Logarithmusgesetze: Rechengesetze & Herleitung

Q: Was passiert beim Logarithmieren?

Beim Logarithmieren wird die Gleichung b y =x nach y aufgelöst. Dies wird auch wie folgt geschrieben log b (x)=y.

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Da Du die Gesetze oftmals im Zusammenhang mit der Logarithmusfunktion benötigst, empfehlen wir Dir, vorher die Erklärung "Allgemeine Logarithmusfunktion" zu lesen.

Wiederholung – Eigenschaften des Logarithmus

Der Logarithmus $\log_{b} (x)$ wird als "Logarithmus von $" x "$ zur Basis $b$ " gesprochen.

Du kannst Dir bezüglich des Logarithmus folgende Frage stellen: Mit welcher Zahl $y$ muss $b$ potenziert werden, um $x$ als Lösung zu erhalten?

Sieh Dir hier noch einmal die Erklärung des Logarithmus' an:

Die Zahl $y = \log_{b} (x)$ ist die Zahl, für die die folgende Gleichung gilt:

$b^{y} = x (E)$

Das Zeichen $(E)$ wird benötigt, um später bei Beweisen auf diese Gleichung zurückzugreifen.

Aus dieser Definition folgen unmittelbar die ersten beiden Grundlagen der Logarithmusgesetze:

$\begin{array}{rcl} b^{\log_{b} (x)} & = & x & (G 1) \\ \log_{b} (b^{y}) & = & y & (G 2) \end{array}$

Auch hier werden die Zeichen $(G 1)$ und $(G 2)$ gebraucht, um sich später darauf beziehen zu können.

Sieh Dir dazu gerne das folgende Beispiel mit den passenden Werten an.

Gegeben ist die Gleichung $2^{4} = 16$ . Identifiziere zuerst einmal $x$ , $y$ und $b$ :

$\begin{array}{lrcl} Basis b : & b & = & 2 \\ Exponent y : & y & = & 4 \\ Ergebnis x : & x & = & 16 \end{array}$

Damit kannst Du die Gleichung auch zu einem Logarithmus umschreiben:

$\log_{2} (16) = 4$

Wendest Du nun die Grundlage 1 (G1) an, erhältst Du folgende Gleichung:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{cclcl} x & = & b^{\log_{b} (x)} & = & 2^{\log_{2} (16)} \\ = & 2^{4} \\ = & 16 \end{array} \end{array}$

Die Nutzung von (G1) ergibt erneut die Zahl 16 und damit $x$ . Setze nun auch die Grundlage 2 (G2) um, damit Du folgende Gleichung erhältst:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{cclcl} y & = & \log_{b} (b^{y}) & = & \log_{2} (2^{4}) \\ = & \log_{2} (16) \\ = & 4 \end{array} \end{array}$

Du siehst auch hier, dass das Ergebnis durch die Anwendung von (G2) wieder die Zahl 4 und damit $y$ ist.

Zusätzlich bestehen noch zwei wichtige Werte, die unabhängig der Basis $b$ gleich bleiben:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rclll} \log_{b} (1) & = & 0, weil b^{0} & = & 1 \\ \log_{b} (b) & = & 1, weil b^{1} & = & b \end{array} \end{array}$

Nun kennst Du die Eigenschaften und die Grundlagen der Logarithmusgesetze. Jetzt erfährst Du mehr zu ihren Rechenregeln.

Rechenregeln der Logarithmusgesetze & Beispiele

Es gibt verschiedene Regeln, die das Rechnen mit dem Logarithmus vereinfachen.

Hierzu kann es hilfreich sein, die Erklärung "Potenzgesetze" durchzulesen, um die Herleitung und die Beweise der Logarithmusgesetze nachvollziehen zu können.

Produktregel des Logarithmus

Die Produktregel des Logarithmus' besagt, dass ein Produkt eines Logarithmus' zweier Zahlen die Summe der Logarithmen dieser beiden Zahlen ist.

Mathematisch formuliert es sich wie folgt:

Die Rechenregel

$\log_{b} (x) + \log_{b} (z) = \log_{b} (x \cdot z)$

wird als Produktregel des Logarithmus' bezeichnet.

Beweis der Produktregel

Für die Herleitung der Produktregel benötigst Du das erste Potenzgesetz, das zeigt, wie Du Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren kannst.

Zur Erinnerung hier das erste Potenzgesetz: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Notiere das erste Potenzgesetz und logarithmiere es dann:

$\begin{array}{rclcl} b^{y_{1}} \cdot b^{y_{2}} & = & b^{y_{1} + y_{2}} & | logarithmieren zur Basis b \\ \log_{b} (b^{y_{1}} \cdot b^{y_{2}}) & = & \log_{b} (b^{y_{1} + y_{2}}) \end{array}$

Anschließend nutzt Du (G2), um die rechte Seite zu vereinfachen:

$\begin{array}{rclcl} \log_{b} (b^{y_{1}} \cdot b^{y_{2}}) & = & \log_{b} (b^{y_{1} + y_{2}}) & | (G 2) anwenden \\ \log_{b} (b^{y_{1}} \cdot b^{y_{2}}) & = & y_{1} + y_{2} \end{array}$

Als Nächstes benötigst Du eine andere Schreibweise für die Potenzen. Dazu kannst Du diese folgendermaßen substituieren:

$\begin{array}{rclccc} x & = & b^{y 1} & (S 1) \\ z & = & b^{y_{2}} & (S 2) \end{array}$

Als letzten Schritt setzt Du die substituierten Ausdrücke ein und wendest die Erklärung des Logarithmus' $(E)$ aus der Definition am Anfang des Artikels an:

$\begin{array}{rclcl} \log_{b} (b^{y_{1}} \cdot b^{y_{2}}) & = & y_{1} + y_{2} & | (S 1) und (S 2) anwenden \\ \log_{b} (x \cdot z) & = & y_{1} + y_{2} & | (E) anwenden \\ \log_{b} (x \cdot z) & = & \log_{b} (x) + \log_{b} (z) \end{array}$

Hier findest Du noch ein Beispiel für die Produktregel des Logarithmus'.

Wenn Du den Ausdruck $\log_{3} (14 x \cdot 15 y \cdot 9 z)$ vorliegen hast, kannst Du ihn wie folgt schreiben:

$\log_{3} (14 x) + \log_{3} (15 y) + \log_{3} (9 z)$

Eine andere mögliche Schreibweise lautet:

$\log_{3} (14 \cdot 15 \cdot 9) + \log_{3} (x) + \log_{3} (y) + \log_{3} (z)$

Quotientenregel des Logarithmus

Die Quotientenregel sagt aus, dass eine Division eines Logarithmus' zweier Zahlen die Differenz der Logarithmen dieser beiden Zahlen ist.

Mathematisch betrachtet lautet die Regel:

Die Rechenregel

$\log_{b} (x) - \log_{b} (z) = \log_{b} (\frac{x}{z})$

wird als Quotientenregel des Logarithmus' bezeichnet.

Beweis der Quotientenregel anwenden

Der Beweis der Quotientenregel gestaltet sich analog zur Herleitung der Produktregel.

Um die Quotientenregel herzuleiten, benötigst Du das 2. Potenzgesetz, mit dessen Hilfe Du Potenzen mit gleicher Basis dividieren kannst.

Zur Erinnerung hier das 2. Potenzgesetz: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

Nun notierst Du das 2. Potenzgesetz, logarithmierst es und wendest (G2) an:

$\begin{array}{rclcl} \frac{b^{y_{1}}}{b^{y_{2}}} & = & b^{y_{1} - y_{2}} & | logarithmieren zur Basis b \\ \log_{b} (\frac{b^{y_{1}}}{b^{y_{2}}}) & = & \log_{b} (b^{y_{1} - y_{2}}) & | (G 2) anwenden \\ \log_{b} (\frac{b^{y_{1}}}{b^{y_{2}}}) & = & y_{1} - y_{2} \end{array}$

Als Nächstes substituierst Du die Potenzen, um eine andere Schreibweise für die Potenzen zu erhalten:

$\begin{array}{rclccc} x & = & b^{y 1} & (S 1) \\ z & = & b^{y_{2}} & (S 2) \end{array}$

Zuletzt musst Du wieder die substituierten Ausdrücke einsetzen und die Erklärung des Logarithmus' $(E)$ anwenden:

$\begin{array}{rclcl} \log_{b} (\frac{b^{y_{1}}}{b^{y_{2}}}) & = & y_{1} - y_{2} & | (S 1) und (S 2) anwenden \\ \log_{b} (\frac{x}{z}) & = & y_{1} - y_{2} & | (E) anwenden \\ \log_{b} (\frac{x}{z}) & = & \log_{b} (x) - \log_{b} (z) \end{array}$

Sieh Dir auch zu der Quotientenregel des Logarithmus' noch eine kleine Übung an.

