Halbwertszeit Mathe

Wenn Du auf einem Konto zwei Prozent Zinsen im Jahr bekommst, verdoppelt sich Dein Geld nach einiger Zeit.

Wie Du hier ablesen kannst, ist das nach 35 Jahren der Fall. Die x-Achse repräsentiert hier die Zeit (in der Physik ist die Variable daher oft t), während die y-Achse die Menge des Geldes auf dem Konto ist.

Du hast ein großes, volles Konto bei einer Bank, die pro Jahr zwei Prozent Strafzinsen nimmt, bei der sich also Jahr für Jahr weniger Geld auf Deinem Konto befindet.

Mit der Halbwertszeit kannst Du dann bestimmen, wann Du nur noch halb so viel Geld auf dem Konto hast.

Abbildung 3: Halbwertszeit bei 2 % Strafzinsen

Auch hier wäre die Hälfte Deines Geldes nach 35 Jahren verbraucht.

Aufgabe 1

Du hast vor Dir eine Petrischalen mit Bakterien, die sich einmal pro Minute teilen. Das Ganze startet mit einer Bakterie, damit lautet die Funktion für die Anzahl der Bakterien

$f\left(t\right)=2^t$

$f_0$ ist die Anfangszahl an Bakterien,

q ist die "Wachtumsrate" und

t ist die seit Start vergangene Zeit

Lösung

Das heißt, wenn es losgeht, ist bei $t=0$ die Funktion $f\left(0\right)=2^0=1$, also ist hier $f_0=1$. Und jetzt kannst Du $f\left(t\right)$ mit der Definition von oben vergleichen.

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·q^t \\ f\left(t\right)=1·2^t \end{gathered}$$

Und wie man erwarten würde, hat sich die Population der einen Bakterie nach der ersten Teilung in der ersten Minute verdoppelt:

$t_v={\log }_2\left(2\right)=1$

Also funktioniert für dieses einfache Beispiel die Formel.

Aufgabe 2

Wenn Du zum Beispiel wissen willst, nach wie vielen Jahren sich Dein Geld auf einem Sparkonto mit Zinsen $2\%$ und einem Startguthaben von $1000€$ verdoppelt hat, ergibt sich daraus folgende Formel:

$f\left(t\right)=1000·1,{02}^t$

Dabei ist der Vorfaktor $f_{0=}1000$ der Startwert bei $t=0$, denn wenn Du das einsetzt, erhältst Du (wegen $z^0=1$)

$f\left(0\right)=1000·1,{02}^0=1000·1=1000$

Und damit sind nach dem "Vergehen von null Jahren" $1000€$ auf dem Konto. Das entspricht der Aufgabe.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung

Die $1,02$ sind die Basis der exponentiellen Funktion, da das der Wert ist, um den sich der Kontostand nach einem Jahr erhöht.

$100\%+2\%=102\%$ bzw. $1,00+0,02=1,02$

Du stellst also fest:

1. Im Exponent ist nur t
2. Der Exponent ist positiv
3. Die Basis ist nicht e, sondern $1,02$.

Damit kannst Du die vierte Formel von oben verwenden und direkt herausfinden, welche Werte Du daraus ziehen kannst.

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·q^t \\ f\left(t\right)=1000·1,{02}^t \end{gathered}$$

Du erhältst also

$\begin{array}{rcl}{f}_0& =& 1000\\ & & \\ q& =& 1,02\end{array}$

und kannst diese direkt in die Lösungsformel für die Verdopplungszeit $t_v$ einsetzen.

$\begin{array}{rcl}{t}_v& =& {\log }_q\left(2\right)\\ & & \\ & =& \frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(q\right)}\\ & & \\ & =& \frac{\ln \left(2\right)}{\ln (1,02)}\\ & & \\ & \approx & 35\\ & & \end{array}$

Damit hast Du bei $2\%$ Zinsen eine Verdopplungszeit von 35 Jahren.

Aufgabe 3

Es kann auch vorkommen, dass Du auf einem vollen Konto keine Zinsen bekommst, sondern im Gegenteil Strafzinsen zahlen musst. Schau Dir doch einmal ein Beispiel, vergleichbar mit dem Oberen, an. Du startest bei $1000€$, aber anstatt Zinsen erhältst Du $2\%$ Strafzinsen.

Hier ergibt sich als Ausgangsformel:

$f\left(t\right)=1000·1,{02}^{-t}$

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung

Jetzt vergleichst Du die Funktion wieder mit der Lösungsformel für die Halbwertszeit von oben. Am Exponenten $-t$und an der Basis $q=1,02$ (die ungleich e ist) siehst Du, dass es die richtige Formel ist.

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·q^{-t} \\ f\left(t\right)=1000·1,{02}^{-t} \end{gathered}$$

Interessanterweise erhältst Du also wie oben

$\begin{array}{rcl}{f}_0& =& 1000\\ & & \\ q& =& 1,02\end{array}$

Und wie oben setzt Du es in die Lösungsformel ein:

$\begin{array}{rcl}{t}_v& =& {\log }_q\left(2\right)\\ & & \\ & =& \frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(q\right)}\\ & & \\ & =& \frac{\ln \left(2\right)}{\ln (1,02)}\\ & & \\ & \approx & 35\end{array}$

Da hier die gleichen Werte eingesetzt werden wie bei den Zinsen, ist die Halbwertszeit des Kontos der Strafzinsen genauso hoch, wie die Verdopplungszeit des vorherigen Beispiels.

