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Normale Definition
Eine Normale ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen oder ein geometrisches Objekt schneidet und im Schnittpunkt senkrecht zum Objekt steht.
Dadurch verläuft sie auch orthogonal zur Tangente in diesem Punkt.
Orthogonal ist gleichbedeutend mit senkrecht. Die Normale steht also im rechten Winkel zum Funktionsgraphen.
Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft die Tangente und Normale der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(S(5|1)\).
Abb. 2 - Normale Mathe.
Wie in diesem Beispiel gezeigt, steht die Normale immer orthogonal zur Tangente und damit auch orthogonal zum Funktionsgraphen im Schnittpunkt.
Normale Mathe – Formel & Bedeutung
Die allgemeine Gleichung einer Normalen kann auch als Formel der Normalen angesehen werden.
Die allgemeine Normalengleichung der Normale \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(a\) lautet:
\[n(x)=-\frac{1}{f'(a)}\cdot(x-a)+f(a)\]
Die Normalengleichung ergibt sich aus der Steigung der zugehörigen Funktion und dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle.
Das bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion bekannt sein muss, um die Normalengleichung aufzustellen.
Tangente und Normale
Die allgemeine Tangentengleichung der Tangente \(t(x)\) an die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(a\) lautet \[ t(x)=f'(a)\cdot(x-a)+f(a) \]
Der einzige Unterschied zwischen Tangenten- und Normalengleichung ist der Faktor, der die Steigung repräsentiert.
Bei der Tangentengleichung ist dies einfach die Steigung der originalen Funktion, also \(f'(a)\), während es bei der Normalengleichung der negative Kehrwert dieses Werts ist, also \(-\frac{1}{f'(a)}\). Dadurch ergibt sich der rechte Winkel zwischen Tangente und Normale.
Weitere Infos zu diesem Thema gibts in der Erklärung "Tangente".
Normale am Graphen einzeichnen
Die Normale kann zunächst am Graphen eingezeichnet werden. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten.
Normale einzeichnen mithilfe der Tangente
Um die Normale am Graphen anzutragen, gehst Du folgendermaßen vor:
- Zeichne die Tangente im gesuchten Punkt ein. Das genaue Vorgehen zur Konstruktion der Tangente findest Du in der Erklärung "Tangente".
- Trage dann die Normale an, indem Du mit einem Geodreieck durch den Berührungspunkt eine Gerade im 90°-Winkel zur Tangente zeichnest.
Es soll die Normale an die Normalparabel im Punkt \(S(1|1)\) eingezeichnet werden.
Schritt 1: Einzeichnen der Tangente
Mithilfe der Ableitung der Normalparabel an der Berührstelle \(x=1\) ergibt sich für die Tangente die Steigung \(m_t =2\).
So kannst Du jetzt die Tangente ziehen, indem Du eine Gerade der Steigung \(2\) an den Berührpunkt einzeichnest.
Abb. 3 - Normale konstruieren.
Schritt 2: Normale einzeichnen
Mithilfe eines Geodreiecks kannst Du jetzt die Normale im \(90^\circ\)-Winkel zur Tangente im Schnittpunkt einzeichnen.
Abb. 4 - Konstruktion Normale.
Damit hast Du die Normale konstruiert.
Normale einzeichnen mithilfe von Extrempunkten
Soll die Normale in einem Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion erstellt werden, kann das Vergehen abgekürzt werden.
Hier ist die Steigung und damit auch die Tangentensteigung immer \(m_t =0\). Damit ist die Tangente immer parallel zur x-Achse, das heißt Du musst also nur eine Gerade senkrecht zur x-Achse durch den Hoch- oder Tiefpunkt zeichnen.
Abb. 5 - Normale konstruieren Extrempunkt.
Normalform Mathe – Ableitung & Berechnung
Du kannst die Normalengleichung auch mithilfe einer gegebenen Funktion berechnen und aufstellen.
Normale durch Schnittpunkt
Ist der Schnittpunkt von Normale und Funktion gegeben, kannst Du die Funktionsgleichung durch Einsetzen vervollständigen.
Die allgemeine Normalengleichung der Funktion \(f(x)\) im Punkt \((a|f(a))\) lautet:
\[n(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \]
Mithilfe dieser Gleichung kannst Du die meisten Aufgaben durch Einsetzen der gegebenen Werte lösen.
