Lineare Funktionen

Aufgabe 1

Berechne die Steigung der Gerade von $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$ mithilfe einer beliebigen Formel.

Lösung

1. Möglichkeit: Berechnung mittels Punkten

Zuerst suchst Du Dir zwei Punkte auf der Gerade aus, in dem Du einen x-Wert nimmst und ihn in die Ausgangsfunktion $f\left(x\right)$ einsetzt.

Die ausgewählten x-Werte sind $x_1=-2$ und $x_2=6$.

$$\begin{gathered} f(-2)=\frac{1}{2}·\left(-2\right)=-1 \\ f\left(6\right)=\frac{1}{2}·6=3 \end{gathered}$$

Die zugehörigen y-Werte sind $y_1=-1$ und $y_2=3$, was Dich zu den Punkten $P(-2|-1)$ und $Q\left(6\right|3)$ führt. An dieser Stelle kannst Du die Formel zur Steigung verwenden, in die die Punkte P und Q eingesetzt werden müssen.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{3-(-1)}{6-(-2)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\end{array}$

Die Steigung der Funktion $f\left(x\right)$ liegt bei $m=\frac{1}{2}$.

2. Möglichkeit: Berechnung mittels Steigungsdreieck

Die zweite Variante ist, dass Du die senkrechte und waagerechte Kathete des Steigübungsdreiecks nimmst uns sie in die Formel einsetzt.

Die Katheten sind ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{y}}=2\mathrm{LE}$ und ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{x}}=4\mathrm{LE}$ .

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{{\Delta }_y}{{\Delta }_x}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$

Auch bei dieser Richtung findest Du heraus, dass die Steigung bei $m=\frac{1}{2}$ liegt.

Abbildung 3: Berechnung der Steigung m

Aufgabe 2

Berechne die Nullstelle der Gerade von $f\left(x\right)=2x-4$.

Lösung

Zuerst setzt Du $f\left(x\right)$ gleich 0

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0\\ 2x-4& =& 0\end{array}$

Als Nächstes löst Du die Funktion nach x auf.

$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 0\begin{array}{cc}& |+4\end{array}\\ 2x& =& 4\begin{array}{cc}& |:2\end{array}\\ x& =& 2\\ & & \end{array}$

Damit liegt die Nullstelle dieser linearen Funktion bei $x=2$.

Nun wandelst Du die Nullstelle bei $x=2$ in einen Punkt P um.

$\mathrm{P}\left(2\right|0)$

Die Nullstelle der Funktion $f\left(x\right)$ ist $\mathrm{P}\left(2\right|0)$.

Abbildung 4: Nullstelle einer Gerade

Aufgabe 3

Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion $f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=2x+4$

Lösung

Du liest den y-Achsenabschnitt der Funktion $f\left(x\right)$ ab. Der y-Achsenabschnitt ist der Parameter t in der Funktion$f\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& mx+t\\ f\left(x\right)& =& 2x+4\end{array}$

Der y-Achsenabschnitt der Funktion $f\left(x\right)$ ist an dem y-Wert $t=4$. Zuletzt muss der y-Wert in einen Punkt umgewandelt werden.

$\mathrm{P}\left(0\right|4)$

Somit liegt der y-Achsenabschnitt liegt bei $P\left(0\right|4)$.

Abbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt der Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=3x;g\left(x\right)=2x-9$

Lösung

Zuerst werden die Funktionen $f\left(x\right)$und $g\left(x\right)$gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)& & |-2x\\ 3\mathrm{x}=2\mathrm{x}-9& & \\ 3\mathrm{x}-2\mathrm{x}=-9& & \\ \mathrm{x}=-9& & \end{array}\end{array}$

Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geraden$f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion $f\left(x\right)$ ein und multiplizierst sie aus.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 3x\\ f(-9)& =& 3·\left(-9\right)=-27\end{array}$

Der Schnittpunkt der Geraden $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ ist der Punkt $P(-9|-27)$.

Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall $g\left(x\right)$.Das wird auch Punktprobe genannt.

$\begin{array}{ccl}g\left(x\right)& =& 2x-9\\ g(-9)& =& 2·-9-9=-27\end{array}$

Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden $P(-9|-27)$. Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt der Geraden $g\left(x\right)$ und $f\left(x\right)$ ist.

