Kurvendiskussion Polynomfunktion

Aufgabe 1

Gib die Definitionsmenge für f(x) an.

Lösung

Die Definitionsmenge von f(x) ist

$D_{f\left(x\right)}=\mathrm{ℝ}$

Aufgabe 2

Gib die Wertemenge für f(x) an.

Lösung

Für die Lösung des Wertebereichs schaust Du Dir immer an, welche y-Werte der Graph annehmen wird. Jeder Wert, den der Graph berührt, wie $y=-9$ ist im Intervall enthalten. Der kleinste negative y-Wert des Graphen ist dabei immer die untere Grenze des Intervalls. Wenn der Graph, wie im Beispiel, ins Positive unendliche weiterläuft, schreibst Du $\infty$ als obere Grenze des Intervalls.

Aufgabe 3

Berechne die Symmetrie für die gegebene Polynomfunktion.

Lösung

$f(-x)={(-x)}^4-2{(-x)}^2-8=x^4-2x^2-8=f\left(x\right)$

Demnach ist bewiesen, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Dadurch musst Du auch nicht mehr die Punktsymmetrie berechnen, da immer nur eine Symmetrie vorhanden sein kann.

Aufgabe 4

Berechne die Grenzwerte für die gegebene Funktion.

Lösung

Die Berechnung des Grenzwertes kannst Du auch schnell im Kopf rechnen. Setze eine sehr große Zahl für x ein, welche dasselbe Vorzeichen hat, wie der Grenzwert, den Du Dir anschaust, und schau Dir an, was theoretisch rauskommt. Kommt einer sehr große positive Zahl als Ergebnis, ist der Grenzwert bei $+\infty$. Kommt eine große negative Zahl als Ergebnis, ist der Grenzwert bei $-\infty$. Bekommst Du hingegen eine Zahl, die nahe an der 0 ist, ist der Grenzwert 0.

Ein Beispiel für eine solche theoretische Berechnung wäre:

$f\left(1000\right)={1000}^4-2·{1000}^2-8=999997999992$

In diesem Beispiel wurde in die Funktion f(x) für $x=1000$ eingesetzt. Als Ergebnis wäre eine sehr große positive Zahl herausgekommen, also ist das Ergebnis $+\infty$.

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=10.000.{000}^4-2·10.000.{000}^2-8=\infty$

Die Berechnung des Limeswertes für $x\to -\infty$ kannst Du Dir, aufgrund der bewiesenen Achsensymmetrie, sparen. Dies siehst Du auch gut im Graphen, da er von "links oben" ($-\infty$) nach "rechts oben" ($+\infty$) verläuft.

Substitutionsbeispiel:

$x^4+3x^2+5=z^2+3z+5$

In diesem Beispiel wurde $x^2$ zu z substituiert.

Aufgabe 5

Berechne die Nullstellen von f(x).

Lösung

Als ersten Schritt solltest Du die Ursprungsfunktion f(x) substituieren, um sie in die Mitternachtsformel einsetzen zu können.

$f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{x}^4-2x^2-8=z^2-2z-8$

Nun wendest Du die Mitternachtsformel an, um die zwei Nullstellen der substituierten Funktion herauszufinden.

$z_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{2^2-4·1·(-8)}}{2·1}=\frac{2\pm \sqrt{4-4·(-8)}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}=\hspace{0.17em}\frac{2\pm 6}{2}$

$z_1\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$ $z_2=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Um die Nullstellen Deiner Ursprungsfunktion f(x) herausfinden zu können, musst Du Deine substituierte Formel wieder resubstituieren. Dies funktioniert, indem Du $x=\pm \sqrt{z}$ anwendest. Für z setzt Du hier erst $z_1$ und anschließend $z_2$ ein.

$x_1=\sqrt{4}=2$, $x_2=-\sqrt{4}=-2$

Aufgabe 6

Berechne das Monotonieverhalten von f(x).