Wenn Du den Ausdruck $\log_{3} (\frac{14}{z^{2}})$ gegeben hast, kannst Du diesen wie folgt schreiben:

$\log_{3} (14) - \log_{3} (z^{2})$

Potenzregeln des Logarithmus

Nun geht es um die beiden Potenzregeln des Logarithmus'.

Statt den Logarithmus einer Basis mit einem Exponenten zu berechnen, kannst Du auch den Logarithmus der Basis ermitteln und diesen mit dem Exponenten multiplizieren. Das ist die 1. Potenzregel des Logarithmus'.

Hier findest Du die mathematische Schreibweise dazu:

Die Rechenregel

$\log_{b} (x^{z}) = z \cdot \log_{b} (x)$

wird als 1. Potenzregel des Logarithmus' bezeichnet.

Beweis der Potenzregel anwenden

Auch der Beweis der Potenzregel ist der Herleitung der Produktregel und Quotientenregel ähnlich.

Für die Herleitung benötigst Du das 5. Potenzgesetz. Es zeigt Dir, wie sich eine Potenz potenzieren lässt.

Zur Erinnerung hier 5. Potenzgesetz: ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Jetzt musst Du das 5. Potenzgesetz notieren und logarithmieren. Danach kannst du (G2) anwenden:

$\begin{array}{rclcl} {(b^{y_{1}})}^{y_{2}} & = & b^{y_{1} \cdot y_{2}} & | logarithmieren zur Basis b \\ \log_{b} ({(b^{y_{1}})}^{y_{2}}) & = & \log_{b} (b^{y_{1} \cdot y_{2}}) & | (G 2) anwenden \\ \log_{b} ({(b^{y_{1}})}^{y_{2}}) & = & y_{1} \cdot y_{2} \end{array}$

Auch hier benötigst Du wieder eine andere Schreibweise für die Potenzen. Diesmal substituierst Du allerdings etwas anders:

$\begin{array}{rclccc} x & = & b^{y 1} & (S 1) \\ z & = & y_{2} & (S 2) \end{array}$

Nun kannst Du die substituierten Ausdrücke einsetzen und die Erklärung des Logarithmus' $(E)$ anwenden:

$\begin{array}{rclcl} \log_{b} ({(b^{y_{1}})}^{y_{2}}) & = & y_{1} \cdot y_{2} & | (S 1) und (S 2) anwenden \\ \log_{b} (x^{z}) & = & y_{1} \cdot z & | (E) anwenden \\ \log_{b} (x^{z}) & = & \log_{b} (x) \cdot z \end{array}$

Du kannst aus der 1. Potenzregel auch noch eine weitere Potenzregel herleiten, die sich auf Wurzeln bezieht. Sieh Dir dazu die nächste Definition an.

Die Rechenregel

$\log_{b} (\sqrt[n]{z}) = \log_{b} (z^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \cdot \log_{b} (z)$

wird als 2. Potenzregel des Logarithmus' bezeichnet.

Die 2. Potenzregel folgt unmittelbar aus der 1. Potenzregel, da eine $n - t e$ Wurzel auch als Exponent geschrieben werden kann.

Hier ein kurzes Beispiel zu den Potenzregeln des Logarithmus':

Wenn der Ausdruck $\log_{4} (x^{3} \cdot \sqrt{5 z})$ gegeben ist, kannst Du diesen erst einmal mit der Produktregel wie folgt formulieren:

$\log_{4} (x^{3}) + \log_{4} (\sqrt{5 z})$

Wendest du nun die 1. und die 2. Potenzregel an, erhältst du diese Lösung:

$3 \cdot \log_{4} (x) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (5 z)$

Basiswechsel des Logarithmus

Der Basiswechsel des Logarithmus' kann hilfreich sein, sobald Du in einem Term unterschiedliche Basen gegeben hast und diese auf dieselben Basen bringen möchtest.

Die Rechenregel

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

wird als Basiswechsel des Logarithmus' bezeichnet.

Da ein Beweis an dieser Stelle zu weit führen würde, wird darauf verzichtet. Du kannst Dir allerdings dazu noch die folgenden Beispielaufgaben ansehen.

Aufgabe 1

Vereinfache den Term $\log_{4} (x) \cdot \log_{16} (x)$ mithilfe des Basiswechsels.

