Halbwertszeit Mathe: Berechnen & Erklärung

Q: Wie liest man die Halbwertszeit ab?

Die Halbwertszeit ergibt sich bei einer e-Funktion grob aus 0,693/k wobei k aus dem Exponenten in der Funktion kommt: e^(k*t) . Bei allgemeinen Exponentialfunktionen braucht man auch die Basis.

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Wann verdoppelt sich eine wachsende Bevölkerung oder halbiert sich eine schrumpfende Bevölkerung?

Wie lange dauert es, bis eingelagerter Atommüll nur noch halb so stark strahlt?

Das sind alles Dinge, die Du über die Verdopplungs- und Halbwertszeit herausfinden kannst.

Verdopplungs- und Halbwertszeit Mathe – Definition und Bedeutung

Immer wenn Du einen Wert hast, der sich verringert, wird der Zeitpunkt kommen, an dem der aktuelle Wert halb so groß ist wie der Anfangswert.

Dabei kannst Du den "Anfangswert" beliebig bestimmen und ab da die sogenannte Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ bestimmen.

Die Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ ist die Zeit, bei der eine Funktion $f (t)$ die Hälfte des Ausgangswertes $f_{0}$ erreicht hat.

Genauso passiert speziell bei wachsenden statt fallenden Exponentialfunktionen, dass der Anfangswert sich verdoppelt. Die Zeit, die bis dahin vergeht, nennt man Verdopplungszeit $t_{v}$ .

Die Verdopplungszeit $t_{v}$ ist die Zeit, bei der eine Funktion $f (t)$ das Doppelte des Ausgangswertes $f_{0}$ erreicht hat.

Ein typisches Beispiel aus der Biologie ist das Wachstum von Bakterien, die sich nach einer bestimmten Zeitspanne teilen und wieder teilen.

Halbwertszeit Mathe Bakterienteilung StudySmarter Abbildung 1: Bakterien teilen sich in einer Petrischale

Auch dein Geld kann sich mithilfe von Zinsen halbieren oder verdoppeln.

Wenn Du auf einem Konto zwei Prozent Zinsen im Jahr bekommst, verdoppelt sich Dein Geld nach einiger Zeit.

Halbwertszeit Mathe Verdopplungszeit Zinsen Konto StudySmarter

Abbildung 2: Verdopplungszeit bei 2 % Zinsen

Wie Du hier ablesen kannst, ist das nach 35 Jahren der Fall. Die x-Achse repräsentiert hier die Zeit (in der Physik ist die Variable daher oft t), während die y-Achse die Menge des Geldes auf dem Konto ist.

Leider ist es auch oft so, dass eine Bank Strafzinsen verlangt. Dabei halbieren sich Deine Ersparnisse irgendwann.

Du hast ein großes, volles Konto bei einer Bank, die pro Jahr zwei Prozent Strafzinsen nimmt, bei der sich also Jahr für Jahr weniger Geld auf Deinem Konto befindet.

Mit der Halbwertszeit kannst Du dann bestimmen, wann Du nur noch halb so viel Geld auf dem Konto hast.

Halbwertszeit Mathe Halbwertzeit Zinsen Strafzinsen Konto StudySmarter Abbildung 3: Halbwertszeit bei 2 % Strafzinsen

Auch hier wäre die Hälfte Deines Geldes nach 35 Jahren verbraucht.

Damit siehst Du, wie bei allen exponentiellen Vorgängen, je nach Vorzeichen des Exponenten, eine Verdopplung oder eine Halbierung des Ausgangswertes stattfindet.

Ob diese Halbierung von 10 auf 5 oder von 100 auf 50 stattfindet, ist dabei unwichtig für die Dauer. Nur die Basis und der Exponent sind relevant.

Halbwertszeit Formel – Mathe

In dieser Erklärung wirst Du überwiegend nicht mit der üblichen Variable x arbeiten, sondern mit der Variable t für die vergangene Zeit. Die Formeln funktionieren für $f (x)$ aber genauso wie hier für die Funktion $f (t)$ .