Lösung

Um die Monotonie leichter bestimmen zu können, berechnest Du die Nullstellen der ersten Ableitung.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4x(x^2-1)$

Die erste Nullstelle hast Du durch Ausklammern als $x_1=0$ gefunden.

Für die nächsten zwei Nullstellen schaust Du Dir anschließend nur den Term in den Klammern an und löst diesen nach x auf.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-1& =& 0\begin{array}{c}|+1\end{array}\\ x^2& =& 1\begin{array}{c}|\sqrt{}\end{array}\\ x& =& \sqrt{1}=\pm 1\\ & & \end{array}$

Damit hast Du die drei Nullstellen der ersten Ableitung als $x_1=0$; $x_2=1$ und $x_3=-1$ herausgefunden.

Bestimme nun die Monotonie zwischen Deinen berechneten Nullstellen mit Hilfe einer Monotonie-Tabelle

Um herauszufinden, ob Deine Ableitung für den betrachteten Bereich kleiner oder größer als null ist, musst du für x eine Zahl aus diesem Bereich einsetzen und ausrechnen.

In der erstellten Tabelle kannst Du nun das Monotonieverhalten für die Bereiche zwischen Deinen errechneten Nullstellen ablesen. Wenn Deine erste Ableitung kleiner Null ist, ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend, wenn sie größer Null ist, streng monoton steigend.

Aus der Tabelle kannst Du ablesen, dass der Graph in den Bereichen $x<-1$ und zwischen 0 und 1 streng monoton fallend ist. In den Bereichen zwischen -1 und 0 und $x>1$ ist er streng monoton steigend.

Aufgabe 7

Berechne die Lage der drei Extrempunkte.

Lösung

$f\left(0\right)=0^4-2·0^2-8=-8$

$f(-1)={(-1)}^4-2·{(-1)}^2-8=1-2-8=-9$

Den Extrempunkt in $x=1$ brauchst Du hier nicht berechnen, da Du in Schritt 3 die Achsensymmetrie bewiesen hast.

Somit erhältst Du ein relatives Minimum in den Punkten $A(-1|-9)$ und in $C\left(1\right|-9)$ und ein relatives Maximum im Punkt $B\left(0\right|-8)$.

Aufgabe 8

Berechne das Krümmungsverhalten von f(x) mit Hilfe einer Krümmungs-Tabelle.

Lösung

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=12x^2-4$

In dieser zweiten Ableitung fehlt Dir das b aus der Mitternachtsformel. Setze dafür in der Formel 0 ein.

$x_{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0^2-4·12·(-4)}}{2·12}=\frac{\pm \sqrt{192}}{24}=\frac{\pm 8\sqrt{3}}{24}$

$x_1=\frac{8\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $x_2=\frac{-8\sqrt{3}}{24}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$

Wenn der Wert für die zweite Ableitung in der Tabelle kleiner Null ist, ist die Funktion in diesem Bereich rechtsgekrümmt; wenn er größer Null ist, ist sie linksgekrümmt.

Somit kannst Du aus der Tabelle ablesen, dass der Graph in den Bereichen $x<\frac{-\sqrt{3}}{3}$ und $x>\frac{\sqrt{3}}{3}$ linksgekrümmt und im Bereich zwischen $\frac{-\sqrt{3}}{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ rechtsgekrümmt ist.

Für die Koordinaten der Wendepunkte musst Du die errechneten Nullstellen $x_1$ und $x_2$ in das Ursprungspolynom f(x) einsetzen. So erhältst Du die y-Koordinaten der zwei Wendepunkte.

$f\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)={\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)}^4-2{\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)}^2-8=-\frac{77}{9}$

Aufgrund der bewiesenen Achsensymmetrie brauchst Du auch hier nicht noch einmal mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ rechnen.

Somit erhältst Du die Wendepunkte WP1$\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right|-\frac{77}{9})$ und WP2$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right|\frac{-77}{9})$.