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Parameter – Definition & Bedeutung
Wenn dir Parameter begegnen, sind diese oft bezeichnet mit a1, a2, … oder a, b, c und so weiter. Du kannst sie dir vorstellen wie eine Art Stellschraube, welche die Funktion verschiebt oder in ihrer Form verändert, während sie den typischen Charakter der Funktionsart beibehält.
Parameter stehen mit Variablen in Verbindung. Durch sie wird die Funktion auf eine bestimmte Art und Weise transformiert. Parameter besitzen wie die Variablen keinen festen Wert, werden bei Umformungen allerdings so behandelt.
a und d sind Parameter in der Funktion
Parameter – Gleichungen
Es kommt vor, dass du eine Funktion mit Parametern gegeben hast. Möchtest du diese umformen, ableiten usw. ist es wichtig, dass du sie wie eine Zahl behandelst. Du kannst also so tun, als hättest du statt dem Parameter eine Zahl gegeben.
So ist z. B. die Ableitung von
und nicht
Parameter – Streckung und Stauchung
Wenn du deine Funktionstrecken oder stauchen möchtest, hast du zwei Möglichkeiten dies durch Parameter zu tun.
Streckung und Stauchung der Funktion: g(x) = a · f(x)
Die Streckung oder Stauchung einer Funktionerreichst du, indem du den Parameter a folgendermaßen auf die Funktion
anwendest:
Die transformierte Funktion benennen wir mit
Je nachdem, welchen Wert a hat, werden folgende Fälle unterschieden:
- Ist |a| < 1, handelt es sich um eine Stauchung der Funktion
- Mit |a| > 1 wird die Funktion
gestreckt.
- Im Fall a < 0 wird die Funktion
an der x-Achse gespiegelt.
|x| spricht man "Betrag von x". Der Betrag gibt an, wie weit das x von der Null entfernt ist, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich.
Sollte dir ein Fall vorliegen, in welchemist, wird die Funktion
zusätzlich zur Streckung oder Stauchung auch an der x-Achse gespiegelt.
Wir betrachten die Funktion . Möchten wir diese strecken, wählen wir den Parameter a mit |a|>1. Beispielsweise wählen wir
. Wir erhalten so die transformierte Funktion.
Skalierung von x: g(x) = f(b · x)
Die Skalierung von x ist eine zweite Möglichkeit eine Funktionzu strecken oder zu stauchen.
Die Skalierung von x deiner Funktionerreichst du, indem du den Parameter b so zu deiner Funktion
hinzufügst:
Die Fälle, welche unterschieden werden können, ähneln denen der Stauchung oder Streckung:
- Ist |b| < 1 handelt es sich um eine Stauchung der Funktion
- Mit |b| > 1 wird die Funktion
gestreckt.
- Im Fall b < 0 wird die Funktion
an der x-Achse gespiegelt.
Die Funktion f, für welche wir x skalieren wollen, ist. Wir fügen den Parameter b so hinzu, dass die Funktion gestaucht wird. Wir wählen also
und erhalten die transformierte Funktion.
Parameter – Verschiebung
Auch bei der Verschiebung deiner Funktionkönnen zwei Fälle unterschieden werden. Du kannst diese hoch und runter, also in y-Richtung, aber auch nach links und rechts, in x-Richtung, verschieben.
Verschiebung in x-Richtung: g(x) = f(x + c)
Du kannst deine Funktionnicht nur strecken und stauchen, sondern auch verschieben!
Möchtest du deine Funktion auf der x-Achse verschieben, kannst du den Parameter c so in die Funktion
einfügen:
Es gilt:
- c < 0: Verschiebung auf der x-Achse nach rechts
- c > 0: Verschiebung auf der x-Achse nach links
Möchtest du die Funktionum 3 Einheiten auf der x-Achse nach links verschieben, wählst du
. Du erhältst die transformierte Funktion.
Verschiebung in y-Richtung: g(x) = f(x) + d
Auch die Bewegung entlang der y-Achse ist möglich.
Um die Funktionauf der y-Achse zu verschieben, hast du die Möglichkeit den Parameter |d| so zur Funktion
zu addieren:
Du unterscheidest zwei Fälle:
- d < 0: Verschiebung auf der y-Achse nach unten
- d > 0: Verschiebung auf der y-Achse nach oben
Um eine Verschiebung der Funktionum 3 Einheiten nach oben auf der y-Achse zu erreichen, wählst du
. Du erhältst die transformierte Funktion.
Parameter verschiedener Funktionen
Bevor du dich damit beschäftigst, wie sich die verschiedenen Parameter auf die verschiedenen Funktionen auswirken, solltest du dir immer im Klaren sein, wie die Funktion ohne Einwirkung eines Parameters ausschaut.
Parameter – Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion ist dir sicher schon oft begegnet. Jetzt kannst du verstehen, wie diese sich überhaupt zusammensetzt.
Die quadratische Funktion hat im Allgemeinen die Form
mit und
Du kannst die Parameter an ihrer klassischen Bezeichnung mit a, b und c erkennen.
Im Fall der quadratischen Funktion wirken sich diese folgendermaßen aus:
- Parameter a: Der Parameter a bewirkt bei der quadratischen Funktion eine Streckung oder Stauchung. Außerdem entscheidet der Parameter a darüber, ob die Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.
- Parameter b: Beim Parameter b gibt es gleich mehrere Möglichkeiten. Es kann eine Verschiebung nach x und gleichzeitig nach y bewirkt werden.
- Parameter c: Der Parameter c entspricht offensichtlich dem hoch oder runter Verschieben der Funktion entlang der y-Achse.
Wir bilden beispielhaft einige quadratische Funktionen ab, damit du verstehst, wie diese transformiert werden.
,
und
Abbildung 5: Quadratische Funktionen
Du erkennst, dass die Funktiondurch den Faktor
gestaucht wurde und die Funktion
durch den Faktor
gestreckt wurde, wenn man diese beiden Funktionen mit der Funktion
vergleicht, welche den Faktor
besitzt und somit weder gestreckt noch gestaucht wurde.
Durch den Parameterwurde die Funktion
um 2 nach links und 4 nach unten verschoben. Der Parameter
hat die Funktion um eine weitere Einheit auf der y-Achse nach unten verschoben.
Wenn du mehr darüber wissen möchtest, wie du eine Parabel verschieben kannst, lies dir gerne unseren Artikel Quadratische Funktion verändern durch.
Parameter – Exponentialfunktion
Auch bei der Exponentialfunktion finden Parameter ihre Anwendung.
Exponentialfunktionen haben die Form:
mit und
.
Bei Exponentialfunktionen findet oft die Streckung oder Stauchung Anwendung. Dafür wird ein Parameter b so hinzugefügt:
a heißt auch Wachstums- oder Zerfallsfaktor.
Wie du oben gelernt hast, hängt es vom Wert von b ab, wie die Funktion sich verändert.
Was dir bei der Exponentialfunktion auch häufig begegnet, ist die Skalierung von x.
Natürlich können auch die anderen beiden Transformationen vorkommen oder in Kombination auftreten.
Du betrachtest die Exponentialfunktion und wählstund erhältst somit die Funktion
Anschauen möchtest du dir die Streckung der Funktionin y-Richtung. Du hast zwei Möglichkeiten diese Streckung umzusetzen.
- Du wählst einen Faktor a mit
. Da du die Funktion
strecken willst, wählst du ein
- Du skalierst die Funktion
mit einem Faktor c so, dass
. Auch hier musst du ein
wählen, damit die Funktion gestreckt wird.
Im ersten Fall wählst du zur Veranschaulichung, im zweiten Fall
und wir erhalten somit die beiden transformierten Funktionen:
und
Du erkennst also leicht, dass die Funktiondurch die Skalierung von x mit dem Faktor 2 mehr gestreckt wird als durch die Streckung mit dem Faktor 5.
Parameter – Sinusfunktion
Genau, wie bei den obigen Funktionen besteht auch bei der Sinusfunktion die Möglichkeit diese auf verschiedene Art und Weise zu transformieren.
Möchtest du die Sinusfunktion mit Parametern verändern, kannst du auf die allgemeine Form zurückgreifen:
Die Parameter haben hier die Wirkung, wie wir sie oben beschrieben haben.
- Parameter a: Streckung oder Stauchung
- Parameter b: Skalierung von x
- Parameter c: Verschiebung in x-Richtung
- Parameter d: Verschiebung in y-Richtung
Du betrachtest die verschieden transformierten Sinusfunktionenund
, neben der normalen Sinusfunktion
.
Die Funktion g(x) ist gestaucht mit dem Faktor.
Die Funktion h(x) ist um 1 nach rechts auf der x-Achse und um 3 nach oben auf der y-Achse verschoben.
Über die Parameter in der Sinusfunktion gibt es übrigens auch einen eigenen Artikel. Diesen findest du im Kapitel zu den trigonometrischen Funktionen.
Parameter – Übungsaufgaben
Damit du überprüfen kannst, ob du die Theorie auch anwenden kannst, hier zwei Übungsaufgaben für dich:
Aufgabe 1
Dir ist diese Funktion gegeben:
Füge einen Parameter so hinzu, dass die Funktionauf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird.
Lösung
Um die Funktionum 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts zu verschieben, wählst du einen Parameter
und fügst ihn wie folgt in die Funktion
ein:
Aufgabe 2
Welche Parameter sind in der Funktionzu finden und welche Wirkung haben sie auf die Funktion?
Lösung
In der Funktionsind folgende Parameter auszumachen:
- Parameter
wirkt eine Streckung der Funktion
in y-Richtung.
- Parameter
verschiebt die Funktion auf der x-Achse um eine Einheit nach links.
- Parameter
verschiebt die Funktion auf der y-Achse um 12 Einheiten nach unten.
Parameter - Das Wichtigste
- Parameter stehen mit Variablen in Verbindung
- Sie transformieren die Funktion auf bestimmte Art und Weise
- Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, Funktionen durch Parameter zu transformieren
- Du kannst eine Funktion
durch den Parameter a strecken oder stauchen:
- Mit dem Parameter b kannst du das x der Funktion
skalieren:
- Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Funktion
in x-Richtung:
- In y-Richtung kann die Funktion
durch den Parameter d verschoben werden:
- Parameter können auf alle beliebigen Funktionen
angewendet werden wie z. B. die quadratische Funktion oder Exponentialfunktion
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Parameter
Was ist ein Parameter?
Ein Parameter steht mit der Variable einer Funktion in Verbindung. Sie können in ihrem Wert variieren und die Funktion entsprechend transformieren.
Was ist der Unterschied zwischen Variable und Parameter?
Variable und Parameter unterscheiden sich in ihrer Funktion. Während die Variable für die charakteristische Form der Funktion sorgt, haben Parameter die Funktion diese charakteristische Funktion zu transformieren.
Welche Auswirkung haben Parameter auf Funktionen?
Parameter können eine Funktion auf verschiedene Art und Weise transformieren. Es besteht die Möglichkeit die Funktion durch Parameter zu strecken oder zu stauchen, sowie diese entweder in x- oder y-Richtung zu verschieben.
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