktion $f\left(x\right)$. Das liegt daran, dass der Faktor für die "Streckung" in diesem Beispiel $0,5$ beträgt.

Aufgabe 12

Dir liegt die Funktion mit der Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^3-2x+1$ vor. Diese möchtest Du mit dem Faktor $a=0,5$ in Richtung der x-Achse "strecken".

Lösung

Das bedeutet in diesem Beispiel:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=0,5·\left(f\right(x\left)\right) \\ =0,5·(x^3-2x+1) \\ g\left(x\right)=0,5x^3-x-0,5 \end{gathered}$$

Die Funktionsgraphen der Funktion $f\left(x\right)$ und die mit dem Faktor $a=0,5$ in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion $g\left(x\right)$ sehen so aus:

Hier sieht man wieder, wie die Extremstellen und Schnittpunkte (!) mit der Achse konstant bleiben, aber der Abstand entsprechend schrumpft.