Die Verdopplungszeit $t_{v}$ der Exponentialfunktion

$f (t) = f_{0} \cdot q^{t}$

mit der Basis q, dem Vorfaktor $f_{0}$ und dem Funktionsargument t lautet

$t_{v} = \log_{q} (2)$

Wie aber berechnet man die Verdopplungszeit anhand eines konkreten Beispiels?

Aufgabe 1

Du hast vor Dir eine Petrischalen mit Bakterien, die sich einmal pro Minute teilen. Das Ganze startet mit einer Bakterie, damit lautet die Funktion für die Anzahl der Bakterien

$f (t) = 2^{t}$

$f_{0}$ ist die Anfangszahl an Bakterien,

q ist die "Wachtumsrate" und

t ist die seit Start vergangene Zeit

Lösung

Das heißt, wenn es losgeht, ist bei $t = 0$ die Funktion $f (0) = 2^{0} = 1$ , also ist hier $f_{0} = 1$ . Und jetzt kannst Du $f (t)$ mit der Definition von oben vergleichen.

$f (t) = f_{0} \cdot q^{t} f (t) = 1 \cdot 2^{t}$

Und wie man erwarten würde, hat sich die Population der einen Bakterie nach der ersten Teilung in der ersten Minute verdoppelt:

$t_{v} = \log_{2} (2) = 1$

Also funktioniert für dieses einfache Beispiel die Formel.

Die Halbwertszeit hat genau die gleiche Formel, aber eine fallende Exponentialfunktion als Grundlage. Dabei ist der Exponent dann negativ. Die Halbwertszeit berechnet sich aber genauso, wie die Verdopplungszeit.

Für e-Funktionen $f (t) = f_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ , wo die Basis a die Euler-Zahl e ist, können wir dank dem natürlichen Logarithmus $\ln$ die Formel vereinfachen.

Ausgangsfunktion

e-Funktion

exponentielle Funktionen

Halbwertszeit

Aus einer e-Funktion mit negativen Exponenten $- λ \cdot t$

f (t) = f_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}

ergibt sich

T_{1 / 2} = \frac{l n (2)}{λ} \approx \frac{0, 693}{λ}

Im Falle eines negativen Exponenten - $- t$ und einer Basis $q$ ungleich e,

$f (t) = f_{0} \cdot q^{- t}$

ergibt sich die Halbwertszeit

$T_{1 / 2} = \log_{q} (2) = \frac{l n (2)}{l n (q)} = \frac{1}{\log_{2} (q)} \approx \frac{0, 693}{l n (q)}$

Verdopplungszeit

Bei einer e-Funktion mit positiven Exponenten $k \cdot t$

f (t) = f_{0} \cdot e^{k \cdot t}

gilt

t_{v} = \frac{l n (2)}{k} \approx \frac{0, 693}{k}

Bei einem positiven Exponenten $t$ bei einer Basis $q$ ungleich e

f (t) = f_{0} \cdot q^{t}

ist die Verdopplungszeit

t_{v} = \log_{q} (2) = \frac{l n (2)}{l n (q)} = \frac{1}{\log_{2} (q)} \approx \frac{0, 693}{l n (q)}

mit

Vorfaktor
e Euler-Zahl
t Funktionswert
$λ$ Zerfallskonstante
k Wachstumskonstante (bei der e-Funktion mit positiven Exponenten)
Wachstumsfaktor (bei den exponentiellen Funktionen)

Der blaue Term ist der, den Du am besten in deinen Taschenrechner eingeben kannst, um ein exaktes Ergebnis zu erhalten.

Der türkise Term ist schneller eingegeben, liefert dafür aber ein weniger exaktes Ergebnis.

Damit hast Du jetzt alle Ausgangsformeln vor Dir liegen, die Du brauchst, um die Eingangsfragen beantworten zu können. Wie genau diese berechnet werden, lernst Du im nächsten Kapitel.

Halbwertszeit berechnen – Mathe

Wann Du welche der zur Verfügung stehenden Formeln anwendest, hängt von dem Problem ab, welches Du betrachtest.

