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Im Kontext des Klimawandels wird immer wieder davon geredet, dass die Menschheit ihren \(CO_2\)-Ausstoß unterhalb eines bestimmten Grenzwertes halten muss. Solche Grenzwerte werden von Wissenschaftler*innen berechnet. Auch Du kannst in der Mathematik die Grenzwerte von Funktionen berechnen. Wie Du die Grenzwerte bestimmst, berechnest und wie der Grenzwert definiert wird, erfährst Du in dieser Erklärung.
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Leg kostenfrei losWann benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert?
Wie nennst Du den Grenzwert, wenn der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt?
Wenn für eine Funktion mit Definitionslücke an der Definitionslücke \(\lim f(x)=f(x_0)\) dies gilt, dann ist die Funktion...
Wie nennst Du eine Reihe oder Funktion, welche gegen eine reelle Zahl geht?
Vereinfache den Limes \(\lim_{x\to \infty} 2\frac{x^3\cdot e^{4x}}{5x^2}\) so weit es geht, nach den Limes Rechenregeln.
Wann benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert?
Wie nennst Du den Grenzwert, wenn der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt?
Wenn für eine Funktion mit Definitionslücke an der Definitionslücke \(\lim f(x)=f(x_0)\) dies gilt, dann ist die Funktion...
Wie nennst Du eine Reihe oder Funktion, welche gegen eine reelle Zahl geht?
Vereinfache den Limes \(\lim_{x\to \infty} 2\frac{x^3\cdot e^{4x}}{5x^2}\) so weit es geht, nach den Limes Rechenregeln.
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Team Grenzwerte Lehrer
Der Grenzwert kann bei Funktionen, Reihen und Folgen vorkommen und wird folgendermaßen definiert.
Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht.
Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).
Zur Analyse von Funktionen, Reihen und Folgen ist der Grenzwert ein wichtiges Hilfsmittel. Deshalb solltest Du wissen, wie Du ihn berechnest.
Den Grenzwert von Funktionen benötigst Du immer dann, wenn Du das Verhalten einer Funktion an einer Stelle überprüfen sollst.
Als Grenzwert einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x\) wird derjenige Wert b bezeichnet, welchem sich die Funktion \(f\) in der Umgebung um die Stelle \(c\) annähert.
Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]
Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl innerhalb oder am Rand des Definitionsbereichs \(\mathbb{D}_f\).
Annähern bedeutet, dass die x-Werte der Funktion dem Wert \(c\) unendlich nahe kommen, aber nie erreichen.
Abb. 1 - Grenzwert von Funktionen.
Wenn eine Funktion eine reelle Zahl als Grenzwert besitzt, heißt das auch, dass sie gegen den Grenzwert konvergiert. Wenn eine Funktion diese nicht als Grenzwert besitzt, nennst Du sie divergent.
In diesem Beispiel kannst Du das so ausdrücken.
Gesprochen wird \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=b\): „Der Grenzwert/Limes von \(f(x)\) für \(x\) gegen \(c\) geht gegen \(b\).“
Bei den Funktionen wird der Grenzwert am häufigsten benötigt, doch er kann auch bei Reihen oder Folgen vorkommen.
Endliche Grenzwerte bestimmst Du genau wie auch andere Grenzwerte. „Endlich“ bedeutet, dass sich die Funktion einem konkreten endlichen Wert annähert.
In Abbildung 2 findest Du den Graphen der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\). Du siehst, dass der Graph unendlich groß wird, wenn er sich der y-Achse annähert. Mathematisch würdest Du diese Überlegung mit dem rechtsseitigen Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\) und dem linksseitigen Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\) testen. Dabei ergibt sich von links der Grenzwert \(-\infty\) und von rechts der Grenzwert \(+\infty\). Diese Grenzwerte sind also unedlich und nicht endlich.
Anders verhält sich der Graph, wenn Du ihn für betragsmäßig sehr große x-Werte betrachtest. Dieses Verhalten würdest Du hier mit dem Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\) und \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\). In beiden Fällen läuft der Grenzwert gegen 0. Der Grenzwert ist also endlich.
Abb. 2 - Grenzwert endlich und unendlich.
Damit Du den Grenzwert auch bei verschachtelten Funktionen berechnen kannst, gibt es ein paar Rechenregeln. Mit diesen kannst Du den Limes von den einzelnen Funktionen berechnen und anschließend rechnest Du die Grenzwerte nur noch zusammen.
| Name | Regel | Beispiel |
| Summenregel/ Differenzenregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\pm \lim_{x\to c}g(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(3x^2+\frac{1}{x})=\lim_{x\to 0} 3x^2 + \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \) |
| Faktorregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}b\cdot f(x)=b\cdot \lim_{x\to c} f(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}5\cdot e^x=5\cdot \lim_{x\to -\infty} e^x\) |
| Produktregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c} g(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(x^4\cdot 7^x)=\lim_{x\to -\infty}x^4 \cdot \lim_{x\to -\infty} 7^x\) |
| Quotientenregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\right)=\frac{\lim_{x\to 0}x^2\cdot e^x}{\lim_{x\to 0}4x^3}\) |
Grenzwerte von Funktionen berechnest Du über eine oder mehrere Wertetabellen.
Mehrere Wertetabellen benötigst Du immer dann, wenn Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen sollst.
Wenn Du Dir jetzt die Wertetabelle anschaust, sollte Dir auffallen, gegen welche reelle Zahl oder in die Unendlichkeit die Wertetabelle geht.
Aufgabe 2
Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) gegen \(c=1\).
Lösung
Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to 1} \frac{2x}{x^3-1}\]
Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(1\).
\[\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}\]
| \(x\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(0{,}9\) | \(0{,}99\) | \(0{,}999\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-1{,}143\) | \(-6{,}642\) | \(-66{,}664\) | \(-666{,}667\) |
In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(1\).
\[\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}\]
| \(x\) | \(2\) | \(1{,}5\) | \(1{,}1\) | \(1{,}01\) | \(1{,}001\) |
| \(y\) | \(0{,}571\) | \(1{,}263\) | \(6{,}647\) | \(66{,}664\) | \(666{,}667\) |
Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(1\) verhalten hat.
\begin{align} &\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}=-\infty \\ &\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}=\infty \end{align}
Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) an der Stelle \(1\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\). Der Graph sieht folgendermaßen aus:
Abb. 3 - Grenzwert berechnen.
Wenn der Grenzwert von beiden Seiten gleich ist, nennst Du diesen beidseitigen Grenzwert.
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=e^{-x}+2\) gegen \(\infty\).
Lösung
Zunächst schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to \infty} e^{-x}+2\]
Jetzt stellst Du eine Wertetabelle mit größer werdenden x-Werten auf.
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(100\) |
| \(y\) | \(2{,}37\) | \(2{,}01\) | \(2\) | \(2\) |
Schreibe nun den Grenzwert auf.
\begin{align} \lim_{x\to \infty} e^x+2=2 \end{align}
Damit ist der Graph der Funktion \(f(x)=e^x+2\) in der Unendlichkeit gleich dem Grenzwert der Funktion, und zwar \(2\).
Aufgabe 4
Überprüfe, ob die Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) bei \(x=2\) einen Grenzwert besitzt.
Lösung
Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to 2} \frac{x^2}{x-2}\]
Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(2\).
\[\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}\]
| \(x\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(1{,}9\) | \(1{,}99\) |
| \(y\) | \(-1\) | \(-4{,}5\) | \(-36{,}1\) | \(-396{,}01\) |
In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(2\).
\[\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}\]
| \(x\) | \(3\) | \(2{,}5\) | \(2{,}1\) | \(2{,}01\) |
| \(y\) | \(9\) | \(12{,}44\) | \(44{,}1\) | \(404{,}01\) |
Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(2\) verhalten hat.
\begin{align} &\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}=-\infty \\ &\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}=\infty \end{align}
Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) an der Stelle \(2\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\).
Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]
Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl oder \(\pm \infty \).
Bei endlichen Grenzwerten berechnest Du den Grenzwert meist an einer Definitionslücke. Dort benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
Dieser wird geschrieben als: \begin{align} \text{linksseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^-} f(x) \\ \text{rechtsseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^+} f(x)\end{align}
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Wie berechnet man den Grenzwert?
Den Grenzwert berechnest Du, indem Du Dir eine Wertetabelle aufstellst, in welcher die x-Werte sich immer mehr dem Limes x-Wert annähern. Danach berechnest Du die dazugehörigen y-Werte. Nach ein paar Werten sollte der y-Wert gegen eine reelle Zahl oder die negative/positive Unendlichkeit streben. Dieser Wert ist der Grenzwert.
Wie berechnet man den Grenzwert von Funktionen?
Um den Grenzwert von Funktionen berechnen zu können, stellst Du eine Wertetabelle auf und lässt den x-Wert sich dem Limes x-Wert annähern. Das heißt, wenn der Grenzwert an der Stelle x=1 gesucht ist, lässt Du die x-Werte in der Wertetabelle immer näher an die Stelle, zum Beispiel x=0,5; x=0,75; x=0,9 und so weiter.
Wann ist der Grenzwert unendlich?
Ein Grenzwert ist genau dann unendlich, wenn die x-Werte der Wertetabelle gegen die Limes-Werte gehen und die y-Werte sich der negativen/positiven Unendlichkeit nähert.
Was gibt der Grenzwert an?
Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen Unendlichkeit.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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