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Hast du im Moment das Thema Integration durch Substitution in Mathe, aber weißt nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel erfährst du, wie die Substitutionsregel funktioniert.
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Leg kostenfrei losWas wird im zweiten Schritt der Substitution gemacht?
Wie lautet der dritte Schritt bei der Substitution?
Wann wird die Substitutionsregel angewendet?
Was bedeutet 'Substitution' auf Lateinisch?
Wie lautet der erste Schritt zur Integration durch Substitution?
Was geschieht beim vierten Schritt der Substitution?
Welcher Buchstabe wird oft als Substitutionsvariable verwendet?
Was ist das Ziel der Substitution?
Was ist der letzte Schritt bei der Integration durch Substitution?
Was ist die Substitutionsregel in der Integration?
Was ist der erste Schritt beim Integrieren durch Substitution?
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Team Integration durch Substitution Lehrer
Wenn du eine verkettete Funktion ableitest, benutzt du die Kettenregel. Was beim Ableiten die Kettenregel ist, nennt man beim Integrieren (Aufleiten) die Substitutionsregel. Die lautet wie folgt: \[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du\]
Am besten merkst du dir, dass die Integration durch Substitution immer dann angewendet wird, wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet werden würde. Dies ist bei ineinander verschachtelten (verketteten) Funktionen der Fall.
Gut zu wissen! φ = kleines Phi (griechisches Alphabet)
Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest:
2. Substituiere
3. Integriere
4. Substituiere zurück
Zu Schritt 1.1:
Im ersten Schritt überlegst du dir, welcher Teil der Funktion substituiert werden soll. Das Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes bzw. einfacheres berechenbares Integral zurückzuführen.
Zu Schritt 1.2:
Im zweiten Schritt berechnest du φ(u).
Wenn du dir die Substitutionsregel genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt:\[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow x=\varphi(u)\] Um φ(u) zu berechnen, musst du die Gleichung aus Schritt 1.1 nach x auflösen.
Zu Schritt 1.3:
Im dritten Schritt berechnest du die Ableitung von φ(u). Also ist φ′(u) gesucht.
Zu Schritt 1.4:
Wenn du dir die Substitutionsregel nun nochmal genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt: \[\int f(x) = \int f(\varphi(u))\cdot\varphi'(u)du \rightarrow dx=\varphi'(u)du\] Das heißt, die Integrationsvariable x wird zu u!
Zu Schritt 2:
Substitution ist lateinisch und bedeutet „ersetzen“. Was genau ersetzt wird, schauen wir uns jetzt in einem Beispiel an:
Die Funktion \(F(x) = \int e^{2x}dx\) sei gegeben. Integriere durch Substitution.
1.1. Den zu substituierenden Term bestimmen.
Gesucht ist die Stammfunktion von \(e^{2x}\).
Da im Exponenten die 2x sind, und diese uns die Integration erschwert, ersetzen wir die 2x durch die Variable u.
2x = u
1.2 Gleichung aus 1.1 nach x auflösen.
\begin{align}2x&=u\\x&=\frac{1}{2}u\\\rightarrow\varphi(u)&=\frac{1}{2}u\end{align}
1.3 Gleichung aus 1.2 ableiten.
\[\varphi(u)=\frac{1}{2}\]
1.4 Integrationsvariable einsetzen.
\begin{align}dx&=\varphi'(u)du\\\rightarrow dx&=\frac{1}{2}du\end{align}
2. Substitution.
\begin{align} &F(x) = \int e^{2x}dx \text{ mit}\\&x=\frac{1}{2}u\\&dx =\frac{1}{2}du\end{align}
ergibt\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du\]Durch die Ersetzung eines Teil des Integranden durch Integrationsvariablen konnten wir das Integral vereinfachen. Im nächsten Schritt können wir so leichter integrieren.
3. Integrieren.
\[F(u) = \frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^u+C\]
4. Rücksubstitution.
\begin{align} u &=2x\\ \text{in } F(u)&=\frac{1}{2}e^u + C\\\rightarrow F(x)&=\frac{1}{2}e^{2x} + C\end{align}
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Wann benutzt man Substitution und wann partielle Integration?
Die partielle Integration kann als Produktregel der Integralrechnung betrachtet werden und ist grundsätzlich leichter auszuführen. Substitution wird häufiger genutzt, wenn es keine einfache Trennung in simpel zu integrierende Faktoren existieren. Je komplexer der Term, desto häufiger lässt sich der Term mit einer geschickten Substitution vereinfachen.
Was ist Integration einfach erklärt?
Integration ist die Umkehrung der Ableitung. Dabei entspricht nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung die Ableitung des Integrals der ursprünglich integrierten Funktion.
Wann braucht man die Substitution?
Durch die geschickte Substitution lässt sich das Integral einfacher ausrechnen. Ohne die Substitution sind manche Integrale nicht mit klassischen Regeln lösbar.
Was ist lineare Substitution?
Lineare Substitution ist ein Sonderfall der Integration durch Substitution, bei der die Integrationsvariable durch eine lineare Funktion ersetzt wird. Die Rechnung mit linearer Substitution ist besonders einfach und folgt simplen Regeln.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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