Newton Verfahren

Newton Verfahren – Definition

Schau dir direkt erstmal die Definition des Newton Verfahrens an!

Für das Verständnis des Newton Verfahrens ist es wichtig, dass du mit dem Thema Nullstelle und ihrer Berechnung im Allgemeinen vertraut bist. Falls du zu diesem Thema nochmal etwas nachlesen möchtest, haben wir einen eigenen Artikel nur zum Thema Nullstellen berechnen für dich vorbereitet.

Newton Verfahren – Erklärung

Bevor du lernst, wie du das Newton-Verfahren praktisch anwenden kannst, erfährst du zunächst alles Wichtige über die Grundlagen des Newton Verfahren und seine Herleitung.

Newton Verfahren – Grundlagen

Das Newton Verfahren wird zur Annäherung der Nullstellen einer Funktion verwendet.

Dabei handelt es sich um ein Iterationsverfahren. Dabei wird zunächst grob eingeschätzt, in welchem Bereich sich die Nullstelle der Funktion befindet. Dieser Wert wird als Startwert in die Iterationsvorschrift eingesetzt. Als Ergebnis erhält man eine erste Annäherung, die bereits näher an der wahren Nullstelle der Funktion liegt als der Startwert. Dieser Vorgang wird im Iterationsverfahren mehrfach wiederholt, bis sich die Annäherungen nur noch um wenige Nachkommastellen unterscheiden.

Die exakte Nullstelle wird daher mithilfe eines Iterationsverfahren niemals bestimmt. Von Schätzer zu Schätzer wird der Wert der wahren Nullstelle aber immer weiter angenähert und genauer.

Newton Verfahren – Konvergenz

Das Newton Verfahren funktioniert nur, wenn sich der gewählte Startwert nahe genug an der wahren Nullstelle befindet. Die Werte, die durch die Iterationsvorschrift bestimmt werden, konvergieren nur gegen den Wert der Nullstelle, wenn sich der Startwert bereits im sogenannten Konvergenzbereich befindet.

Wenn der Startwert außerhalb des Konvergenzbereichs der gesuchten Nullstelle liegt, funktioniert das Newton-Verfahren nicht. Stattdessen hat das Newton Verfahren dann eine dieser drei Konsequenzen zur Folge:

• Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte konvergieren nicht gegen den x-Wert der gesuchten Nullstelle, sondern gegen den x-Wert einer anderen Nullstelle der Funktion.
• Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte divergieren, das heißt sie nähern sich keinen Grenzwert.
• Die mit der Iterationsvorschrift bestimmten Werte oszillieren, das heißt sie schwanken unendlich lange innerhalb eines bestimmten Intervalls.

Deshalb ist es wichtig, sich vor der Anwendung des Newton-Verfahrens zu überlegen, in welchem Bereich die Nullstelle etwa liegt und nicht einfach irgendeinen Startwert zu wählen. Aber keine Sorgen – wie du dabei konkret vorgehen solltest, erfährst du nach dem Abschnitt zu Herleitung des Newton-Verfahrens.

Newton Verfahren – Herleitung

Die Herleitung des Verfahrens wird in den grafischen und den mathematischen Teil untergliedert.

Newton Verfahren – Grafische Herleitung

Die Grundidee ist folgende:

Es wird zuerst ein Punkt mit von der Funktion f(x) bestimmt, der bereits sehr nah an der Nullstelle der Funktion liegt.

In diesem Fall wird für den Punkt die Koordinaten gewählt.

Um sich der Nullstelle im nächsten Schritt annähern zu können, soll eine Tangente der Funktion f(x) an der Stelle eingezeichnet werden. Diese Tangente ist eine lineare Näherungsfunktion der Funktion an dieser Stelle.

Bei der Nullstelle dieser Tangente handelt es sich um den Punkt mit .

Vom Punkt kann nun die Nullstelle der Funktion f(x) erneut angenähert werden. Dazu wird als nächstes die Tangente der Funktion f(x) an der Stelle eingezeichnet.

Auch diese Tangente hat eine Nullstelle. Die Nullstelle dieser Tangente liegt am Punkt . Dieser Punkt stellt den Ausgangspunkt für den nächsten Schritt der Annäherung der Nullstelle dar.

