Mitternachtsformel

Löse die quadratische Gleichung $0=2x^2-8x+6$.

Zuerst liest Du ab, welche Werte die Variablen $a$, $b$ und $c$ besitzen. Achte dabei unbedingt auf die Vorzeichen:

• $a=2$
• $b=-8$
• $c=6$

Nun kannst Du diese Werte zunächst in die Formel der Diskriminante einsetzen: $$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 6\\ & =64-48\\ & =16\end{array}$$

Damit ist also $D>0$ und es existieren zwei Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese bestimmst Du nun mit der Mitternachtsformel. Dabei beginnst Du entweder mit dem $-$ oder dem $+$: $$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-(-8)+\sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 6}}{2\cdot 2}\\ & =\frac{8+\sqrt{16}}{4}\\ & =3\end{array}$$ Die erste Lösung für die quadratische Gleichung ist also $x_1=3$. Nun rechnest Du das gleiche noch mit $-$ aus:$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{8-\sqrt{16}}{4}\\ & =1\end{array}$$

Die zweite Lösung für die quadratische Gleichung ist demnach $x_2=1$.

Löse die quadratische Gleichung $0=2x^2-8x+10$.

Auch hier liest Du wieder die Werte ab:

• $a=2$
• $b=-8$
• $c=10$

Berechne dann die Diskriminante: $$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot 10\\ & =64-80\\ & =-16\end{array}$$

Da die Diskriminante unter einer Wurzel steht und negativ ist, kann hier keine Lösung für die quadratische Gleichung gefunden werden. Es ist im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen.

Somit brauchst Du die Werte nicht weiter in die Mitternachtsformel einzusetzen und bist fertig mit der Aufgabe.

Ein Beispiel dafür ist die folgende quadratische Gleichung: $$3x^2-27=0$$

Hier kannst Du also so vorgehen: $$\begin{gathered} \begin{array}{rlrl}3x^2-27& =0& & |+27\\ 3x^2& =27& & |:3\\ x^2& =9& & |\sqrt{ \\ }\\ x_{1,2}& =\pm 3\end{array} \end{gathered}$$

Die Lösungen, die Du mithilfe der Mitternachtsformel erhalten würdest, wären dabei die gleichen.

Löse die quadratische Gleichung $0=2x^2+8x$.

Klammere also zuerst das $x$ aus. Du erhältst $$0=x(2x+8).$$

Nun kannst Du zwei einzelne lineare Gleichungen bilden: $$0=x$$ und $$0=2x+8$$

Diese löst Du wie gewohnt auf. Die erste Lösung ist dabei direkt ablesbar: $x_1=0$. Für die zweite Lösung musst Du etwas umformen: $$\begin{array}{rlrl}2x+8& =0& & |-8\\ 2x& =-8& & |:2\\ x& =-4\end{array}$$

Die zweite Lösung ist demnach $x_2=-4$.

Lösung

Um die Anzahl der Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichung herauszufinden, berechnest Du die Diskriminante. Zunächst liest Du dafür wieder die Parameter ab:

• $a=-3$
• $b=-7$
• $c=-5$

Nun kannst Du sie in die Formel für die Diskriminante einsetzen:

$$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-7{)}^2-4\cdot (-3)\cdot (-5)\\ & =49-60\\ & =-11\end{array}$$

Die Diskriminante ist negativ, es gilt also $D<0$. Somit besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

Lösung

Hier kannst Du direkt mit der Mitternachtsformel starten, da die Anzahl der Nullstellen nicht konkret gefragt ist. Lies also wieder die Parameter ab und setze sie dann in die Mitternachtsformel ein:

• $a=2$
• $b=-3$
• $c=-5$

Denk auch wieder daran, die Rechnung einmal mit $-$ und einmal mit $+$ durchzuführen.

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-(-3)+\sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}\\ & =\frac{3+\sqrt{49}}{4}\\ & =\frac{3+7}{4}\\ & =\text{2,5}\end{array}$$ Die erste Nullstelle liegt also bei $x_1=\text{2,5}$. Nun rechnest Du das gleiche noch mit $-$ aus:$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{3-7}{4}\\ & =-1\end{array}$$

Die zweite Nullstelle ist demnach $x_2=-1$.

Lösung

a) Hier ist ein wenig Trickserei nötig, bevor Du die Diskriminante berechnen kannst. Zuerst sollte die quadratische Gleichung so umgeformt werden, dass auf einer Seite die 0 steht, damit Du die Parameter $a$, $b$ und $c$ ablesen kannst. Dafür addierst Du auf beiden Seiten $\text{4,5}$: $$\begin{array}{rlrl}2x^2+6x& =-\text{4,5}& & |+\text{4,5}\\ 2x^2+6x+\text{4,5}& =0\end{array}$$

Nun liest Du $a$, $b$ und $c$ ab:

• $a=2$
• $b=6$
• $c=\text{4,5}$

Jetzt kannst Du die Diskriminante berechnen: $$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =6^2-4\cdot 2\cdot \text{4,5}\\ & =36-36\\ & =0\end{array}$$

Es gilt also $D=0$, weshalb es nur eine Lösung gibt.

b) Setze nun die Parameter in die Mitternachtsformel ein. Da Du die Diskriminante schon berechnet hast und sie 0 ist, kannst Du die Wurzel direkt weglassen und musst auch nicht zwei Rechnungen durchführen. $$\begin{array}{rl}x& =\frac{-b}{2a}\\ & =\frac{-6}{2\cdot 2}\\ & =\frac{-6}{4}\\ & =-\text{1,5}\end{array}$$

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist also $x=-\text{1,5}$.