Kurvendiskussion e-Funktion

Komplette Kurvendiskussion e-Funktion

Dieser Artikel führt an der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ eine komplette Kurvendiskussion durch.

Hierzu kannst du dir zuerst einmal das Schaubild der Funktion $f\left(x\right)$ anschauen.

Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

Kurvendiskussion e-Funktion – Wertebereich

Um den Wertebereich $W_f$ bei der e-Funktion zu bestimmen, musst du den Parameter $b$ berücksichtigen. Dieser verursacht eine Spiegelung an der $x-\mathrm{Achse}$, wenn er negativ ist.

Gib nun den Wertebereich der Funktion $f\left(x\right)=3e^{-\frac{1}{2}x}$ an.

Kurvendiskussion e-Funktion – Nullstellen

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Nullstellen aus.

Da der Wertebereich entweder $W_f={\mathrm{ℝ}}^{+}$ oder $W_f={\mathrm{ℝ}}^{-}$ beträgt, ist die Null nicht im Wertebereich enthalten. Das bedeutet, dass die e-Funktion keine Nullstellen besitzt.

Dementsprechend kannst du das Thema Nullstellen bei der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ schnell abhaken.

Kurvendiskussion e-Funktion – y-Achsenabschnitt

Bei der e-Funktion wirkt sich lediglich der Parameter $b$ auf den y-Achsenabschnitt aus.

Da der Parameter $b$ die Streckung in $y-\mathrm{Richtung}$ um den Faktor $\left|b\right|$ ist, muss dieser nur mit dem y-Achsenabschnitt der reinen e-Funktion multipliziert werden. Du erhältst dann folgenden y-Achsenabschnitt für die erweiterte e-Funktion.

$y=1·b=b$

Als kleine Übersicht dient dir folgende Tabelle.

Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$.

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der e-Funktion

Das Grenzwertverhalten der e-Funktion wird sowohl von dem Parameter $b$ und Parameter $c$ beeinflusst, da dadurch jeweils eine Spiegelung an einer Achse entsteht.

Nun musst du jeweils die Spiegelung an der $x-$ und an der $y-\mathrm{Achse}$ berücksichtigen.

• Durch Spiegelung an der $y-\mathrm{Achse}$ vertauschen sich die Grenzwerte für $x\to \infty$ und $x\to -\infty$.
• Durch Spiegelung an der $x-\mathrm{Achse}$ ändert sich das Vorzeichen für den Grenzwert $\infty$.

Du kannst dir das Ganze an der folgenden Tabelle inklusive Abbildungen verdeutlichen.

Gib nun das Verhalten im Unendlichen für die Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ an.

Kurvendiskussion e-Funktion – Symmetrie

Bei der e-Funktion wirken sich beide Parameter $b$ und $c$ nicht auf die Symmetrie aus.

Um nun zu überprüfen, ob die e-Funktion symmetrisch ist, müssen die Bedingungen für Punkt- und Achsensymmetrie geprüft werden.

Überprüfe zuerst, ob die Bedingung $-f\left(x\right)=f(-x)$ für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt ist.

$f(-x)=b{e}^{-cx}\ne -b{e}^{cx}=-f\left(x\right)$

Überprüfe als Nächstes, ob die Bedingung $f\left(x\right)=f(-x)$ für Achsensymmetrie zur $y-\mathrm{Achse}$ erfüllt ist.

$f(-x)=b{e}^{-cx}\ne b{e}^{cx}=f\left(x\right)$

Beachte, dass das Negieren der Parameter Auswirkungen auf den Graphen hat. Daher sind beide Bedingungen nicht erfüllt. Die e-Funktion weist also keine Symmetrie auf. Dementsprechend kannst du die Symmetrie bei der Funktion $f\left(x\right)=3e^{-\frac{1}{2}x}$ schnell behandeln.

Extremstellen und Wendepunkte der e-Funktion

Bei der e-Funktion wirkt sich weder der Parameter $b$ noch der Parameter $c$ auf die Extremstellen oder Wendepunkte aus.

Extremstellen der e-Funktion

Du kennst bereits die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ der erweiterten e-Funktion.

$f\text{'}\left(x\right)=bc·e^{cx}$

Möchtest du diese Ableitung nun $0$ setzen, erhältst du folgende Gleichung.

$bc·e^{cx}=0$

Wendepunkte der e-Funktion

Die zweite Ableitung erhältst du, wenn du die erste noch einmal ableitest. Dabei kannst du den Ausdruck $bc$ wieder wie den Parameter $b$ behandeln. Du erhältst dann folgende zweite Ableitung.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=b{c}^2·e^{cx}$

Wenn du die zweite Ableitung $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ gleich $0$ setzt, erhältst du folgende Gleichung.

$b{c}^2·e^{cx}=0$

Schlussfolgerung zu den Extremstellen und Wendepunkte

Um Extremstellen oder Wendepunkte zu berechnen, müsstest du zuerst die Nullstellen der ersten und der zweiten Ableitung bilden.

$bc·e^{cx}=0\mathrm{und}b{c}^2·e^{cx}=0$

Damit die Ausdrücke $0$ werden können, muss einer der Faktoren $0$ sein. Die Parameter $b$ und $c$ sind so definiert, dass sie nicht $0$ sein dürfen. Dementsprechend müsste $e^{cx}$ dem Wert $0$ entsprechen.

Da du bereits weißt, dass die reine und die erweiterte e-Funktion keine Nullstellen besitzt, kann auch $e^{cx}$ nicht $0$ sein.

Damit hat die e-Funktion keine Extremstellen, also weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt, und keine Wendepunkte.

Dementsprechend kannst du die Themen Extremstellen und Wendepunkte bei der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ schnell abhaken.

Monotonie und Krümmungsverhalten der e-Funktion

Die Monotonie und die Krümmung der e-Funktion werden sowohl vom Parameter $b$ als auch vom Parameter $c$beeinflusst, da durch diese jeweils eine Spiegelung an einer Achse entstehen kann.

Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

Da die e-Funktion durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung besitzt, lässt sich die Monotonie und Krümmung am besten mit einem Ausschnitt des jeweiligen Schaubildes bestimmen. Schau dir dazu die nachfolgende Tabelle an.

Gib nun die Monotonie und das Krümmungsverhalten der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ an.

Kurvendiskussion der e-Funktion – Beispiel

Um dir noch einen gesamten Überblick über deine fertige Kurvendiskussion zu geben, kannst du dir noch die komplette Kurvendiskussion der Funktion $f\left(x\right)=3·e^{-\frac{1}{2}x}$ anschauen.