Wenn Du nur die Funktion und den Schnittpunkt gegeben hast, muss die Steigung im Schnittpunkt zunächst berechnet werden.
Wie Du die Steigung eines bestimmten Punktes einer Funktion bestimmen kannst, erfährst Du in der Erklärung "Eigenschaften von Funktionsgraphen".
Das Beispiel zeigt Dir, wie das funktioniert.
Aufgabe 1
Stelle die Normalengleichung der Funktion \( f(x)=2x^{3}-4x \) im Punkt \(P(-1|2)\) auf.
Lösung
Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du zunächst die Steigung der Funktion an der Stelle \(x=-1\) berechnen.
Hierzu bildest Du zunächst die erste Ableitung und setzt dann \(x=-1\) ein.
\begin{align} f'(x)&=6x^{2}-4 \\\\ f'(-1)&=6\cdot (-1)^{2}-4 =2 \end{align}
Damit hast Du alle Werte, die Du für das Einsetzen in die allgemeine Normalengleichung und damit das Berechnen der Normale benötigst.
Setzt Du die Ableitung und den Punkt nun ein, ergibt sich die Normalengleichung.
\begin{align} &n_f(x)=-\frac{1}{2}\cdot (x+1)+2 \\ &n_f(x)=-\frac{1}{2}\cdot x+1,5\end{align}
Im Koordinatensystem sieht das Ganze so aus:
Abb. 6 - Normale berechnen.
Normale durch Ursprung
Oft sollst Du auch die Normalengleichung berechnen, ohne dass der Schnittpunkt bekannt ist – dafür ist meist ein Punkt der Normalen außerhalb der Funktion angegeben, wie zum Beispiel der Ursprung.
Hier ist das Ziel, den Punkt zu berechnen, in dem die Normale die Funktion im rechten Winkel schneidet. Davon ausgehend kannst Du dann die Funktionsgleichung bestimmen.
Aufgabe 2
Bestimme die Funktionsgleichung der Normalen \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\). Die Normale soll dabei durch den Ursprung \(U(0|0)\) verlaufen.
Lösung
Dazu kannst Du grob in den folgenden Schritten vorgehen:
- Löse die allgemeine Normalengleichung \(n_{f}(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \) nach der Stelle \(x=a\) für die Funktion \(f(x)\) auf.
- Bestimme den Schnittpunkt von Normale und Funktion.
- Setze die berechneten Werte in die allgemeine Normalengleichung ein.
Schritt 1: allgemeine Normalengleichung nach \(x=a\) auflösen
Um die Aufgabe zu lösen, ist es wichtig, dass nur die gesuchte Unbekannte – in diesem Fall \(a\) – übrig bleibt. Dazu müssen bei der Normalengleichung in der Regel \(f'(a)\) im Bruch und \(f(a)\) durch Terme ersetzt werden, die nur \(a\) enthalten.
Dazu setzt Du für \(f(a)\) den Funktionsterm von \(f(x)\) ein, mit \(x=a\):
\begin{align}f(x)&=\frac{1}{x} \\f(a)&=\frac{1}{a} \\n_{f}(x)&=-\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}
Für \(f'(a)\) bildest Du die Ableitung der Funktion \(f(x)\) und setzt diese auch mit \(x=a\) ein:
\begin{align}f'(x)&=-\frac{1}{x^2} \\f'(a)&=-\frac{1}{a^2} \\N_{f}(x)&=-\frac{1}{-\frac{1}{a^2}} \cdot (x-a)+\frac{1}{a} \\N_{f}(x)&=a^2 \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}
Damit bleiben neben \(a\) nur noch \(x\) und \(n_{f}(x)\) als Unbekannte. Da die Gleichung immer noch die Normalengleichung ist, gilt sie für alle Punkte, die auf der Normalen liegen.
Schritt 2: Schnittpunkt von Normale und Funktion bestimmen
Da Du bereits einen Punkt auf der Normalen kennst, kannst Du diesen einfach einsetzen und dann nach \(a\) auflösen.
Dafür setzt Du den x-Wert des Punktes für \(x\) ein, und den y-Wert für \(n_{f}(x)\). In diesem Fall ist beides null, da die Normale durch den Ursprung verläuft. So erhältst Du eine Gleichung, die nur noch \(a\) enthält, und die Du auflösen kannst:
\begin{align}0&=a^2 \cdot (0-a)+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^2 \cdot -a+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^3 +\frac{1}{a}\end{align}
Daraus ergeben sich zwei Lösungen:\begin{align}a_{1}&=1 \\a_{2}&=-1\end{align}
Das liegt daran, dass die gesuchte Normale in diesem speziellen Fall in zwei Punkten senkrecht zur Funktion steht.
Abb. 7 - Beispiel Normale.
Schritt 3: Werte in die Normalengleichung einsetzen
Setzt man in die Normalengleichung \( n_{f}(x) =a^2 \cdot (x-a)+ \frac{1}{a} \) die beiden Lösungen für \(a\) ein, ergibt sich folgendes Ergebnis:\begin{align}n_{f}(x)&=-1^2 \cdot (x-(-1))+\frac{1}{-1} =x+1-1=x \\n_{f}(x)&=1^2 \cdot (x-1)+\frac{1}{1} =x-1+1=x\end{align}Die Funktion der Normalengleichung ist also \(N_{f}(x)=x\) und schneidet die ursprüngliche Funktion \(f(x)\) in den Punkten \(S(1|1)\) und \(P(-1|-1)\).
Nicht nur bei einer Normale durch den Ursprung, sondern auch durch jeden anderen gegebenen Punkt kannst Du dementsprechend vorgehen.
Normale Übungsaufgaben
In diesem Abschnitt kannst Du Deine Erkenntnisse noch einmal mithilfe von Übungsaufgaben festigen.
Aufgabe 3
Konstruiere graphisch die Normale \(n\) der Funktion \(f(x)=x^3+1\) im Punkt \(S(1|2)\).
Lösung
Die Lösung ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.
Abb. 8 - Normale konstruieren Übung.
Aufgabe 4
Bestimme rechnerisch die Normalengleichung an die Funktion \(f(x)=x^3+1\) im Punkt \(S(1|2)\).
Lösung
Die Normalengleichung bestimmst Du durch Einsetzen in die allgemeine Normalengleichung. Diese lautet\[n(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \]
Bestimme zuerst die Ableitung von \(f(x)\) an der Stelle \(x=1\)
\[ f'(x)=3 \cdot x^2\]
und berechne
\[f'(1)=3\cdot1^2=3\]
Setze dann in die allgemeine Normalengleichung ein:
\begin{align}n(x)&= -\frac{1}{3} \cdot (x-1)+2=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+2\\&=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\end{align}
Die Lösung ist also\[ n(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\]
Normale Mathe – Das Wichtigste
- Eine Normale ist eine Gerade, die in einem Bezugspunkt senkrecht zu einer anderen Funktion steht
- Sie steht auch senkrecht zur Tangente. Man kann sie graphisch konstruieren, indem man die Senkrechte zur Tangente zeichnet.
- Man kann die Normalengleichung rechnerisch mithilfe der allgemeinen Normalengleichung\[n(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a)\] bestimmen. Dazu wird der Funktionsterm der Bezugsfunktion \(f(x)\) benötigt. Das \(a\) stellt hierbei die Stelle dar, an der die Normale die Funktion senkrecht schneiden soll.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Normale Mathe
Was ist eine Normale in Mathe?
Eine Normale in Mathe ist eine spezielle Art der linearen Funktion. Ihre Besonderheit besteht darin, dass sie senkrecht zur Tangente in einem Punkt steht.
Wie berechnet man die Normale?
Die Normale berechnet sich wie eine Tangente, nur dass der Faktor für die Steigung der negative Kehrwert der Steigung einer Tangente in dem Punkt ist.
Was sagt eine Normale aus?
Eine Normale sagt aus, wie eine senkrecht auf der Tangente stehende lineare Funktion aussieht.
Wie stellt man eine Normalengleichung auf?
Die Normalengleichung ist wie eine Tangentengleichung aufzustellen, mit dem Unterschied, dass die Steigung der negative Kehrwert der Tangente ist. Sie sieht folgendermaßen aus: n(x)=-1/f'(a)*(x-a)+f(a)
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