Kurvendiskussion e-Funktion: Erklärung & Beispiel

Q: Hat eine E-Funktion Extrempunkte?

Eine Funktion wie f(x)=e x oder g(x)=b*e cx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

Q: Kann eine E-Funktion einen Wendepunkt haben?

Eine Funktion wie f(x)=e x oder g(x)=b*e cx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

Q: Warum hat die E-Funktion keine Nullstellen?

Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Q: Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Der Wertebereich , die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert die Extremstellen , die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

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Allgemeines zur Kurvendiskussion der Exponentialfunktion

Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden.

Dafür wird der Wertebereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

Betrachte zunächst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichung und die Ableitung der reinen und erweiterten e-Funktion verinnerlichen. Die Ableitung wird später für die Extrem- und Wendepunkte benötigt.

	Funktion	Ableitung
Allgemeine Funktion	$f (x) = e^{x}$	$f' (x) = e^{x}$
Erweiterte Funktion	$f (x) = b \cdot e^{c x}$	$f' (x) = b c \cdot e^{c x}$

Zur Erinnerung:

Die Parameter $b$ und $c$ sind reelle Zahlen, sie dürfen aber beide nicht $0$ sein.
Der Parameter $b$ ist die Streckung in $y - Richtung$ . Ein negativer Parameter $b$ führt zu einer Spiegelung an der $x - Achse$ .
Der Parameter $c$ ist die Streckung in $x - Richtung$ . Ein negativer Parameter $c$ führt zu einer Spiegelung an der $y - Achse$ .

Komplette Kurvendiskussion e-Funktion

Dieser Artikel führt an der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ eine komplette Kurvendiskussion durch.

Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion $f (x)$ anschauen.

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarter Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich

Um den Wertebereich $W_{f}$ bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter $b$ berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der $x - Achse$ , wenn er negativ ist.

Zur Erinnerung:

Falls $b > 0$ : $W_{f} = ℝ^{+}$
Falls $b < 0$ : $W_{f} = ℝ^{-}$
Dabei bezeichnet $ℝ$ die Menge aller reellen Zahlen, während $ℝ^{+}$ die Menge aller positiven und $ℝ^{-}$ die Menge aller negativen reellen Zahlen beinhaltet.

Gib nun den Wertebereich der Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du den Parameter $b$ identifizieren.

$b = 3$

Da dieser positiv ist, lautet der Wertebereich $W_{f}$ wie folgt.

$W_{f} = ℝ^{+}$

Kurvendiskussion e-Funktion – Nullstellen

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Nullstellen aus.

Da der Wertebereich entweder $W_{f} = ℝ^{+}$ oder $W_{f} = ℝ^{-}$ beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.

Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell abhaken.

Die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt keine Nullstellen.

Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt

Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter $b$ auf den y-Achsenabschnitt aus.

Zur Erinnerung:

Die allgemeine e-Funktion besitzt einen y-Achsenabschnitt von $y = 1$ , da $e^{0} = 1$ .

Da der Parameter $b$ die Streckung in $y - Richtung$ um den Faktor $|b|$ ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.

$y = 1 \cdot b = b$

Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.

	y-Achsenabschnitt
Reine Funktion	$y = 1$
Erweiterte Funktion	$y = b$

Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ .

Das dazugehörige Schaubild mit dem y-Achsenabschnitt sieht wie folgt aus.

Kurvendiskussion e-Funktion y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 2: y-Achsenabschnitt der Funktion f(x)

Damit hat die Funktion $f (x)$ folgenden y-Achsenabschnitt.

$y = 3$

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der e-Funktion

Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter $b$ und Parameter $c$ beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.

Zur Erinnerung:

Es gilt für $x$ gegen $\infty$ : $\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$
Es gilt für $x$ gegen $- \infty$ : $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

Nun musst du jeweils die Spiegelung an der $x -$ und an der $y - Achse$ berücksichtigen.

Durch Spiegelung an der $y - Achse$ vertauschen sich die Grenzwerte für $x \to \infty$ und $x \to - \infty$ .
Durch Spiegelung an der $x - Achse$ ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert $\infty$ .

Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.

	$c > 0$	$c < 0$
$b > 0$	Abbildung 3: Grenzwerte für c>0 und b>0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	Abbildung 4: Grenzwerte für c<0 und b>0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \end{array}$
$b < 0$	Abbildung 5: Grenzwerte für c>0 und b<0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	Abbildung 6: Grenzwerte für c<0 und b<0 $\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \end{array}$

Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du die Parameter $b$ und $c$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} b & = & 3 > 0 \\ c & = & - \frac{1}{2} < 0 \end{array}$

Dementsprechend ergibt sich folgendes Verhalten im Unendlichen für die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ .

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & \infty \end{array}$

Kurvendiskussion e-Funktion – Symmetrie

Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter $b$ und $c$ nicht auf die Symmetrie aus.

Zur Erinnerung:

Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: $- f (x) = f (- x)$
Bedingung für Achsensymmetrie zur $y - Achse$ : $f (x) = f (- x)$

Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.

Überprüfe zuerst, ob die Bedingung $- f (x) = f (- x)$ für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.

$f (- x) = b e^{- c x} \neq - b e^{c x} = - f (x)$

Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung $f (x) = f (- x)$ für Achsensymmetrie zur $y - Achse$ erfüllt ist.

$f (- x) = b e^{- c x} \neq b e^{c x} = f (x)$

Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell behandeln.