Wie du siehst nähern sich die Punkte bis immer weiter an die wahre Nullstelle der Funktion an.

Dieses Verfahren wird so lange wiederholt, bis man sich der Nullstelle der Funktion ausreichend angenähert hat.

Newton Verfahren – Mathematische Herleitung

Aus den Ideen der grafischen Herleitung, kann abschließend die Iterationsvorschrift des Newton Verfahrens geschlussfolgert werden. Bei der Iterationsvorschrift handelt es sich um eine Formel, die zur Annäherung der Nullstelle verwendet wird. Diese Formel wird mehrmals hintereinander verwendet, nur die Werte, die in die Formel eingesetzt werden, variieren von Durchgang zu Durchgang.

Zuerst wird der Wert für den Startwert $x_0$ festgelegt. Ausgehend davon kann die Tangentengleichung am Punkt $P_0$ mit $x=x_0$ ermittelt werden. Wenn die Funktion f, deren Nullstelle angenähert werden soll, differenzierbar ist, gilt für die Tangente $t_1$ am Punkt $P_0$:	$t_1=f\left(x_0\right)+f\text{'}\left(x_0\right)·(x-x_0)$
Um den neuen Näherungswert $x_1$ zu bestimmen, muss die Nullstelle der Tangente $t_1$ ermittelt werden.Dafür wird die Tangentengleichung von $t_1$ mit 0 gleichgesetzt:	$0=f\left(x_0\right)+f\text{'}\left(x_0\right)·(x-x_0)$
Durch Auflösen der Formel nach x ergibt sich:	$$\begin{gathered} 0=f\left(x_0\right)+f\text{'}\left(x_0\right)·(x-x_0)\overline{)-f\left(x_0\right)} \\ -f\left(x_0\right)=f\text{'}\left(x_0\right)·(x-x_0)\overline{)÷f\text{'}\left(x_0\right)} \\ -\frac{f\left(x_0\right)}{f\text{'}\left(x_0\right)}=x-x_0\overline{)+x_0} \\ x=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f\text{'}\left(x_0\right)},sofernf\text{'}\left(x_0\right)\ne 0 \end{gathered}$$
Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert $x_1$.
Dieses Vorgehen wird nun für den Wert $x_1$ wiederholt: Am Punkt $x_1$ wird die Tangente $t_2$ aufgestellt.	$t_2=f\left(x_1\right)+f\text{'}\left(x_1\right)·(x-x_1)$
Durch Bestimmung der Nullstelle der Tangente $t_2$ kann nun der Wert für$x_2$ ermittelt werden:	$$\begin{gathered} 0=f\left(x_1\right)+f\text{'}\left(x_1\right)·(x-x_1)\overline{)-f\left(x_1\right)} \\ -f\left(x_1\right)=f\text{'}\left(x_1\right)·(x-x_1)\overline{)÷f\text{'}\left(x_1\right)} \\ -\frac{f\left(x_1\right)}{f\text{'}\left(x_1\right)}=x-x_1\overline{)+x_1} \\ x=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f\text{'}\left(x_1\right)},sofernf\text{'}\left(x_1\right)\ne 0 \end{gathered}$$
Der errechnete x-Wert ist der neue Annäherungswert $x_2$.
Dieses Verfahren kann endlos weitergeführt werden. Deshalb kann ganz allgemein der Wert $x_n$ verwendet werden, aus dem man den Wert für $x_{n+1}$ ermitteln kann:
Die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) an der Stelle hat an dieser Stelle die Steigung . Wie die Tangentengleichung aussieht, siehst du in der rechten Spalte der Tabelle. Das Newton-Verfahren und damit auch die Aufstellung der Tangentengleichung ist allerdings nur möglich, wenn die Funktion f differenzierbar ist. Das heißt man muss die Ableitung an jeder Stelle x bilden können.
Den Wert erhält man, indem man die Nullstelle der Tangente berechnet. Es muss daher gelten:
Daraus folgt:
Die Gleichung wird nun in mehreren Schritten nach aufgelöst.Dafür werden zunächst die Klammern ausmultipliziert.Es resultiert:
Anschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Es ergibt sich:
Danach wird auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.Daraus folgt:
Abschließend werden beide Seiten der Gleichung durch dividiert. Das ist möglich, da für die Steigung der Tangente an der Stelle gilt . Die Ursache dafür liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung des Newton-Verfahrens: die Funktion darf nicht konstant sein und muss differenzierbar sein.
Nach Kürzen und Umstellen der Gleichung ergibt sich die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:

Fassen wir diese Herleitung zusammen:

Newton Verfahren – Vorgehensweise

Du weißt jetzt alles, was du über die Theorie des Newton Verfahrens wissen solltest. Als nächstes lernst du, wie du selbst mithilfe des Newton Verfahrens die Nullstellen einer Funktion bestimmen kannst.

