Kosinusfunktion

Allgemeines der Kosinusfunktion

Bei der Kosinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich innerhalb einer bestimmten Periode dasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.

Schau dir doch zuerst einmal das Schaubild der Kosinusfunktion an:

Abbildung 1: Schaubild der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Kosinusfunktion – Periode

Bei der Kosinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre y-Werte in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben p angegeben.

Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!

Bestimmt kennst du die Periode von $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$. Diese beträgt$p=2\mathrm{\pi }$.

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte in Abständen von $2\pi$ immer wieder wiederholen.

Das heißt zum Beispiel auch, dass wenn sich an der Stelle $x=0$ ein Hochpunkt befindet, dass sich auch an der Stelle $x=0+p=0+2\mathrm{\pi }=2\mathrm{\pi }$ ein Hochpunkt befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen.

Abbildung 2: Periode der Kosinusfunktion

Du siehst also, dass sich das Schaubild der Kosinusfunktion immer wiederholt. Da die Kosinusfunktion eine Periode p von$2\mathrm{\pi }$ besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Kosinusfunktion zwischen 0 und $2\mathrm{\pi }$ genau so aussieht wie zwischen $2\mathrm{\pi }\mathrm{und}4\mathrm{\pi }$ oder zwischen $4\mathrm{\pi }\mathrm{und}6\mathrm{\pi }$. Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Sinusfunktion sieht dann zwischen $100\mathrm{\pi }$ und $102\mathrm{\pi }$ auch wieder genauso aus.

Kosinusfunktion – Wertebereich

Schauen wir uns als nächstes den Wertebereich der Kosinusfunktion an.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an und überlege, wie der Wertebereich der Kosinusfunktion sein könnte:

Abbildung 3: Wertebereich der Kosinusfunktion

Da der Kosinus zwischen 0 und $2\mathrm{\pi }$ keine kleineren y-Werte als -1 und keine größeren y-Werte als 1 annimmt, kann die Kosinusfunktion aufgrund der Periode p nie kleinere bzw. größere y-Werte annehmen. Damit entspricht der Wertebereich $W_f=[-1,1]$.

Da die y-Werte -1 und 1 eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend gewählt.

Das bedeutet auch, dass die Kosinusfunktion eine Amplitude von $a=1$ hat.

Kosinusfunktion – Symmetrie

Da du weißt, dass die Kosinusfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen:

Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Bei der Kosinusfunktion gilt also folgendes:

$f\left(x\right)=\cos \left(x\right)=\cos (-x)$

Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist:

Abbildung 4: Symmetrie der Kosinusfunktion

Du siehst daran, dass $\cos (0,5)=\cos (-0,5)\approx 0,88$ und $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\cos (-\frac{\mathrm{\pi }}{2})=0$ ist.

Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der Kosinusfunktion

Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder immer kleiner wird.

Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.

Du kannst das Verhalten im Unendlichen von der Kosinusfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

Du hast vorhin schon gesehen, dass die Kosinusfunktion zwischen 0 und $2\mathrm{\pi }$ genauso aussieht, wie zwischen $100\mathrm{\pi }$ und $102\mathrm{\pi }$. Damit sieht sie auch zwischen $1000000000\mathrm{\pi }$ und $1000000002\mathrm{\pi }$ genauso aus, auch, wenn wir für x ganz kleine negative Werte einsetzen.

Das bedeutet, dass die Kosinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber nie einem konkreten Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, die Funktion divergiert unbestimmt.

Kosinusfunktion – Nullstellen

Schauen wir uns nun die Nullstellen der Kosinusfunktion an.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an, um die Nullstellen zu bestimmen:

Abbildung 5: Nullstellen der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_0=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $x_1=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ und $x_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$ eine Nullstelle existiert.

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen. Wenn du dazu mehr wissen möchtest, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Der y-Achsenabschnitt der Kosinusfunktion

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.

Schau dir dazu das Schaubild der Kosinusfunktion an, dann erkennst du direkt, welchen y-Achsenabschnitt die Kosinusfunktion hat:

Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Kosinusfunktion

Du siehst, dass die Kosinusfunktion die y-Achse im Punkt $S{P}_y=(0/1)$ schneidet.

Die Kosinusfunktion besitzt also folgenden y-Achsenabschnitt:

$y=1$

Die Ableitung der Kosinusfunktion

An dieser Stelle beschäftigen wir uns kurz mit der Ableitung zur Kosinusfunktion. Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, kannst du den Artikel Ableitung trigonometrische Funktionen lesen.

Bei der Kosinusfunktion kannst du dir die Ableitung relativ leicht merken. Denn wenn du die Kosinusfunktion ableitest, erhältst du die negative Sinusfunktion. Schau dir dazu die Abbildung 7 an:

Abbildung 7: Ableitung der Kosinusfunktion

Du erhältst dann folgende Definition:

Extremstellen der Kosinusfunktion

Genauso wie die Sinusfunktion hat die Kosinusfunktion unendlich viele Extremstellen.

Abbildung 8: Extremstellen der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{H{P}_0}=0$ und $x_{H{P}_1}=2\mathrm{\pi }$ ein Hochpunkt existiert.

An den Stellen $x_{T{P}_0}=\mathrm{\pi }$ und $x_{T{P}_1}=3\mathrm{\pi }$ existiert ein Tiefpunkt.

Die y-Koordinate der Extrempunkte betragen $y_{TP}=-1$ und $y_{HP}=1$.

Auch für die Extremstellen kannst du eine allgemeine Formel aufstellen, da sich diese auch periodisch wiederholen. Wenn du möchtest kannst du mehr dazu im nächsten vertiefenden Abschnitt nachlesen.

Kosinusfunktion – Monotonie

Da sich die Monotonie relativ leicht bestimmen lässt, wenn die Extremstellen gegeben oder schon berechnet sind, brauchst du hier lediglich die Extremstellen betrachten.

Du weißt bereits, dass bei $x_{H{P}_0}=0$ und bei $x_{H{P}_1}=2\mathrm{\pi }$ ein Hochpunkt existiert und dass es bei $x_{T{P}_0}=\mathrm{\pi }$ ein Tiefpunkt gibt.

Somit hast du folgendes Intervall, auf dem die Funktion $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ streng monoton fallend ist:

$\begin{array}{rcl}{I}_F& =& [x_{H{P}_0},x_{T{P}_0}]\\ & =& [0,\mathrm{\pi }]\end{array}$

Ebenso ergibt sich ein Intervall, auf dem die Funktion $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ streng monoton steigend ist:

$\begin{array}{rcl}{I}_S& =& [x_{T{P}_0},x_{H{P}_1}]\\ & =& [\mathrm{\pi },2\mathrm{\pi }]\end{array}$

Die Kosinusfunktion wechselt also in einem regelmäßigen Abstand ihr Monotonieverhalten. Du kannst also keine allgemeine Aussage für den gesamten Definitionsbereich $\mathrm{ℝ}$ der Kosinusfunktion machen.

Wendepunkte der Kosinusfunktion

Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt dann die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.

Schau dir zuerst das Schaubild der Kosinusfunktion an, um die Wendepunkt zu bestimmen:

Abbildung 9: Wendepunkte der Kosinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_0=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $x_1=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ und $x_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$ ein Wendepunkt existiert.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt $y=0$.

Vielleicht hast du bemerkt, dass die Wendestellen den Nullstellen entsprechen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

Super, jetzt weißt du eine ganze Menge über die Kosinusfunktion. Für einen kurzen Überblick aller Eigenschaften der Kosinusfunktion kannst du dir noch den nächsten Abschnitt durchlesen: