Periodizität

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=2\cdot\sin(2x+\pi)$$

Sie gehört zu den periodischen Funktionen des Typs \(f(x)=a\cdot \sin ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\), wobei gilt:\begin{align}a&=2\\\color{gr}{b}&=\color{gr}{2}\\c&=\pi\\d&=0\end{align}

Wenn Du Dir die Definition noch einmal anschaust, erkennst Du, dass gilt: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}$$Demzufolge kannst Du die Periode \(\color{r}p\) wie folgt bestimmen: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}{2}}=\color{r}\pi$$

Den Funktionsgraphen kannst Du in Abbildung 4 sehen.

Abb. 4 - Periodische Funktion Sinus - Variation

Die Abschnitte, in denen sich die Funktionswerte wiederholen, sind diesmal in unterschiedlichen Farben gekennzeichnet. Diese Abschnitte entsprechen einer Periode \({\color{r}p}=\color{r}\pi\) und sehen genau gleich aus. Gehst Du auf der \(x\)-Achse weiter nach links oder rechts, so gibt es unendlich viele solcher Abschnitte.

Gegeben ist die Funktion $$f(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos(3x)$$

Sie gehört zu den periodischen Funktionen des Typs \(f(x)=a\cdot \cos ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\), wobei gilt:

\begin{align}a&=\frac{1}{2}\\{\color{gr}b}&=\color{gr}3\\c&=0\\d&=0\end{align}

Wenn Du Dir die Definition noch einmal anschaust, erkennst Du, dass gilt: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}b}$$

Demzufolge kannst Du die Periode \(\color{r}p\) wie folgt bestimmen: $${\color{r}p}=\frac{2\pi}{\color{gr}{3}}=\color{r}\frac{2}{3}\pi$$

Den Funktionsgraphen kannst Du in Abbildung 6 sehen.

Abb. 6 - Periodische Funktion Kosinus -Variation

Die periodische Funktion \({\color{bl}h(x)}=\color{bl}\sin(3x)+\cos(x)\) entsteht durch die Addition der Funktionen \({\color{li}f(x)}=\color{li}\sin(3x)\) und \({\color{ge}g(x)}=\color{ge}\cos(x)\).

Die Funktion \({\color{li}f(x)}=\color{li}\sin(3x)\) hat die Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\). Die Funktion \({\color{ge}g(x)}=\color{ge}\cos(x)\) hat die Periode \({\color{r}p}=\color{r}2\pi\).

Eine Funktion, die aus der Addition von Sinus- und Kosinusfunktionen entsteht, ist nur periodisch, wenn die Sinus- und Kosinusfunktionen eine gleiche Periode \(\color{r}p\) (auch Vielfache dieser) haben. Multiplizierst Du die Periode von \(\color{li}f(x)\) mit dem Faktor \({\color{gr}a}=\color{gr}3\) so erhältst Du die Periode der Funktion \(\color{ge}g(x)\): $${\color{r}\frac{2}{3}\pi} \cdot {\color{gr}3}=\color{r}2\pi$$Somit ist auch die Funktion \(\color{bl}h(x)\) periodisch, die die Summe der beiden Funktionen \(\color{ge}g(x)\) und \(\color{li}f(x)\) darstellt.

Die neue Periode dieser periodischen Funktion ist \({\color{r}p}=\color{r}2\pi\).

Den Funktionsgraphen der periodischen Funktion \(\color{bl}h(x)\) kannst Du in Abbildung 7 sehen, wobei die periodischen Abschnitte wieder farbig dargestellt sind.

Abb. 7 - periodische Funktion aus der Summe von Sinus und Cosinus

Gegeben ist die folgende Funktion: $${\color{gr}h(x)}=\color{gr}\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)+1 $$

mit der Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\).

Du sollst die Funktion \(\color{gr}h(x)\) im Intervall von mindestens \([-\pi, 2\pi]\) zeichnen.

Damit Du die Funktion zeichnen kannst, kannst Du zunächst schauen, wie groß genau Deine Periode ist. In diesen Bereich kannst Du Dir einige Werte ausrechnen und diese Punkte einzeichnen. In diesem Beispiel ist die Periode \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\). Deshalb liegt es nahe, den Bereich von \(0\) bis \(\frac{2}{3}\pi=\frac{4}{6}\pi\) zu markieren und in diesem Bereich einige Funktionswerte auszurechnen.

Du kannst beispielsweise folgende Werte berechnen und diese einzeichnen:

\begin{align} h(0)&=\sin\left(3\cdot 0+\frac{\pi}{2}\right)+1=2 \\ h\left(\frac{1}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{1}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1 \\ h\left(\frac{2}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{2}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=0\\ h\left(\frac{3}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{3}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=1\\ h\left(\frac{4}{6}\pi\right)&=\sin\left(3\cdot \frac{4}{6}\pi +\frac{\pi}{2}\right)=2=h(0) \end{align}

Abb. 8 - Periodische Funktion zeichnen -Schritt 1

Als Nächstes kannst Du durch Verbinden der Punkte den Verlauf Deiner Funktion für die Periode \(p\) einzeichnen.

Abb. 9 - Periodische Funktion zeichnen - Schritt 2

Zum Schluss kannst Du für jeden weiteren Abschnitt der Länge \(\frac{2}{3}\pi\) denselben Verlauf einzeichnen.

Abb. 10 - Periodische Funktion zeichnen - Schritt 3

So konntest Du Deine periodische Funktion zeichnen.

Gegeben ist der folgende Funktionsgraph in Abbildung 11.