Zuerst werden dir die einzelnen Bestandteile der Iterationsvorschrift noch einmal erklärt und abschließend erfährst du, in welchen Schritten du bei der Nullstellenberechnung mit dem Newton Verfahren vorgehen kannst.

Newton Verfahren – Iterationsvorschrift

Das wichtigste Instrument bei der Anwendung des Newton Verfahrens ist die Iterationsvorschrift. Wie du bereits in der Herleitung des Newton Verfahrens gelernt hast, lautet die Iterationsvorschrift wie folgt:

Die Bestandteile der Iterationsvorschrift sind die folgenden:

• ist die neue Annäherung der Nullstelle, die im nächsten Schritt berechnet werden soll.
• ist die alte Annäherung, die entweder der Startwert ist oder die Annäherung, die im letzten Schritt bestimmt wurde.
• ist die Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll.
• ist die erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle berechnet werden soll.

Um das Newton Verfahren anwenden zu können, musst du die erste Ableitung der Funktion f(x) bestimmen.

Newton Verfahren – schrittweises Vorgehen

Um die Nullstelle einer Funktion mithilfe des Newton Verfahrens anzunähern, bietet es sich an, in den folgenden fünf Schritten vorzugehen:

Schritt 1:

Bestimme die erste Ableitung der Funktion, deren Nullstelle angenähert werden soll. Diese brauchst du im Folgenden, da sie Teil der Iterationsvorschrift ist und deshalb in für die Berechnung der Werte benötigt wird.

Schritt 2:

Erstelle eine Wertetabelle, aus der du ablesen kannst, in welchem Bereich sich etwa die Nullstelle der Funktion befindet. In diesem Schritt wählst du den Wert für so, dass er in einem Intervall liegt, an dessen einer Grenze der Funktionswert positiv und an der anderen Grenze negativ ist. Dadurch, dass in diesem Intervall ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte stattfinden, liegt nach dem Zwischenwertsatz die Nullstelle auf jedem Fall in diesem Intervall. Dafür ist es aber wichtig, dass die Funktion im ausgewählten Intervall stetig ist, also in diesem Intervall keine Definitionslücke vorliegt.

Schritt 3:

Ausgehend von den Informationen, die du aus der Wertetabelle gewonnen hast, wählst du den Startwert .

Zur Erinnerung: Den Wert für den Startwert wählst du so, dass er nahe am wahren Nullpunkt der Funktion liegt.

Diesen setzt du in die Iterationsvorschrift als ein. Du erhältst den Annäherungswert als .

Schritt 4:

Diese Vorgehensweise wiederholst du so lange, bis sich die resultierenden Annäherungswerte nur noch minimal in ihren Nachkommastellen unterscheiden. Dieses Vorgehen ist typisch für Iterationsverfahren.

Wenn es sich die Annäherungswerte nur noch kaum unterscheiden, kannst du diesen Wert als den x-Wert der angenäherten Nullstelle betrachten. Da der y-Wert bei Nullstellen immer 0 beträgt, kannst du aus diesen Informationen die Koordinaten der Nullstelle in der Form angeben.

Schritt 5:

Abschließend überprüfst du entweder durch Einsetzen des errechneten Wertes in die Funktionsgleichung oder durch Zeichnen der Funktion, ob es sich bei dem ermittelten Wert tatsächlich um eine Nullstelle der Funktion handelt.

Wie diese fünf Schritte praktisch umgesetzt werden können, kannst du dir im folgenden Beispiel anschauen.

Newton Verfahren – Beispielaufgaben

Nachdem du nun gelernt hast, wie das Newton Verfahren angewendet werden kann, kannst du in den folgenden beiden Beispielaufgaben üben, ob du die Anwendung des Verfahrens wirklich verstanden hast.