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Die Kettenregel ist eine der fundamentalen Ableitungsregeln in der Differentialrechnung. Mit ihr kannst Du verschachtelte Funktionen ableiten. In dieser Erklärung erfährst Du, ausführlich und anhand von Beispielen, wie Du die Kettenregel benutzt.
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Team Kettenregel Lehrer
Die Kettenregel ist ein Konzept der Differentialrechnung, das Dir ermöglicht, Ableitungen von komplexen verketteten Funktionen zu berechnen. Dabei wird die Ableitung einer äußeren Funktion mit der Ableitung einer inneren Funktion kombiniert.
Eine Funktion \(h(x)\), die aus einer äußeren Funktion \(f(x)\) und einer inneren \(g(x)\) besteht, heißt verkettet.\[h(x)=f(g(x))\]
Die Ableitung \(h'(x)\) berechnet sich als die Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.
\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Das Multiplizieren mit \(g'(x)\) wird häufig auch als „nachdifferenzieren“ bezeichnet.
Um die Kettenregel anzuwenden, musst Du zuerst die innere Funktion identifizieren und ihre Ableitung berechnen. Dann multiplizierst Du die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion, wobei Du die innere Funktion als Argument der äußeren Funktion verwendest.
Betrachte folgendes Beispiel:
Angenommen, Du hast die Funktion \(h(x) = \sin(2x+3)\). Die äußere Funktion ist \(\sin(x)\), während die innere Funktion \(2x+3\) ist.
Die Ableitung der inneren Funktion ist 2.
Die Ableitung der äußeren Funktion ist \(\cos(x)\).
Dann lautet die Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel:
\begin{align}h(x)&=f(g(x))\\\\f(x)&=\sin(x)\Rightarrow f'(x)=\cos(x)\\g(x)&=2x+3\Rightarrow g'(x) = 2\\\\h'(x)& =f'(g(x))\cdot g'(x)\\h'(x)&=\cos(2x+3)\cdot 2\end{align}
Die Kettenregel hilft Dir dabei, verschachtelte Funktionen abzuleiten. Diese Verschachtelung zu erkennen, ist eine reine Frage der Übung. Im Folgenden findest Du einige Beispiele.
| h(x) | f(x) & f'(x) | g(x) & g'(x) | h'(x) |
| \[h(x) = 8(x-3)^3\] | \begin{align}f(x)&=8x^3\\f'(x)&=24x^2\end{align} | \begin{align}g(x)&=x-3\\g'(x)&=1\end{align} | \[h'(x)=24(x-3)^2\cdot 1\] |
| \[h(x) = 5(x^3-2)^4\] | \begin{align}f(x)&=5x^4\\f'(x)&=20x^3\end{align} | \begin{align}g(x)&=x^3-2\\g'(x)&=3x^2\end{align} | \[h'(x)=20(x^3-2)^3\cdot 3x^2\] |
| \[h(x) = 3e^{3x-2}\] | \begin{align}f(x)&=3e^x\\f'(x)&=3e^x\end{align} | \begin{align}g(x)&=3x-2\\g'(x)&=3\end{align} | \[h'(x)=3e^{3x-2}\cdot 3\] |
Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition des Differenzialquotienten und der h-Methode hergeleitet werden.
Der Differentialquotient ist eine Näherung für die Steigung einer Tangente in einem Punkt einer Funktion. Er ist gegeben als \[f'(x) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
Die h-Methode entspricht einer Substitution des Terms mit \(h=x-x_0\). Dadurch sieht der Funktionsterm wie folgt aus:\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
Jetzt kann diese Gleichung auf beliebige Funktionen angewandt werden, um die Ableitung zu bestimmen. Der Differentialquotient einer verketteten Funktion \(h(x)=f(g(x))\) ist gegeben durch;
\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\]
Der Bruch kann jetzt erweitert werden.
\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}\]
Ein Umformen des Ausdrucks ergibt:
\begin{align}h'(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g'(x)\\&=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{align}
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\).
Äußere Funktion \(f(x)=x^3\)
Innere Funktion \(g(x) = 3x-4\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= 3x^2 \\ g'(x) &= 3 \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=3(3x-4)^2\cdot 3 = 9(3x-4)^2\]
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\).
Äußere Funktion \(f(x)=\sqrt{x}\)
Innere Funktion \(g(x) = 2x^2-3\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ g'(x) &= 4x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x^2-3}}\cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2-3}}\]
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\).
Äußere Funktion \(f(x)=e^x\)
Innere Funktion \(g(x) = 3x^2\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= e^x \\ g'(x) &= 6x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2}\]
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Wann braucht man die Kettenregel?
Man braucht die Kettenregel immer dann, wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die aus einer Verkettung zweier Funktionen f(x) und g(x) besteht.
Was ist Nachdifferenzieren?
Das nachträgliche Multiplizieren mit g'(x) beim Anwenden der Kettenregel wird als Nachdifferenzieren bezeichnet.
Was sind Ableitungsregeln?
Ableitungsregeln sind Hilfen beim Ableiten. Sie geben vor, wie bestimmte Funktionstypen abgeleitet werden.
Wie leitet man in der Klammer ab?
Wenn eine Funktion in eine andere Funktion eingesetzt wird, muss mit der Kettenregel abgeleitet werden. Die Ableitung einer Verkettung von Funktionen wird gebildet, indem die äußere Funktion abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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