Lösung zu Aufgabe 1

Wende bei einem der beiden Logarithmen den Basiswechsel an. Du erhältst folgenden Ausdruck:

$\log_{4} (x) \cdot \frac{\log_{4} (x)}{\log_{4} (16)} = \frac{(\log_{4} {(x))}^{2}}{\log_{4} (16)}$

Der Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ ist $2$ . Damit ergibt sich dieser vereinfachte Term:

$\frac{(\log_{4} {(x))}^{2}}{\log_{4} (16)} = \frac{(\log_{4} {(x))}^{2}}{2}$

Die folgende Tabelle fasst Dir alle Logarithmusgesetze noch einmal im Überblick zusammen.

Gesetz	Logarithmus
Produktregel	$\log_{b} (x) + \log_{b} (z) = \log_{b} (x \cdot z)$
Quotientenregel	$\log_{b} (x) - \log_{b} (z) = \log_{b} (\frac{x}{z})$
1. Potenzregel	$\log_{b} (x^{z}) = z \cdot \log_{b} (x)$
2. Potenzregel	$\log_{b} (\sqrt[n]{z}) = \frac{1}{n} \cdot \log_{b} (z)$
Basiswechsel	$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Logarithmusgesetze – Aufgaben

Jetzt kennst Du alle Rechenregeln der Logarithmusgesetze. In der nächsten Aufgabe kannst Du mehrere dieser Gesetze anwenden.

Aufgabe 2

Vereinfache den Term $4 \cdot \log_{5} (x^{2} \cdot z^{- 4}) - \log_{5} (x^{8} \cdot z)$ so weit wie möglich mithilfe der Logarithmusgesetze.

Lösung zur Aufgabe 2

Schreibe zuerst den ersten Logarithmus um und setze $z^{4}$ in den Nenner.

$4 \cdot \log_{5} (\frac{x^{2}}{z^{4}}) - \log_{5} (x^{8} \cdot z)$

Damit kannst Du bei dem ersten Logarithmus die Quotientenregel, bei dem zweiten die Produktregel anwenden.

Denk daran, die Klammern zu setzen, wenn Du die Regeln anwendest. Denn das Multiplizieren mit der Zahl $4$ bezieht sich dann auf beide Logarithmen, die addiert werden.

$4 \cdot (\log_{5} (x^{2}) - \log_{5} (z^{4})) - (\log_{5} (x^{8}) + \log_{5} (z))$

Nun kannst du mehrmals die 1. Potenzregel anwenden:

$4 \cdot (2 \cdot \log_{5} (x) - 4 \cdot \log_{5} (z)) - (8 \cdot \log_{5} (x) + \log_{5} (z))$

Sobald Du den Ausdruck vereinfacht hast, erhältst du folgende Lösung:

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot \log_{5} (x^{2} \cdot z^{- 4}) - \log_{5} (x^{8} \cdot z) & = & 4 \cdot (2 \cdot l o g_{5} (x) - 4 \cdot \log_{5} (z)) - (8 \cdot l o g_{5} (x) + \log_{5} (z)) \\ = & 8 \cdot l o g_{5} (x) - 16 \cdot \log_{5} (z) - 8 \cdot l o g_{5} (x) - \log_{5} (z) \\ = & - 17 \cdot \log_{5} (z) \end{array}$

Logarithmusgesetze der e-Funktion

Da die e-Funktion eine spezielle Logarithmusfunktion ist, gelten auch für sie alle Logarithmusgesetze. Du musst lediglich $\log_{b}$ durch $\ln$ und die Basis $b$ durch die Eulersche Zahl $e$ ersetzen. Damit ergibt sich folgende Tabelle:

Gesetz	Natürlicher Logarithmus
Produktregel	$\ln (x) + \ln (z) = \ln (x \cdot z)$
Quotientenregel	$\ln (x) - \ln (z) = \ln (\frac{x}{z})$
1. Potenzregel	$\ln (x^{z}) = z \cdot \ln (x)$
2. Potenzregel	$\ln (\sqrt[n]{z}) = \frac{1}{n} \cdot \ln (z)$
Basiswechsel	$\ln (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (e)}$

Um auch die Gesetze bei der ln-Funktion zu verinnerlichen, kannst Du die nächste Aufgabe lösen.

Aufgabe 3

Vereinfach den Term $\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{8}) + 4 \cdot \ln (5 x) - \ln (x^{4})$ so weit wie möglich mithilfe der Logarithmusgesetze.

