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Stell Dir vor, Du sitzt in der Schule und hast folgende Funktion \(f(x)\) gegeben:
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Leg kostenfrei losEine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung um d-Einheiten verschoben und damit ergibt sich eine neue Funktionsgleichung \(g(x)=f(x)+d\). Identifiziere die dazugehörige richtige Aussagen.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in x-Richtung um c-Einheiten verschoben und damit ergibt sich eine neue Funktionsgleichung \(g(x)=f(x-c)\). Identifiziere die dazugehörige richtige Aussagen.
Identifiziere die neue Funktionsgleichung \(g(x)\), die sich ergibt, wenn die Funktion \(f(x)=\sqrt{3x}\) um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben wird.
Identifiziere die neue Funktionsgleichung \(g(x)\), die sich ergibt, wenn die Funktion \(f(x)=ln(x)\) um \(1\) Einheit nach links und \(4\) Einheiten nach oben verschoben wird.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung um d-Einheiten verschoben und damit ergibt sich eine neue Funktionsgleichung \(g(x)=f(x)+d\). Identifiziere die dazugehörige richtige Aussagen.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in x-Richtung um c-Einheiten verschoben und damit ergibt sich eine neue Funktionsgleichung \(g(x)=f(x-c)\). Identifiziere die dazugehörige richtige Aussagen.
Identifiziere die neue Funktionsgleichung \(g(x)\), die sich ergibt, wenn die Funktion \(f(x)=\sqrt{3x}\) um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben wird.
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Team Graphen verschieben Lehrer
\[f(x)=x^2+x\]
Diese Funktion \(f(x)\) sollst Du sowohl in y-Richtung als auch in x-Richtung verschieben. Aber wie funktioniert das?
Du kannst verschiedene Transformationen an einer Funktion \(f(x)\) und dem zugehörigen Graphen durchführen. Zur Transformation gehören:
Mehr zur Streckung und Spiegelung kannst Du in den Erklärungen „Funktion strecken“ und „Funktion spiegeln“ nachlesen.
Das Prinzip, das hinter dem Verschieben von Funktionsgraphen steckt, ist folgendes: Der Verlauf des Graphen der Funktion \(f(x)\) bleibt im Wesentlichen gleich, nur seine Position im Koordinatensystem verändert sich.
Das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) ist sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung möglich.
Bei einer Verschiebung in y-Richtung wird der Graph der Funktion nach oben oder unten bewegt.
Bei einer Verschiebung in x-Richtung wird der Graph der Funktion nach links oder rechts bewegt.
Durch das Verschieben einer Funktion \(f(x)\) verändert sich nicht nur das Schaubild der Funktion, sondern auch der Funktionsterm.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in x-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)\]
Je nachdem, ob der Parameter \(c\) positiv oder negativ ist, wird der Funktionsgraph in eine andere Richtung verschoben.
| Parameter \(c\) | Verschiebung |
| \(c>0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach rechts |
| \(c<0\) | Verschiebung um \(c\)-Einheiten nach links |
| \(c=0\) | keine Verschiebung in x-Richtung |
Schau Dir jetzt die direkte Auswirkung dieser Verschiebung auf einen Graphen an einem Beispiel an.
Wenn \(c>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach rechts verschoben. Schau Dir die Verschiebung nach rechts an der Eingangsaufgabe für \(c=2\) an.
Möchtest Du nun die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts verschieben, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 1: Schaubild eines nach rechts verschobenen Graphen
Zusätzlich ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-2)\\&=(x-2)^2+x-2\\&=x^2-3x+2\end{align}
Wenn \(c<0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach links verschoben. Du kannst Dir die Verschiebung nach links an der Eingangsaufgabe für \(c=-3\) anschauen.
Wenn Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(3\)-Einheiten nach links verschieben willst, bekommst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 2: Schaubild eines nach links verschobenen Graphen
Wendest Du die Verschiebung auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)\\&=f(x-(-3))\\&=(x+3)^2+x+3\\&=x^2+7x+12\end{align}
Neben der Verschiebung in die x-Richtung gibt es noch die Verschiebung eines Graphen in die y-Richtung.
Eine Funktion \(f(x)\) wird in y-Richtung verschoben, indem ein Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert wird.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x)+d\]
Jetzt kannst Du Dir die direkte Auswirkung einer Verschiebung auf einen Graphen anschauen. Dabei wird unterschieden, ob ein Graph nach oben oder unten verschoben wird.
Wenn \(d>0\) ist, wird der Graph einer Funktion nach oben verschoben. Dies kannst Du Dir an Deiner Eingangsaufgabe verdeutlichen. Nutze dafür \(d=1\).
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(1\)-Einheit nach oben verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 3: Schaubild eines nach oben verschobenen Graphen
Daraus resultierend, bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+1\\&=x^2+x+1\\\end{align}
Wenn \(d<0\) ist, wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) nach unten verschoben. Schau Dir dazu Deine Eingangsaufgabe für \(d=-4\) an.
Verschiebst Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(4\)-Einheit nach unten, ergeben sich folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 4: Schaubild eines nach unten verschobenen Graphen
Wendest Du die Regeln nun auf die Funktionsgleichung der Funktion \(f(x)\) an, erhältst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x)+d\\&=f(x)+(-4)\\&=x^2+x-4\\\end{align}
Du kannst die Verschiebungen eines Graphen in x- oder y-Richtung nicht nur einzeln durchführen, sondern auch kombinieren. Ein Graph kann auch gleichzeitig in x- und y-Richtung verschoben werden.
