Punktprobe

Aufgabe 2

Überprüfe, ob der Punkt$P\left(2\right|4)$auf der linearen Funktion mit der Gleichungliegt.

Lösung

Du vereinfachst deine Gleichung also sofort, indem du statt$f\left(x\right)$ein y schreibst. In dieser Form wirst du sie nämlich in der Rechnung benötigen.

Außerdem machst du dir nochmal bewusst, welche Koordinate des Punktes für den x-Wert und den y-Wert stehen.

Nach diesen Vorüberlegungen startest du mit der Punktprobe:

Schritt 1:

Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Für y setzt du die 4 ein, den y-Wert des Punktes P. Das x aus der Gleichung wird durch 2 ersetzt.

Schritt 2:

Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.

Auf der linken Seite gibt es nichts mehr zu rechnen, hier steht eine 4. Rechts musst du den Term noch berechnen, doch auch hier ergibt sich eine 4.

Schritt 3:

Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch,

(), liegt der Punkt neben der Funktion.

Die Gleichung ergibt, das heißt, sie ist korrekt und geht auf. Der Punkt liegt damit also auf der Funktion.

Das gibst du jetzt noch als Antwort in folgender Form wieder:

"P ist Element von f(x)"

Damit hast du deine Punktprobe erfolgreich erledigt.

Abbildung 2: Punktprobe Beispiel 1

Aufgabe 3

Berechne, ob der Punkt$P\left(3\right|1)$auf dem Graphen der Funktionliegt.

Lösung

Vorüberlegungen

Um dir die Punktprobe zu vereinfachen, schreibst du die Funktion schon einmal in der richtigen Form auf und überlegst dir, wie der Punkt dargestellt ist.

1. Schritt:

Setze den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Setze die gegebenen Werte statt x und y in die Gleichung ein.

2. Schritt:

Berechne beide Seiten der Funktionsgleichung mit den eingesetzten Werten.

Auf der linken Seite ist wieder nichts zu tun. Die rechte Seite berechnest du nach den bekannten Rechenregeln.

3. Schritt:

Geht die Gleichung auf (zum Beispiel 5 = 5), liegt der Punkt auf der Funktion. Ist die Gleichung am Ende falsch, (⁣), liegt der Punkt neben der Funktion.

Das Ergebnis deiner Rechnungenist falsch. Die Gleichung geht also nicht auf und der Punkt P liegt nicht auf der Funktion, sondern daneben.

Das schreibst du so:

Auch diese Punktprobe wurde erfolgreich durchgeführt.

Abbildung 3: Punktprobe Beispiel 2

Aufgabe 6

Du hast die Geradengleichung in Parameterform vor dir:

$f:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$

Liegt der Punkt$P\left(1\right|2)$auf der Geraden?

Lösung

1. Schritt:

Setze den Punkt P als Vektor in die Geradengleichung ein (anstatt $\overrightarrow{x}$).

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$

2. Schritt:

Stelle das Gleichungssystem auf, indem du für jede Zeile der Rechnung eine eigene Gleichung bildest.

$$\begin{gathered} ObereZeile:1=3+\lambda ·3 \\ UntereZeile:2=4+\lambda ·(-2) \end{gathered}$$

3. Schritt:

Berechne für jede der Gleichungen den Wert von $\lambda$.

$\begin{array}{cccccccc}1& =& 3+\lambda ·3& & & & |& -3\\ -2& =& \lambda ·3& & & & |& :3\\ \mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}& \mathbf{=}& \mathbf{\lambda }& & & & & \\ & & & & & & & \\ 2& =& 4+\lambda ·(-2)& & & & |& -4\\ -2& =& \lambda ·(-2)& & & & |& :(-2)\\ \mathbf{1}& \mathbf{=}& \mathbf{\lambda }& & & & & \end{array}$

4. Schritt:

$\lambda$nimmt in den beiden Gleichungen einen unterschiedlichen Wert an. Damit liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.

Aufgabe 7

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden in der Ebene:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Liegt der Punkt$Q\left(2\right|-1)$darauf?