Abbildung 6: Schnittpunkte zweier linearer Funktionen

Aufgabe 4

Stelle die Gleichung der Geraden $f\left(x\right)$ auf, die durch die Punkte $\mathrm{P}(-2|3)$ und $\mathrm{Q}\left(4\right|-7)$ verläuft.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-7-3}{4-(-2)}=-\frac{5}{3}\end{array}$

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

$y=-\frac{3}{5}+t$

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt $P\left(3\right|-2)$ eingesetzt und nach t umgestellt.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}3=-\frac{3}{5}·(-2)+t& & \\ & & \\ 3=\frac{10}{3}+t& & |-\frac{10}{3}\\ & & \\ -\frac{1}{3}=t& & \end{array}\end{array}$

Diese Werte werden jetzt in die Gerade $f\left(x\right)$ eingesetzt.

$f\left(x\right)=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$

Abbildung 7: Geradengleichung aufstellen

Aufgabe 5

Maria und Thomas arbeiten beide als Bedienung in einem Restaurant. Da zurzeit viel los ist, müssen sie viele Überstunden machen. Maria verdient mit $17$ Überstunden $1766€$ , während Thomas mit $13$ Überstunden $1750€$ verdient. Beide werden nach demselben Stundenlohn bezahlt.

Berechne das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.

Lösung

Zuerst wandelst Du die gegebenen Werte in zwei Punkte P und Q um.

$P\left(17\right|1700);Q(13\left|1750\right)$

Diese Punkte kannst Du nun in die Formel des Steigungsdreiecks einsetzen.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{1750-1766}{13-17}=\frac{-16}{-4}=4\end{array}$

Die Steigung ist $m=4$. Somit erhältst Du folgende Gleichung:

$y=4x+t$

In diese Gleichung wird jetzt einer der beiden Punkte eingesetzt. An dieser Stelle ist es der Punkt P.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}1766=4·17+t& & \\ 1766=68+t& & |-68\\ 1698=t& & \end{array}\end{array}$

Der y-Achsenabschnitt der Funktion liegt bei $t=1698$.

Die Werte werden zuletzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$f\left(x\right)=4x+1698$

Das Grundgehalt liegt bei 1698 € und die Überstundenpauschale liegt bei 4 €.

Aufgabe 6

Zeichne die Funktion $f\left(x\right)$ ins Koordinatensystem ein.

$f\left(x\right)=-4x+3$

Lösung

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen x-Werten.

Diese x-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen y-Werte.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-4x+3 \\ f(-1)=\left(-4\right)·\left(-1\right)+3=4+3=7 \end{gathered}$$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-1$ ist $y_1=7$. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& (-4)·0+3=3\end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt ist bei $y_2=3$. Dann wird der y-Wert zu $x_3=2$ berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right)& =& (-4)·2+3=\left(-8\right)+3=-5\end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_3=2$ ist $y_3=-5$. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

${\mathrm{P}}_1(-1|7){\mathrm{P}}_2(0\left|3\right){\mathrm{P}}_3\left(2\right|-5)$

Abbildung 8: Lineare Funktion einzeichnen

Jetzt, wo Du die Punkte P₁, P₂ und P₃ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Abbildung 9: Lineare Funktion einzeichnen

Aufgabe 7

Berechne die Steigung der Funktion $f\left(x\right)$ mithilfe der Punkte $P\left(1\right|2,5)$ und $Q\left(3\right|-4)$.

Lösung

Setze die Punkte in die Formel zu Berechnung der Steigung ein.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{(-4)-2,5}{3-1}=-\frac{6,5}{2}\end{array}$

Die Steigung der Funktion $f\left(x\right)$ liegt bei $m=-\frac{6,5}{2}$.

Aufgabe 8

Berechne die Nullstelle der Funktion $f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+6$

Lösung

Zuerst setzt Du die lineare Funktion gleich 0 und löst sie nach x auf.

$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& & \\ -\frac{1}{3}x+6=0& & |:\left(-\frac{1}{3}\right)\\ x-18=0& & |+18\\ & & \\ x=18& & \end{array}$

Der berechnete x-Wert ist $x=18$ und dieser wird zuletzt noch in einen Punkt umgewandelt.