Wird nun eine Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben, wird der Parameter \(c\) von der Variablen \(x\) im Funktionsterm subtrahiert und der Parameter \(d\) zum Funktionsterm der Funktion \(f(x)\) addiert.
Wird eine Funktion \(f(x)\) um \(c\)-Einheiten in x-Richtung und \(d\)-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion \(g(x)\), die wie folgt aus der Funktion \(f(x)\) hervorgeht:
\[g(x)=f(x-c)+d\]
Wenn sowohl der Parameter \(c\) als auch der Parameter \(d\) eine Rolle spielen, dann wird der Graph einer Funktion \(f(x)\) in x- und y-Richtung verschoben. Um Dir das besser vorstellen zu können, betrachte \(c=2\) und \(d=-1\) für Dein Eingangsbeispiel.
Möchtest Du die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=x^2+x\) um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(1\)-Einheit nach unten verschieben, erhältst Du folgende Schaubilder der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) und der verschobenen Funktion \(g(x)\).
Abbildung 5: Schaubild eines nach rechts und unten verschobenen Graphen
Es ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-1)\\&=(x-2)^2+x-2-1\\&=x^2-3x+1\end{align}
Hast Du Lust, direkt selbst noch ein paar Übungsaufgaben durchzuführen? Dann los!
Du kannst das Verschieben des Graphen an unterschiedlichen Funktionstypen ausprobieren. Die Formel bleibt dabei gleich.
Frag gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, ob Du eine Formelsammlung benutzten darfst.
Aufgabe 1
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(-3\)-Einheiten und in y-Richtung um \(2\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=3x+1\) wird um \(3\)-Einheiten nach links und \(2\)-Einheiten nach oben verschoben. Damit sind folgende Parameter gegeben.
\begin{align}c&=-3\\d&=2\end{align}
Damit ergibt sich folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-(-3))+2\\&=3 \cdot (x+3)+1+2\\&=3x+12\end{align}
Werden die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) gezeichnet, ergibt sich folgendes Schaubild.
Abbildung 6: Schaubild zur Aufgabe 1
e-Funktionen müssen nicht in ihrer reinen Form \(f(x)=e^x\) sein, sondern können auch in der erweiterten Form vorliegen. So kannst Du diese Funktionen ebenfalls verschieben.
Aufgabe 2
Die Funktion \(g(x)\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) durch Verschiebung in x-Richtung um \(2\)-Einheiten und in y-Richtung um \(-3\)-Einheiten hervor. Bestimme die dazugehörige Funktionsgleichung \(g(x)\) und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=e^x\) wird um \(2\)-Einheiten nach rechts und \(3\)-Einheiten nach unten verschoben. Damit ergeben sich folgende Parameter.
\begin{align}c&=2\\d&=-3\end{align}
Damit bekommst Du folgende neue Funktionsgleichung \(g(x)\).
\begin{align}g(x)&=f(x-c)+d\\&=f(x-2)+(-3)\\&=e^{x-2}-3\end{align}
Jetzt kannst Du die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) zeichnen.
Abbildung 7: Schaubild zur Aufgabe 2
Auch die Sinus- und die Kosinusfunktion liegen nicht immer in ihrer reinen Form \(f(x)=\sin(x)\) bzw. \(f(x)=\cos(x)\) vor. Schau Dir deshalb auch hierbei die Verschiebung an.
Aufgabe 3
Die Funktion \(g(x)= \sin(x+3)+1\) geht aus der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)= \sin(x)\) hervor. Erläutere die einzelnen Schritte, die zu dieser Transformation führen und zeichne die dazugehörigen Schaubilder der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Lösung
Schau Dir zuerst die Entstehung der neuen Funktionsgleichung \(g(x)\) an.
\begin{align}g(x)&=\sin(x+3)+1 \\&=\sin(x-(-3))+1 \\&=f(x-(-3)+1\\&=f(x-c)+d\end{align}
Damit ergeben sich folgende Parameter \(c\) und \(d\).
\begin{align}c&=-3\\d&=1\end{align}
Folgende Schritte wurden vorgenommen, um die Funktion \(g(x)\) aus der Funktion \(f(x)\) zu erhalten.
Zeichne zum Schluss noch die Graphen der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\).
Abbildung 8: Schaubild zur Aufgabe 3
| Parameter | Auswirkung | Funktionsgleichung \(g(x)\) |
| \(c\) | Verschiebung in x-Richtung um c-Einheiten | \(g(x)=f(x-c)\) |
| \(d\) | Verschiebung in y-Richtung um d-Einheiten | \(g(x)=f(x)+d\) |
| \(c\), \(d\) | Verschiebung in x- und y-Richtung | \(g(x)=f(x-c)+d\) |
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Wie werden Graphen verschoben?
Graphen können sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben werden. Dazu werden zwei Parameter benötigt. Der Parameter c bezeichnet im Folgenden die Verschiebung in x-Richtung, der Parameter d die Verschiebung in y-Richtung.
Wie wird ein Graph nach unten verschoben?
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach unten verschoben wird, muss d<0 gelten.
Wie wird ein Graph nach oben verschoben?
Wird eine Funktion f(x) um d-Einheiten in y-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach oben verschoben wird, muss d>0 gelten.
Wie wird eine lineare Funktion nach rechts verschoben?
Wird eine lineare Funktion f(x) = mx + b um c-Einheiten in x-Richtung verschoben, ergibt sich eine neue Funktion g(x), die wie folgt aus der Funktion f(x) hervorgeht:
Damit diese Funktion f(x) nach rechts verschoben wird, muss c>0 gelten.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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