Wenn Du ein exponentielles Wachstum hast, bei dem die Basis keine e-Funktion ist und im Exponent nur das Argument steht (üblich sind hier x und t), dann kannst Du mit der Formel unten rechts aus der Tabelle arbeiten.

Aufgabe 2

Wenn Du zum Beispiel wissen willst, nach wie vielen Jahren sich Dein Geld auf einem Sparkonto mit Zinsen $2 %$ und einem Startguthaben von $1000 €$ verdoppelt hat, ergibt sich daraus folgende Formel:

$f (t) = 1000 \cdot 1, 02^{t}$

Dabei ist der Vorfaktor $f_{0 =} 1000$ der Startwert bei $t = 0$ , denn wenn Du das einsetzt, erhältst Du (wegen $z^{0} = 1$ )

$f (0) = 1000 \cdot 1, 02^{0} = 1000 \cdot 1 = 1000$

Und damit sind nach dem "Vergehen von null Jahren" $1000 €$ auf dem Konto. Das entspricht der Aufgabe.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung

Die $1, 02$ sind die Basis der exponentiellen Funktion, da das der Wert ist, um den sich der Kontostand nach einem Jahr erhöht.

$100 % + 2 % = 102 %$ bzw. $1, 00 + 0, 02 = 1, 02$

Du stellst also fest:

Im Exponent ist nur t
Der Exponent ist positiv
Die Basis ist nicht e, sondern $1, 02$ .

Damit kannst Du die vierte Formel von oben verwenden und direkt herausfinden, welche Werte Du daraus ziehen kannst.

$f (t) = f_{0} \cdot q^{t} f (t) = 1000 \cdot 1, 02^{t}$

Du erhältst also

$\begin{array}{rcl} f_{0} & = & 1000 \\ q & = & 1, 02 \end{array}$

und kannst diese direkt in die Lösungsformel für die Verdopplungszeit $t_{v}$ einsetzen.

$\begin{array}{rcl} t_{v} & = & \log_{q} (2) \\ = & \frac{\ln (2)}{\ln (q)} \\ = & \frac{\ln (2)}{\ln (1, 02)} \\ \approx & 35 \end{array}$

Damit hast Du bei $2 %$ Zinsen eine Verdopplungszeit von 35 Jahren.

Praktischerweise spielt die Höhe des Startgeldes keine Rolle. Eine Verdopplung des Ausgangswertes, bleibt eine Verdopplung des Ausgangswertes.

Und als Nächstes kannst Du Dir die andere Möglichkeit für allgemeine Exponentialfunktionen anschauen und herausfinden, wann sich eine fallende Exponentialfunktion halbiert.

Aufgabe 3

Es kann auch vorkommen, dass Du auf einem vollen Konto keine Zinsen bekommst, sondern im Gegenteil Strafzinsen zahlen musst. Schau Dir doch einmal ein Beispiel, vergleichbar mit dem Oberen, an. Du startest bei $1000 €$ , aber anstatt Zinsen erhältst Du $2 %$ Strafzinsen.

Hier ergibt sich als Ausgangsformel:

$f (t) = 1000 \cdot 1, 02^{- t}$

Diese Formel ist genau die gleiche Funktion wie die Exponentialfunktion $f (t) = 1000 \cdot 0, 98^{t}$ , aber da ist q kleiner null und die Lösungsformel ist nicht anwendbar.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung

Jetzt vergleichst Du die Funktion wieder mit der Lösungsformel für die Halbwertszeit von oben. Am Exponenten $- t$ und an der Basis $q = 1, 02$ (die ungleich e ist) siehst Du, dass es die richtige Formel ist.

