Partielle Integration

Partielle Integration Definition

Partielle Integration einfach erklärt

Anwendung der partiellen Integration

In der Integralrechnung kommt die Partielle Integration dann zum Einsatz, wenn das zu berechnende Integral ein Produkt von zwei Funktionen darstellt. Das können Funktionen sein, die selbst nicht integrierbar sind, oder auch Produkte, die in eine einfachere Form zur Integration gebracht werden sollen. Besonders bei Produkten von algebraischen und transzendenten Funktionen wird die Methode der Partiellen Integration häufig angewendet.

Partielle Integration Formel

Partielle Integration Regel

Um die Methode der Partiellen Integration anzuwenden, gehst du in drei Schritten vor:

• Wähle $u(x)$ und $v^{\prime }(x)$ aus dem gegebenen Produkt. Hierbei gilt zu beachten: Wähle für $u(x)$ eine Funktion, deren Ableitung "simpler" als die Funktion selbst ist (zum Beispiel Polynome). Wähle für $v^{\prime }(x)$ eher Funktionen, deren Stammfunktion einfach zu bilden ist (wie zum Beispiel $e^x$).
• Bilde die Ableitung von $u(x)$ und die Stammfunktion von $v^{\prime }(x)$. Diese sind nun als $u^{\prime }(x)$ und $v(x)$ definiert.
• Setze diese Werte in die Partielle Integrationsformel ein und integriere das daraus resultierende einfache Integral.

Doppelte Partielle Integration

Die doppelte Partielle Integration kommt ins Spiel, wenn das Integral, das durch die Anwendung der Partiellen Integration entsteht, erneut als Produkt von zwei Funktionen dasteht. In diesem Fall kommt die Methode der Partiellen Integration erneut zum Einsatz.

Praktische Aufgaben zur partiellen Integration

In der Mathematik ist Übung der Schlüssel zum Erfolg. Das gilt besonders für komplexe Themen wie die Partielle Integration. Das Lösen von verschiedenen Aufgaben zur Partiellen Integration fördert dein Verständnis für die Methode und hilft dir dabei, ein Gespür dafür zu entwickeln, wie du die Formel der Partiellen Integration effizient anwendest.

Partielle Integration Beispiele

Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an, bei denen die Partielle Integration zum Einsatz kommt. Dabei beginnen wir mit einfachen Beispielen und steigern uns zu den komplexeren Aufgaben.

Partielle Integration Aufgaben

Nun ist es an der Zeit, dass du selbst eine Aufgabe zur Partiellen Integration bearbeitest. Überprüfe dein Verständnis für die Partielle Integration, indem du folgendes Integral löst: $\int x^2{e}^{x}dx$.

Hier sind die Schritte, die du durchlaufen solltest:

• Wähle die geeigneten Funktionen: $u(x)$ und $v^{\prime }(x)$
• Bilde die Ableitung von $u(x)$ und das Integral von $v^{\prime }(x)$
• Setze diese in die Gleichung der Partiellen Integration ein
• Berechne das resultierende Integral und gib das Ergebnis an.

Partielle Integration E-Funktion

Die E-Funktion, auch bekannt als Exponentialfunktion, spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik und kommt häufig bei den Aufgaben zur Partiellen Integration vor. Die Einfachheit ihrer Stammfunktion und Ableitung macht sie zu einer idealen Wahl für die Funktion $v^{\prime }(x)$ in der Partiellen Integration.

Fortgeschrittene Themen zur partiellen Integration

Wir haben bereits die Grundlagen der Partiellen Integration und einige Anwendungen kennengelernt. Nun du bist bereit, dich mit fortgeschritteneren Themen zu befassen. Dazu gehören die Herleitung der Methode und die Anwendung der Partiellen Integration auf bestimmte Integrale. Die Behandlung dieser Themen wird dein Verständnis der Partiellen Integration vertiefen und dir helfen, selbst komplexe Integrale routiniert zu lösen.

Partielle Integration Herleitung

Partielle Integration bestimmtes Integral

Kommen wir nun zum bestimmten Integral. Ein bestimmtes Integral ist ein Integral, bei dem die Grenzen der Integration angegeben sind. Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals unter Verwendung der Partiellen Integration musst du eines beachten: Der neue Teil der Gleichung $uv$ muss ebenfalls an den Grenzen ausgewertet werden.