Abb. 11 - Periodische Funktion bestimmen und aufstellen

Schritt 1

Im ersten Schritt schaust Du Dir den Funktionsgraphen an und versuchst abzulesen, welche Periode \(\color{r}p\) Deine Funktion hat.

Abb. 12 - Periodische Funktion bestimmen - Periode

In diesem Beispiel scheint sich Deine Funktion jeweils nach einem Abschnitt von \(\frac{2}{3}\pi\) zu wiederholen. Das heißt, Deine Periode wäre \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\).

Schritt 2

Als Nächstes ermittelst Du die Eigenschaften Deiner Funktion und versuchst daraus Deine periodische Funktion aufzustellen. In diesem Fall kannst Du sehen, dass es sich um eine trigonometrische Funktion handelt. Der Funktionsgraph hat bei 0 einen Hochpunkt, weshalb es sich um eine Funktion handeln könnte, die auf einer Kosinus-Funktion der Form \(f(x)=a\cdot \cos ({\color{gr}b}\cdot x+c)+d\) basiert.

Die Standard-Kosinus Funktion hat eine Periode \(p=2\pi\), wohingegen die gegebene Funktion eine Periode von \({\color{r}p}=\color{r}\frac{2}{3}\pi\) hat. Somit ist die gegebene Funktion gegenüber der Standard-Kosinus Funktion in \(x\)-Richtung gestaucht. Der Faktor \(\color{gr}b\) müsste also \(\color{gr}3\) sein.

Ebenso ist die gegebene Funktion gegenüber der Standard Kosinusfunktion um den Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt und um \(2\) in die negative \(y\)-Richtung verschoben. Somit wäre Dein Faktor \(a=3\) und \(d=-2\).

Deine Funktion würde also wie folgt aussehen: $${\color{bl}f(x)}=\color{bl}3\cdot \cos (3\cdot x)-2$$

Schritt 3

Nun überprüfst Du Deine aufgestellte Funktion auf Periodizität. Dafür muss in diesem Fall gelten:\begin{align} f\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)&=f(x) \\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(x+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot x)-2 \end{align}

Dies kannst Du für ein paar Werte überprüfen, die in diesem Fall im Funktionsgraph sichtbar sind, z. B. \(x=-\pi, \pi, 2\pi\):

\begin{align} f\left(-\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(-\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(-\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos \left(3\cdot \left(-\pi\right)\right)-2\\ 3\cdot \cos (-\pi))-2&=3\cdot \cos (-3\pi)-2\\ -5&=-5 \\ \\ f\left(\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot (\pi))-2\\ 3\cdot \cos (5\pi)-2&=3\cdot \cos (3\pi)-2\\ -5&=-5\\ \\ f\left(2\pi+ \frac{2}{3}\pi\right)&=f(2\pi)\\ 3\cdot \cos \left(3\cdot \left(2\pi+\frac{2}{3}\pi\right)\right)-2&=3\cdot \cos (3\cdot (2\pi))-2\\ 3\cdot \cos (8\pi)-2&=3\cdot \cos (6\pi)-2\\ 1&=1\end{align}

Für diese Werte ist also die Bedingung für die Periodizität erfüllt. Somit hast Du eine periodische Funktion aus dem Funktionsgraphen bestimmt und aufgestellt.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion: $$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$$

Überprüfe, ob es sich bei dieser Funktion um eine periodische Funktion handelt.

Lösung

In dieser Erklärung hast Du gelernt: Addierst Du Sinus- und Kosinusfunktionen zu einer neuen Funktion, so ist diese neue Funktion wieder periodisch. Die Voraussetzung dafür ist, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen eine gleiche Periode \(p\) haben.

Die gegebene Funktion \(f(x)\) besteht aus der Summe der Standard-Sinusfunktion und der Standard-Kosinusfunktion, die beide selbst periodisch sind und die Periode \(2\pi\) haben. Somit weißt Du, dass Deine gegebene Funktion \(f(x)\) auch periodisch ist, mit der Periode \(p=2\pi\)

Aufgabe 2

Zeichne die Funktion aus Aufgabe 1: $$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$$

Lösung

Aus Aufgabe 1 weißt Du bereits, dass die gegebene Funktion periodisch sein muss. Somit musst Du nur ein paar Werte innerhalb der Periode \(p=2\pi\) berechnen, um die ganze Funktion zeichnen zu können.

Du kannst beispielsweise folgende Werte berechnen und diese einzeichnen:

\begin{align} f(0)&=\sin(0)+\cos(0)= 1 \\ f\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)= \sqrt{2} \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)= 1 \\ f\left(\frac{3}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)= 0 \\ f\left(\pi\right)&=\sin(\pi)+\cos(\pi)=-1 \\ f\left(\frac{5}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sqrt{2} \\ f\left(\frac{3}{2}\pi\right)&=\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)+\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1 \\ f\left(\frac{7}{4}\pi\right)&=\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right)+\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right)=0 \\ f\left(2\pi\right)&=\sin(2\pi)+\cos(2\pi)=1 \end{align}

Abb. 13 - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Als Nächstes kannst Du durch Verbinden der Punkte den Verlauf Deiner Funktion für die Periode \(p\) einzeichnen.

Abb. 14. - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Zum Schluss kannst Du für jeden weiteren Abschnitt der Länge \(2\pi\) denselben Verlauf einzeichnen.

Abb. 15 - Periodische Funktion Aufgaben - Periodische Funktion zeichnen

Nun hast Du Deine periodische Funktion gezeichnet.