Graphen verschieben

Möchtest Du nun die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x$ um $2$-Einheiten nach rechts verschieben, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)$.

Abbildung 1: Schaubild eines nach rechts verschobenen Graphen

Zusätzlich ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x-c)\\ & =f(x-2)\\ & =(x-2{)}^2+x-2\\ & =x^2-3x+2\end{array}$$

Wenn Du die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x$ um $3$-Einheiten nach links verschieben willst, bekommst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)$.

Abbildung 2: Schaubild eines nach links verschobenen Graphen

Wendest Du die Verschiebung auf die Funktionsgleichung der Funktion $f(x)$ an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x-c)\\ & =f(x-(-3))\\ & =(x+3{)}^2+x+3\\ & =x^2+7x+12\end{array}$$

Möchtest Du die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x$ um $1$-Einheit nach oben verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)$.

Abbildung 3: Schaubild eines nach oben verschobenen Graphen

Daraus resultierend, bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x)+d\\ & =f(x)+1\\ & =x^2+x+1\end{array}$$

Verschiebst Du die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x$ um $4$-Einheit nach unten, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)$.

Abbildung 4: Schaubild eines nach unten verschobenen Graphen

Wendest Du die Regeln nun auf die Funktionsgleichung der Funktion $f(x)$ an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x)+d\\ & =f(x)+(-4)\\ & =x^2+x-4\end{array}$$

Möchtest Du die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=x^2+x$ um $2$-Einheiten nach rechts und $1$-Einheit nach unten verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und der verschobenen Funktion $g(x)$.

Abbildung 5: Schaubild eines nach rechts und unten verschobenen Graphen

Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x-c)+d\\ & =f(x-2)+(-1)\\ & =(x-2{)}^2+x-2-1\\ & =x^2-3x+1\end{array}$$

Aufgabe 1

Die Funktion $g(x)$ geht aus der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=3x+1$ durch Verschiebung in x-Richtung um $-3$-Einheiten und in y-Richtung um $2$-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung $g(x)$ und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Lösung

Die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=3x+1$ wird um $3$-Einheiten nach links und $2$-Einheiten nach oben verschoben. Damit sind folgende Parameter gegeben.

$$\begin{array}{rl}c& =-3\\ d& =2\end{array}$$

Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x-c)+d\\ & =f(x-(-3))+2\\ & =3\cdot (x+3)+1+2\\ & =3x+12\end{array}$$

Werden die Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ gezeichnet, ergibt sich folgendes Schaubild.

Abbildung 6: Schaubild zur Aufgabe 1

Aufgabe 2

Die Funktion $g(x)$ geht aus der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=e^x$ durch Verschiebung in x-Richtung um $2$-Einheiten und in y-Richtung um $-3$-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung $g(x)$ und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Lösung

Die Funktion $f(x)$ mit $f(x)=e^x$ wird um $2$-Einheiten nach rechts und $3$-Einheiten nach unten verschoben. Damit ergeben sich folgende Parameter.

$$\begin{array}{rl}c& =2\\ d& =-3\end{array}$$

Damit bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung $g(x)$.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =f(x-c)+d\\ & =f(x-2)+(-3)\\ & =e^{x-2}-3\end{array}$$

Jetzt kannst Du die Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zeichnen.

Abbildung 7: Schaubild zur Aufgabe 2

Aufgabe 3

Die Funktion $g(x)=\sin (x+3)+1$ geht aus der Funktion $f(x)$ mit $f(x)=\sin (x)$ hervor. Erläutere die einzelnen Schritte, die zu dieser Transformation führen und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Lösung

Schau Dir zuerst die Entstehung der neuen Funktionsgleichung $g(x)$ an.

$$\begin{array}{rl}g(x)& =\sin (x+3)+1\\ & =\sin (x-(-3))+1\\ & =f(x-(-3)+1\\ & =f(x-c)+d\end{array}$$

Damit ergeben sich folgende Parameter $c$ und $d$.

$$\begin{array}{rl}c& =-3\\ d& =1\end{array}$$

Folgende Schritte wurden vorgenommen, um die Funktion $g(x)$ aus der Funktion $f(x)$ zu erhalten.

• Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)$ um $3$-Einheiten nach links.
• Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)$ um $1$-Einheit nach oben.

Zeichne zum Schluss noch die Graphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

Abbildung 8: Schaubild zur Aufgabe 3