Lösung

1. Schritt: Punkt Q (als Vektor) statt $\overrightarrow{x}$ in die Geradengleichung einsetzen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

$$\begin{gathered} ObereZeile:2=5+\lambda ·1 \\ UntereZeile:-1=2+\lambda ·1 \end{gathered}$$

3. Schritt: Gleichungen lösen (für $\lambda$).

$\begin{array}{ccccc}2& =& 5+\lambda ·1& & |-5\\ -3& =& \lambda ·1& & \\ \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{3}& & \\ & & & & \\ -1& =& 2+\lambda ·1& & |-2\\ -3& =& \lambda ·1& & \\ \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{3}& & \end{array}$

4. Schritt: Lösung angeben.

Da die Werte für $\lambda$ beide gleich sind, liegt der Punkt Q auf der Gerade.

Aufgabe 8

Diese Gerade liegt im Raum:

Liegt der Punkt$R(-1|-1|-1)$auf der Geraden h?

Lösung

1. Schritt: Punkt R (als Vektor) statt $\overrightarrow{x}$ in die Geradengleichung von h einsetzen.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

$$\begin{gathered} 1.Zeile:-1=1+\lambda ·2 \\ 2.Zeile:-1=3+\lambda ·4 \\ 3.Zeile:-1=2+\lambda ·3 \end{gathered}$$

3. Schritt: Gleichungen lösen (für $\lambda$).

$\begin{array}{cccccc}1.Zeile:& -1& =& 1+\lambda ·2& & |-1\\ & -2& =& 2·\lambda & & |:2\\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{1}& & \\ & & & & & \\ 2.Zeile:& -1& =& 3+\lambda ·4& & |-3\\ & -4& =& 4·\lambda & & |:4\\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{1}& & \\ & & & & & \\ 3.Zeile:& -1& =& 2+\lambda ·3& & |-2\\ & -3& =& 3·\lambda & & |:3\\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\mathbf{1}& & \end{array}$

4. Schritt: Lösung angeben.

$\lambda$ hat für alle Gleichungen dieselbe Lösung, deswegen liegt der Punkt R auf der Geraden.

Aufgabe 9

Gegeben ist die Parameterform der Geraden:

$i:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Ist der Punkt$S(-4|7\left|3\right)$ein Teil der Gerade?

Lösung

1. Schritt: Punkt S (als Vektor) statt $\overrightarrow{x}$ in die Geradengleichung einsetzen.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 1\end{array}\right)+\lambda ·\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen.

$$\begin{gathered} 1.Zeile:-4=2+\lambda ·(-3) \\ 2.Zeile:7=5+\lambda ·1 \\ 3.Zeile:3=1+\lambda ·(-4) \end{gathered}$$

3. Schritt: Gleichungen lösen (für $\lambda$).

$\begin{array}{cccccc}1.Zeile:& -4& =& 2+(-3)·\lambda & & |-2\\ & -6& =& (-3)·\lambda & & |:(-3)\\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{2}& & \\ & & & & & \\ 2.Zeile:& 7& =& 5+\lambda ·1& & |-5\\ & 2& =& 1·\lambda & & \\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{2}& & \\ & & & & & \\ 3.Zeile:& 3& =& 1+\lambda ·(-4)& & |-1\\ & 2& =& (-4)·\lambda & & |:(-4)\\ & \mathbf{\lambda }& \mathbf{=}& \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}& & \end{array}$

4. Schritt: Lösung angeben.

Nicht alle $\lambda$-Werte sind gleich. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.

Aufgabe 10

Du benötigst die Ebenengleichung in der Koordinatenform ($E:n_1·x+n_2·y+n_3·z=d$), mit dieser Form geht die Rechnung am einfachsten.

Zur Wiederholung der Koordinatenform und wie du diese durch Umwandlung bekommen kannst, liest du dir am besten noch einmal den dazugehörigen Artikel durch.

Gegeben ist die Koordinatenform der Ebene E:

$E:3x-y+4z=12$

Liegt der Punkt$P\left(5\right|1|-0,5)$auf der Ebene?

Lösung

1. Schritt: Setze statt x, y und z die jeweiligen Werte des Punktes P in die Ebenengleichung ein.

$E:3·\mathbf{5}-\mathbf{1}+4·(\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5})=12$

2. Schritt: Vereinfache die Gleichung.

$\begin{array}{ccc}3·5-1+4·(-0,5)& =& 12\\ 15-1-2& =& 12\\ \mathbf{12}& \mathbf{=}& \mathbf{12}\end{array}$

3. Schritt: Lösung angeben.

Die Gleichung geht auf, sie ist richtig. Das bedeutet der Punkt P liegt auf der Ebene E.