$f (t) = f_{0} \cdot q^{- t} f (t) = 1000 \cdot 1, 02^{- t}$

Interessanterweise erhältst Du also wie oben

$\begin{array}{rcl} f_{0} & = & 1000 \\ q & = & 1, 02 \end{array}$

Und wie oben setzt Du es in die Lösungsformel ein:

$\begin{array}{rcl} t_{v} & = & \log_{q} (2) \\ = & \frac{\ln (2)}{\ln (q)} \\ = & \frac{\ln (2)}{\ln (1, 02)} \\ \approx & 35 \end{array}$

Da hier die gleichen Werte eingesetzt werden wie bei den Zinsen, ist die Halbwertszeit des Kontos der Strafzinsen genauso hoch, wie die Verdopplungszeit des vorherigen Beispiels.

Jetzt hast Du die Möglichkeit Dir ein klassisches Beispiel aus der Physik, wo der Begriff der Halbwertszeit am häufigsten zu hören ist, anzuschauen.

Aufgabe 4

Ein radioaktiver Zerfall ist exponentiell und wird meist durch die Halbwertszeit des Elementes definiert.

Wenn Du aber etwa von Radon-220 nur die Zerfallskonstante $λ = 1, 247 \cdot 10^{- 2} s^{- 1}$ gegeben hast, kannst Du daraus die Halbwertszeit bestimmen.

Lösung

Als Formel ergibt sich:

$f (t) = e^{- 1, 247 \cdot 10^{- 2} \cdot t}$

Vergleichst Du die Exponenten aus einer e-Funktion mit negativen Exponenten $- λ \cdot t$

$f (t) = f_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$

ergibt sich aus der Ausgangsformel

$T_{1 / 2} = \frac{l n (2)}{λ} \approx \frac{0, 693}{λ}$

$T_{1 / 2} \approx \frac{0, 693}{1, 247 \cdot 10^{- 2}} T_{1 / 2} \approx 55, 6$

Also ist die Halbwertszeit von Radon-220 in etwa $55, 6$ Sekunden.

Nach diesen drei praktischen Bespielen, kannst Du Dich jetzt an ein paar direkteren, abstrakten Zahlenbeispielen probieren, wie die Formeln sich anwenden lassen und anschließend etwas über die Entwicklung einer Bevölkerung in beide Richtungen lernen.

Halbwertszeit Mathe – Aufgaben

Als Erstes musst Du Dir überlegen, welche Formel für die Halbwertszeit Du brauchst:

Aufgabe 5

Bestimme die Halbwertszeit der Funktion:

$f (t) = 18 \cdot e^{- 4 \cdot t}$

Lösung

Zuerst vergleichst Du die Formel der zu untersuchenden Funktion mit der Ausgangsformel aus der Tabelle oben.

$f (t) = f_{0} \cdot e^{- λ \cdot t} f (t) = 18 \cdot e^{- 4 \cdot t}$

Dann setzt Du das bestimmte $λ = 4$ in die Lösungsformel aus der gleichen Zelle in der Tabelle ein.

$T_{1 / 2} \approx \frac{0, 693}{λ} T_{1 / 2} \approx \frac{0, 693}{4} T_{1 / 2} \approx 0, 17$

Auch hier fällt wieder auf, dass das $f_{0} = 18$ gar nicht gebraucht wird.

Fast identisch, wie die Berechnung der Halbwertszeit, funktioniert es mit der Verdopplungszeit.

Aufgabe 6

Bestimme die Verdopplungszeit der Funktion:

$f (t) = 12 \cdot e^{8 \cdot t}$

Lösung

Auch hier schaust Du Dir die Ausgangsformel an

$f (t) = f_{0} \cdot e^{k \cdot t} f (t) = f_{0} \cdot e^{8 \cdot t}$

um von da aus in die Lösungsformel einzusetzen:

$t_{v} \approx \frac{0, 693}{k} t_{v} \approx \frac{0, 693}{8} t_{v} \approx 0, 09$

Wenn die Basis nicht e ist, sondern etwas anderes, musst Du mit dem Logarithmus arbeiten.

Aufgabe 7

Im Jahr 2020 hatte Bulgarien eine um $0, 7 %$ schrumpfende Bevölkerung von $6.500.000$ Einwohnern.

Angenommen, diese Entwicklung würde sich genauso fortsetzen.

