Natürlicher Logarithmus

Definition der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Erklärung der natürlichen Logarithmusfunktion

Was unterscheidet die natürliche Logarithmusfunktion von der allgemeinen Logarithmusfunktion? Die ln-Funktion ist lediglich ein Spezialfall der allgemeinen Logarithmusfunktion, bei der die Basis $b$ der Eulerschen Zahl $e$ entspricht.

Damit kann die ln-Funktion auch wie folgt geschrieben werden:

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)={\log }_e\left(x\right)$

Genau wie die allgemeine Logarithmusfunktion, kannst Du auch die ln-Funktion nutzen, um eine bestimmte Gleichung zu lösen. Dabei gilt:

Im Folgenden findest Du dazu Anwendungsbeispiele.

Weil aus $y=\ln \left(x\right)$ die Gleichung $e^y=x$ folgt, kannst Du Dir die beiden Gesetze des natürlichen Logarithmus' merken:

$e^{\ln \left(x\right)}=x\mathrm{und}\ln \left(e^y\right)=y$

Regeln und Gesetze der natürlichen Logarithmusfunktion

Bei dem Rechnen mit dem natürlichen Logarithmus gibt es verschiedene Rechenregeln:

Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion

In der folgenden Abbildung findest Du den Graph einer natürlichen Logarithmusfunktion.

Abbildung 1: Graph der natürlichen Logarithmusfunktion

Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion besitzt ähnliche Eigenschaften wie die allgemeine Logarithmusfunktion. Diese findest Du im Folgenden.

Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion

Da die natürliche Logarithmusfunktion die Basis $e$ hat, hängt diese eng mit der e-Funktion zusammen. Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Abbildung 2: Umkehrfunktion

Diese Abbildung verdeutlicht, dass die Umkehrfunktion $f^{-1}\left(x\right)$ durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=x$ entstanden ist.

Definitionsbereich der natürlichen Logarithmusfunktion

Basierend auf dem Definitionsbereich des allgemeinen Logarithmus und der Definition des natürlichen Logarithmus' gilt, dass für $x$ lediglich positive Werte eingesetzt werden dürfen. Damit ergibt sich für die ln-Funktion folgender Definitionsbereich:

$D_f={\mathrm{ℝ}}^{+}$

Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion

Da die natürliche Logarithmusfunktion, genau wie die allgemeine Logarithmusfunktion, weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, besitzt sie folgenden Wertebereich:

$W_f=\mathrm{ℝ}$

Nullstellen der natürlichen Logarithmusfunktion

Um die Nullstellen der natürliche Logarithmusfunktion zu bestimmen, setzt Du die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ gleich $0$:

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)=0$

Wendest Du nun die Umkehrfunktion an, erhältst Du folgenden Ausdruck:

$\ln \left(x\right)=0\stackrel{Umkehrfunktion}{\to }{e}^0=x$

Löst Du diese Gleichung voll auf, erhältst Du folgende Nullstelle:

$\begin{array}{rcl}x& =& e^0\\ x& =& 1\end{array}$

Damit besitzt die natürliche Logarithmusfunktion die Nullstelle $x=1$, genau wie jede allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis $b$.

Monotonie der natürlichen Logarithmusfunktion

Die Monotonie der allgemeinen Logarithmusfunktion hängt von der Basis $b$ ab.

Die ln-Funktion ist streng monoton wachsend, da bei der natürlichen Logarithmusfunktion die Basis $b=e>1$ ist.

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Um die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion zu erhalten, musst Du die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion nutzen:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x·\ln \left(e\right)}$

Der Ausdruck $\ln \left(e\right)$ ergibt die Zahl $1$. Dementsprechend kannst Du die Ableitung noch etwas vereinfachen:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Die ln-Funktion besitzt nun die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$.