$P\left(18\right|0)$

Die Nullstelle liegt an dem Punkt $P\left(18\right|0)$.

Aufgabe 9

Bestimmt den Y-Achsenabschnitt der Funktion $f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=-5x-6,4$

Lösung

Der y-Achsenabschnitt kann abgelesen werden, wenn Du den Parameter t der Funktion $f\left(x\right)$ nimmst.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& mx+t=-5x-6,4\end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt beim y-Wert$y=-6,4$, welcher jetzt noch in den Punkt $P\left(0\right|-6,4)$ umgewandelt wird.

Aufgabe 10

Stelle die Geradengleichung der Gerade$f\left(x\right)$ mithilfe der Punkte $P(-3|5)$ und $Q\left(4\right|2)$ auf.

Lösung

Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{2-5}{4-(-3)}=-\frac{3}{7}\end{array}$

Die Steigung der Gerade$f\left(x\right)$ ist $m=-\frac{3}{7}$. Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}y& =& mx+t=-\frac{3}{7}x+t\end{array}$

In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}2=-\frac{3}{7}·4+t& & \\ 2=-\frac{12}{7}+t& & |+\frac{12}{7}\\ t=\frac{26}{7}& & \end{array}\end{array}$

Der errechnete Y-Achsenabschnitt ist $t=\frac{26}{7}$. Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion $f\left(x\right)$ eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

$f\left(x\right)=-\frac{3}{7}x+\frac{26}{7}$

Aufgabe 11

Zeichne die Gerade$f\left(x\right)=-3x+6$.

Lösung

Zuerst berechnest Du zwei bis drei Punkte, die auf der Gerade liegen, in dem Du eine Wertetabelle erstellst, und die ausgewählten x-Werte in die Funktion einsetzt. Durch das Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhältst Du die zugehörigen y-Werte.

Die x-Werte werden jetzt in die Ausgangsfunktion eingesetzt.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-3x+6 \\ f(-2)=\left(-3\right)·\left(-2\right)+6=6+6=12 \end{gathered}$$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-2$ ist $y_1=12$. Jetzt wird der Y-Achsenabschnitt berechnet.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& -3·0+6=6\end{array}$

Der zugehörige y-Wert zu $x_2=0$ ist $y_2=6$. Zuletzt wird der x-Wert 1 in die Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& \left(-3\right)·1+6=3\end{array}$

Der letzte y-Wert ist $y_3=3$, welcher zu dem x-Wert $x_3=1$ gehört. Die Werte werden jetzt alle wieder in die Wertetabelle eingefügt.

Die Spalten werden jetzt in Punkte umgeformt.

${\mathrm{P}}_1(-2|12){\mathrm{P}}_2(0\left|6\right){\mathrm{P}}_3\left(1\right|3)$

Diese Punkte P musst Du jetzt ins Koordinatensystem einzeichnen.

Abbildung 11: Gerade zeichnen

Die Punkte müssen jetzt nur noch verbunden werden. Die Funktion $f\left(x\right)$ sieht gezeichnet folgendermaßen aus:

Abbildung 12: Gerade zeichnen

Aufgabe 12

Infolge eines Virusausbruchs müssen viele Personen auf das Virus getestet werden. Anfangs stehen dazu 3000 Tests zur Verfügung und es werden täglich 800 hergestellt. Stelle eine Funktion für den Bestand an Tests auf.

Lösung

Zuerst musst Du definieren, was an dieser Stelle die Steigung m ist und welcher Wert der Y-Achsenabschnitt ist.

Dadurch, dass täglich 800 neue Tests hergestellt werden, muss die Zahl 800 die Steigung m sein.

Der Anfangsbestand liegt bei 3000 Test. Von diesem Punkt aus muss die Steigung starten, weshalb die 3000 der Y-Achsenabschnitt sein muss.

$$\begin{gathered} m=800 \\ t=3000 \end{gathered}$$

Jetzt, wo Du beide Werte zuordnen konntest, musst Du die Werte nur noch in die Funktionsgleichung von $f\left(x\right)=mx+t$ einsetzen.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=mx+t \\ f\left(x\right)=800x+3000 \end{gathered}$$

Durch diese Zuordnung erhältst Du die Funktion $f\left(x\right)=800x+3000$.