Wann hätte sich die Bevölkerung von Bulgarien halbiert?

Lösung

Der Startwert, der "Funktion der Bevölkerung", ist die Einwohneranzahl zu Beginn der Betrachtung.

Also gilt:

$f_{0} = 6.500.000$

Da es sich um eine schrumpfende Funktion handelt, hast Du hier einen negativen Exponenten $- t$ und eine Basis $q = 1, 007$ ungleich e. Die Basis ergibt sich aus den $100 % + 0, 7 % = 100, 7 %$

$f (t) = f_{0} \cdot q^{- t} f (t) = 6.500.000 \cdot 1, 007^{- t}$

ergibt sich die Halbwertszeit

$T_{1 / 2} \approx \frac{0, 693}{l n (q)} T_{1 / 2} \approx \frac{0, 693}{l n (1, 007)} T_{1 / 2} \approx 99$

Also würde es fast 100 Jahre dauern, bis Bulgariens Bevölkerung sich bei dieser Geschwindigkeit halbiert hat.

Wenn die Bevölkerung schrumpft, halbiert sie sich also irgendwann. Wenn sie aber wächst, dann wird sie sich irgendwann verdoppelt haben.

Aufgabe 8

Im Jahr 2020 hatte Luxemburg etwa $650.000$ Einwohner und eine Bevölkerungswachstumsrate von etwa $2 %$ .

Angenommen, diese Rate würde sich nicht ändern: Wie lange würde es dauern, bis Luxemburg $1.300.000$ Einwohner hat?

Lösung

Da die $1.300.000$ genau das Doppelte von dem Ausgangswert $650.000$ sind, ist hier die Verdopplungszeit gesucht.

Du hast hier außerdem einen positiven Exponenten $+ t$ bei einer Basis $q = 1, 02$ (die nicht e ist).

$f (t) = f_{0} \cdot q^{t} f (t) = 650.000 \cdot 1, 02^{- t}$

ist die Verdopplungszeit

$t_{v} \approx \frac{0, 693}{l n (q)} t_{v} \approx \frac{0, 693}{l n (1, 02)} t_{v} \approx 35$

Also würde Luxemburg etwa 2055 die gesuchten $1.300.000$ Einwohner haben.

Halbwertszeit Mathe - Das Wichtigste

Eine fallende Exponentialfunktion $f (t) = f_{0} \cdot q^{- λ \cdot t}$ mit der Zerfallskonstante $λ$ und der Basis $q$
- erreicht die Hälfte $f_{1 / 2}$ des Ausgangswertes $f_{0}$ nach der Halbwertszeit $T_{1 / 2} = \frac{\log_{q} (2)}{λ}$
Eine steigende Exponentialfunktion f(t)=f0·qk·t mit der Wachstumskonstante k und der Basis $q$
- erreicht das Doppelte des Ausgangswertes $f_{0}$ nach der Verdopplungszeit $t_{v} = \frac{\log_{q} (2)}{k}$
Ist dabei $q$ gleich der Euler-Zahl $e$ , dann vereinfacht sich $\log_{q} (2) = \log_{e} (2) = \ln (2)$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Halbwertszeit Mathe

Was bedeutet Halbwertszeit, einfach erklärt?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der eine Funktion die Hälfte des Ausgangswertes erreicht hat.

Was kann man mit der Halbwertszeit berechnen?

Mit der Halbwertszeit kann man schnell berechnen, wann der Wert einer Funktion nur noch halb so groß ist und dementsprechend auch schnell, wann er ein Viertel oder ein Achtel der Ausgangsgröße erreicht hat.

Wie liest man die Halbwertszeit ab?

Die Halbwertszeit ergibt sich bei einer e-Funktion grob aus 0,693/k wobei k aus dem Exponenten in der Funktion kommt: e^(k*t) . Bei allgemeinen Exponentialfunktionen braucht man auch die Basis.

Was gibt die Halbwertszeit an?

Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis eine fallende Funktion die Hälfte des Ausgangswertes erreicht hat.

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