Lösung zur Aufgabe 3

Zuerst kannst Du zweimal die 1. Potenzregel und einmal die $Produktregel$ anwenden:

$8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (l n (x) + l n (5)) - 4 \cdot \ln (x) = 4 \cdot l n (x) + 4 \cdot \ln (x) + 4 \cdot \ln (5) - 4 \cdot l n (x)$

Vereinfachst Du diesen Ausdruck, erhältst du folgende Lösung, da sich zwei Logarithmen $4 \cdot l n (x)$ wegkürzen. Zusätzlich kannst Du auch noch einmal die $Produktregel$ andersherum anwenden, damit der Ausdruck wieder kleiner wird:

$4 \cdot (l n (x) + l n (5)) = 4 \cdot \ln (5 x)$

Jetzt kannst Du die Logarithmusgesetze anwenden und dem Klassenzimmer endlich den Rücken kehren. Aber sieh Dir noch kurz die Lösung zu Deinem Eingangsproblem $\log_{3} (x \cdot z^{5}) - 5 \cdot \log_{3} (z)$ an:

Bei dem Ausdruck $\log_{3} (x \cdot z^{5}) - 5 \cdot \log_{3} (z)$ kannst Du zuerst die Produktregel anwenden:

$\log_{3} (x) + \log_{3} (z^{5}) - 5 \cdot \log_{3} (z)$

Als Nächstes folgt die Beachtung der 1. Potenzregel:

$\log_{3} (x) + 5 \cdot \log_{3} (z) - 5 \cdot \log_{3} (z)$

Schließlich kannst Du die Gleichung weiter vereinfachen, indem Du subtrahierst:

$\log_{3} (x)$

Damit hast Du Dein Problem gelöst.

Logarithmusgesetze – Das Wichtigste

Eigenschaften des Logarithmus':
- Die Zahl $y = \log_{b} (x)$ ist die Zahl, für die die Gleichung $b^{y} = x$ gilt.
- Es zählen damit die beiden Gleichungen $b^{\log_{b} (x)} = x und \log_{b} (b^{y}) = y$
- Wichtige Werte des Logarithmus':
  - $\begin{array}{rcl} \log_{b} (1) & = & 0 \end{array}$
  - $\begin{array}{rcl} \log_{b} (b) & = & 1 \end{array}$
Rechenregeln:
Produktregel

\log_{b} (x) + \log_{b} (z) = \log_{b} (x \cdot z)

Quotientenregel

\log_{b} (x) - \log_{b} (z) = \log_{b} (\frac{x}{z})

1. Potenzregel

\log_{b} (x^{z}) = z \cdot \log_{b} (x)

2. Potenzregel

\log_{b} (\sqrt[n]{z}) = \log_{b} (z^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \cdot \log_{b} (z)

Basiswechsel:

\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}

Da die e-Funktion eine spezielle Logarithmusfunktion ist, gelten für sie auch Logarithmusgesetze. Es muss lediglich $\log_{b}$ durch $\ln$ und die Basis $b$ durch die Eulersche Zahl $e$ ersetzt werden.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmusgesetze

Was passiert beim Logarithmieren?

Beim Logarithmieren wird die Gleichung

b^y=x nach y aufgelöst. Dies wird auch wie folgt geschrieben log_b(x)=y.

Was passiert mit Einheiten beim Logarithmieren?

Der Logarithmus kann nur von Zahlen gebildet werden, die dimensionslos, also ohne Einheit, sind.

Welche Logarithmusgesetze gibt es?

Es gibt folgende wichtige Logarithmengesetze:

Produktregel: log_bx + log_bz = log_b(x·z)
Quotientenregel: log_bx − log_bz = log_b(x/z)
1. Potenzregel: log_b(x^z) = z·log_b(x)
2. Potenzregel: log_b(n-sqrt(z))=1/n·log_b(z)
Basiswechsel: log_b(x)=(log_a(x))/(log_a(b))
Wichtige Werte:
- log_b1 = 0
- log_bb = 1
- b^log_b(x)=x
- log_b(b^y)=y

Wie viele Logarithmengesetze gibt es?

Es gibt folgende wichtige Logarithmengesetze:

Produktregel: log_bx + log_bz = log_b(x·z)
Quotientenregel: log_bx − log_bz = log_b(x/z)
1. Potenzregel: log_b(x^z) = z·log_b(x)
2. Potenzregel: log_b(n-sqrt(z))=1/n·log_b(z)
Basiswechsel: log_b(x)=(log_a(x))/(log_a(b))
Wichtige Werte:
- log_b1 = 0
- log_bb = 1
- b^log_b(x)=x
- log_b(b^y)=y

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