Überprüfung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & 3 e^{\frac{1}{2} x} \neq - 3 e^{- \frac{1}{2} x} = - f (x) \end{array}$

Überprüfung der Achsensymmetrie zur $y - Achse$ :

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & 3 e^{\frac{1}{2} x} \neq 3 e^{- \frac{1}{2} x} = f (x) \end{array}$

Die Funktion $f (x) = 3 e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt also keine Symmetrie.

Extremstellen und Wendepunkte der e-Funktion

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.

Zur Erinnerung:

Extremstellen: Du musst die Ableitung $f' (x)$ gleich $0$ setzen.
Wendepunkte: Du musst die zweite Ableitung $f'' (x)$ gleich $0$ setzen.

Extremstellen der e-Funktion

Du kennst bereits die Ableitung $f' (x)$ der erweiterten e-Funktion.

$f' (x) = b c \cdot e^{c x}$

Möchtest du diese Ableitung nun $0$ setzen, erhältst du folgende Gleichung.

$b c \cdot e^{c x} = 0$

Wendepunkte der e-Funktion

Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck $b c$ wieder wie den Parameter $b$ behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.

$f'' (x) = b c^{2} \cdot e^{c x}$

Wenn du die zweite Ableitung $f'' (x)$ gleich $0$ setzt, erhältst du folgende Gleichung.

$b c^{2} \cdot e^{c x} = 0$

Schlussfolgerung zu den Extremstellen und Wendepunkte

Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.

$b c \cdot e^{c x} = 0 und b c^{2} \cdot e^{c x} = 0$

Damit die Ausdrücke $0$ werden können, muss einer der Faktoren $0$ sein. Die Parameter $b$ und $c$ sind so definiert, dass sie nicht $0$ sein dürfen. Dementsprechend müsste $e^{c x}$ dem Wert $0$ entsprechen.

Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch $e^{c x}$ nicht $0$ sein.

Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.

Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ schnell abhaken.

Die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ besitzt keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

Monotonie und Krümmungsverhalten der e-Funktion

Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter $b$ als auch vom Parameter $c$ beeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.

Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

Zur Erinnerung:

Monotonie der reinen e-Funktion: Die Funktion ist streng monoton wachsend.
Krümmungsverhalten der reinen e-Funktion: Die Funktion ist linksgekrümmt.

Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.

c > 0

c < 0

b > 0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 1 StudySmarter Abbildung 7: Monotonie und Krümmung für c>0 und b>0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton wachsend.
Die Funktion $f (x)$ ist linksgekrümmt.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 2 StudySmarter Abbildung 8: Monotonie und Krümmung für c<0 und b>0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton fallend.
Die Funktion $f (x)$ ist linksgekrümmt.

b < 0

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 3 StudySmarter Abbildung 9: Monotonie und Krümmung für c>0 und b<0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton fallend.
Die Funktion $f (x)$ ist rechtsgekrümmt.

Kurvendiskussion e-Funktion Monotonie 4 StudySmarter Abbildung 10: Monotonie und Krümmung für c<0 und b<0

Die Funktion $f (x)$ ist streng monoton wachsend.
Die Funktion $f (x)$ ist rechtsgekrümmt.

Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ an.

Zuerst musst du wieder die Parameter $b$ und $c$ identifizieren.

$\begin{array}{rcl} b & = & 3 > 0 \\ c & = & - \frac{1}{2} < 0 \end{array}$

Dementsprechend ist die Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ streng monoton fallend und linksgekrümmt.

Kurvendiskussion der e-Funktion – Beispiel

Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion $f (x) = 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ anschauen.

Schaubild:

Kurvendiskussion e-Funktion Schaubild StudySmarter Abbildung 11: Schaubild der Funktion f(x)

Wertebereich:

$W_{f} = ℝ^{+}$

Nullstellen:

Es gibt keine Nullstellen.

y-Achsenabschnitt:

$y = 3$

Verhalten im Unendlichen – Grenzwert:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} 3 \cdot e^{- \frac{1}{2} x} & = & \infty \end{array}$

Symmetrie:

Es gibt keine Symmetrie

Extremstellen:

Es gibt keine Extremstellen

Wendepunkte:

Es gibt keine Wendepunkte

Monotonie:

Streng monoton fallend

Krümmungsverhalten:

Linksgekrümmt

Kurvendiskussion e-Funktion - Das Wichtigste

Der Wertebereich der e-Funktion ist:
- Für $b > 0$ : $W_{f} = ℝ^{+}$
- Für $b < 0$ : $W_{f} = ℝ^{-}$

Das Verhalten im Unendlichen, die Monotonie und das Krümmungsverhalten der e-Funktion sieht folgendermaßen aus:

c > 0

c < 0

b > 0

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}

streng monoton wachsend
linksgekrümmt

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \end{array}

streng monoton fallend
linksgekrümmt

b < 0

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}

streng monoton fallend
rechtsgekrümmt

Verhalten im Unendlichen:

\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \end{array}

streng monoton wachsend
rechtsgekrümmt

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Symmetrie, keine Extremstellen und keine Wendepunkte.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion e-Funktion

Hat eine E-Funktion Extrempunkte?

Eine Funktion wie f(x)=e^x oder g(x)=b*e^cx besitzt keine Extrempunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Extrempunkte entstehen.

Kann eine E-Funktion einen Wendepunkt haben?

Eine Funktion wie f(x)=e^x oder g(x)=b*e^cx besitzt keine Wendepunkte. Wenn die e-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet wird, können Wendepunkte entstehen.

Warum hat die E-Funktion keine Nullstellen?

Weil sie entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Der Wertebereich, die Nullstellen, das Verhalten im Unendlichen - Grenzwert die Extremstellen, die Symmetrie, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsveralten gehören zu einer Kurvendiskussion.

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