Aufgabe 4

Ein radioaktiver Zerfall ist exponentiell und wird meist durch die Halbwertszeit des Elementes definiert.

Wenn Du aber etwa von Radon-220 nur die Zerfallskonstante $\lambda =1,247·{10}^{-2}{s}^{-1}$gegeben hast, kannst Du daraus die Halbwertszeit bestimmen.

Lösung

Als Formel ergibt sich:

$f\left(t\right)=e^{-1,247·{10}^{-2}·t}$

Vergleichst Du die Exponenten aus einer e-Funktion mit negativen Exponenten $-\lambda ·t$

$f\left(t\right)=f_0·e^{-\lambda ·t}$

$T_{1/2}=\frac{ln\left(2\right)}{\lambda }\approx \frac{0,693}{\lambda }$

$$\begin{gathered} T_{1/2}\approx \frac{0,693}{1,247·{10}^{-2}} \\ {T}_{1/2}\approx 55,6 \end{gathered}$$

Also ist die Halbwertszeit von Radon-220 in etwa $55,6$ Sekunden.

Aufgabe 5

Bestimme die Halbwertszeit der Funktion:

$f\left(t\right)\hspace{0.17em}=18·e^{-4·t}$

Lösung

Zuerst vergleichst Du die Formel der zu untersuchenden Funktion mit der Ausgangsformel aus der Tabelle oben.

$f\left(t\right)=f_0·e^{-\lambda ·t}f\left(t\right)=18·e^{-4·t}$

Dann setzt Du das bestimmte $\lambda =4$ in die Lösungsformel aus der gleichen Zelle in der Tabelle ein.

$$\begin{gathered} T_{1/2}\approx \frac{0,693}{\lambda } \\ {T}_{1/2}\approx \frac{0,693}{4} \\ {T}_{1/2}\approx 0,17 \end{gathered}$$

Auch hier fällt wieder auf, dass das $f_0=18$ gar nicht gebraucht wird.

Aufgabe 6

Bestimme die Verdopplungszeit der Funktion:

$f\left(t\right)\hspace{0.17em}=12·e^{8·t}$

Lösung

Auch hier schaust Du Dir die Ausgangsformel an

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·e^{k·t} \\ f\left(t\right)=f_0·e^{8·t} \end{gathered}$$

um von da aus in die Lösungsformel einzusetzen:

$$\begin{gathered} t_v\approx \frac{0,693}{k} \\ {t}_v\approx \frac{0,693}{8} \\ {t}_v\approx 0,09 \end{gathered}$$

Aufgabe 7

Im Jahr 2020 hatte Bulgarien eine um $0,7\%$ schrumpfende Bevölkerung von $6.500.000$ Einwohnern.

Angenommen, diese Entwicklung würde sich genauso fortsetzen.

Wann hätte sich die Bevölkerung von Bulgarien halbiert?

Lösung

Der Startwert, der "Funktion der Bevölkerung", ist die Einwohneranzahl zu Beginn der Betrachtung.

Also gilt:

$f_0=6.500.000$

Da es sich um eine schrumpfende Funktion handelt, hast Du hier einen negativen Exponenten $-t$ und eine Basis $q=\hspace{0.17em}1,007$ ungleich e. Die Basis ergibt sich aus den $100\%+0,7\%=100,7\%$

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·q^{-t} \\ f\left(t\right)=6.500.000·1,{007}^{-t} \end{gathered}$$

ergibt sich die Halbwertszeit

$$\begin{gathered} T_{1/2}\approx \frac{0,693}{ln\left(q\right)} \\ {T}_{1/2}\approx \frac{0,693}{ln(1,007)} \\ {T}_{1/2}\approx 99 \end{gathered}$$

Also würde es fast 100 Jahre dauern, bis Bulgariens Bevölkerung sich bei dieser Geschwindigkeit halbiert hat.

Aufgabe 8

Im Jahr 2020 hatte Luxemburg etwa $650.000$ Einwohner und eine Bevölkerungswachstumsrate von etwa $2\%$.

Angenommen, diese Rate würde sich nicht ändern: Wie lange würde es dauern, bis Luxemburg $1.300.000$ Einwohner hat?

Lösung

Da die $1.300.000$ genau das Doppelte von dem Ausgangswert $650.000$ sind, ist hier die Verdopplungszeit gesucht.

Du hast hier außerdem einen positiven Exponenten $+t$ bei einer Basis $q=\hspace{0.17em}1,02$ (die nicht e ist).

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=f_0·q^t \\ f\left(t\right)=650.000·1,{02}^{-t} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_v\approx \frac{0,693}{ln\left(q\right)} \\ {t}_v\approx \frac{0,693}{ln(1,02)} \\ {t}_v\approx 35 \end{gathered}$$

Also würde Luxemburg etwa 2055 die gesuchten $1.300.000$ Einwohner haben.