Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

Allgemeines zur Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen

Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden. Dafür wird der Wertebereich, die Periode, die Nullstellen, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

Betrachte doch zuerst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichungen der reinen und erweiterten trigonometrischen Funktionen anzuschauen:

Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst du im Artikel Tangensfunktion herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Damit du es später leichter hast, bilde zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung unserer Funktion $f\left(x\right)$:

Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen

Um den Wertebereich bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen zu bestimmen, musst du die Verschiebung in $y-\mathrm{Richtung}$ $d$ und die Änderung der Amplitude $a$ beachten.

Gib nun bei der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$ den Wertebereich an:

Trigonometrische Funktionen – Periode

Lediglich die Streckung in $x-\mathrm{Richtung}$ $b$ verändert bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen die Periode $p$.

Berechne nun die Periode an der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$:

Nullstellen der trigonometrischen Funktionen

Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich alle vier Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ auf die Nullstellen aus.

Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$, wenn der Parameter $d$ gleich null ist.

Falls der Parameter $d$ ungleich null ist, brauchst du zwei aufeinanderfolgende Nullstellen. Diese wiederholen sich dann in einem Abstand von einer Periode $p$.

Ist der Wertebereich $W_f=[0,\left|a\right|+d]$, dann sind die Tiefpunkte der Funktion doppelte Nullstellen.

Genauso verhält es sich, wenn der Wertebereich $W_f=[-\left|a\right|+d,0]$ ist, dann sind die Hochpunkte der Funktion doppelte Nullstellen. In beiden Fällen brauchst du in der Kurvendiskussion keine Nullstellen berechnen, denn eine Berechnung der Extrempunkte liefert dann auch die Nullstellen.

Bestimme nun bei der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$ die Nullstellen:

Extremstellen der trigonometrischen Funktionen

Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel Extremstellen nach.

Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich die Streckung und Verschiebung in $y-\mathrm{Richtung}$durch $a$ und $d$ auf die $y-\mathrm{Koordinate}$ aus und die Streckung und Verschiebung in $x-\mathrm{Richtung}$ durch $b$ und $c$ auf die $x-\mathrm{Koordinate}$.

Damit kannst du dir den Wertebereich $W_f$ mit $W_f=[-\left|a\right|+d,\left|a\right|+d]$ zu Hilfe nehmen, um die $y-\mathrm{Werte}$ der Extrempunkte zu berechnen:

$y_{TP}=-\left|a\right|+d\mathrm{und}{y}_{HP}=\left|a\right|+d$

Nun kannst du die Extremstellen in Abhängigkeit der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ berechnen. Sollte dich das interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

Berechne nun Schritt für Schritt jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$⁣, ohne dass du die allgemeinen Formeln aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

Trigonometrische Funktionen – Monotonie

Da sich die Monotonie relativ leicht bestimmen lässt, wenn die Extremstellen gegeben oder schon berechnet sind, brauchst du hier lediglich die Extremstellen betrachten. Damit wirken sich auch die Parameter der erweiterten trigonometrischen Funktionen genau so auf die Monotonie aus wie bei den Extremstellen.

Gib nun in zwei aufeinanderfolgenden Intervallen die Monotonie der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$ mit Hilfe der Extrempunkte an.

Trigonometrische Funktionen – Wendepunkte

Du kannst dir zu den Wendepunkten gerne noch unseren Artikel zu Wendepunkt berechnen anschauen.

Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen

Um mehr über die Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen zu erfahren, kannst du dir unsere Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion anschauen.

Da du später noch das Krümmungsverhalten bestimmen musst, brauchst du noch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung.

Innerhalb einer Periode $p$ gibt es genau zwei Wendepunkte. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wiederholt sich nach einer Periode $p=2\mathrm{\pi }$. Ebenso ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

Abbildung 1: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Sinusfunktion

An den Stellen $x_0=0$ und $x_2=2\mathrm{\pi }$ existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung. An der Stelle $x_1=\mathrm{\pi }$ existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

Wendepunkte der Kosinusfunktion

Für das Krümmungsverhalten brauchst du auch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion.

Abbildung 2: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion

An den Stellen $x_0=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $x_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$ existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung. An der Stelle $x_1=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung.

Wendepunkte der erweiterten trigonometrischen Funktionen

Im Vergleich zu den Extrempunkten wirkt sich die Streckung in $y-\mathrm{Richtung}$ nicht auf die Wendepunkte aus.

Für die $y-\mathrm{Koordinate}$ der Wendepunkte gilt $y=d$, denn der Parameter $d$ gibt lediglich die Verschiebung in $y-\mathrm{Richtung}$ an.

Nun kannst du die Wendepunkte in Abhängigkeit der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ berechnen. Sollte dich dies interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

Berechne nun Schritt für Schritt einen Wendepunkt der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=2·\cos (-3·(x-1\left)\right)+1$, ohne dass du die allgemeine Formel aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

Trigonometrische Funktionen – Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten kannst du relativ leicht bestimmen, wenn du die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung bereits hast. Diese kennst du bereits aus dem vorherigen Kapitel.

Du kannst dir dazu gerne noch unseren Artikel zum Thema Krümmungsverhalten anschauen.

Im vorherigen Kapitel hast du bereits festgestellt, welche Wendepunkte der reinen Sinus- und Kosinusfunktion eine positive und welche eine negative Steigung haben. Dort hast du mit dieser Information nichts Weiteres anfangen können. Nun benötigst du diese Erkenntnis für das Krümmungsverhalten.

Daraus ergibt sich dann folgende Tabelle: