Quadratische Funktionen

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion ist ein Sonderfall einer Potenzfunktion. Quadratische Funktionen haben immer ein Polynom zweiten Grades, enthalten also immer ein $x^2$ in der Funktion. Sie haben jedoch keine höheren Potenzen, wie sie zum Beispiel $x^3,x^4,x^5,...$, enthalten.

Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl. Dabei ist es wichtig, dass diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b und c alle reellen Zahlen annehmen – auch die 0.

$a{x}^2$ wird als quadratisches Glied bezeichnet, $bx$ als lineares Glied und $c$ als absolutes Glied.

Darstellungsformen der quadratischen Funktion

Es gibt verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Gleichung. Eine hast Du eben schon kennengelernt: die allgemeine Form. Es gibt aber auch noch die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.

Gerade ging es jetzt schon um die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Aber was ist das eigentlich?

Die verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion können durch verschiedenen mathematische Verfahren ineinander umgerechnet werden.

Die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form lassen sich jeweils in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln. Um die Scheitelpunktform in die faktorisierte Form und umgekehrt umzuwandeln, kannst Du den Zwischenschritt über die allgemeine Form einbauen oder über die Achsensymmetrie der Nullstellen den Scheitelpunkt bestimmen und so die Scheitelpunktform erhalten.

Abbildung 1: Umrechnungen Allgemeine Form und Scheitelform

Abbildung 2: Umrechnungen Allgemeine Form und Faktorisierte Form

Funktionen verändern – Beispiel

Im folgenden Beispiel lernst Du, wie Du die faktorisierte Form in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln kannst.

Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, gibt es vier verschiedenen Möglichkeiten. Eine davon hast Du eben verwendet. Insgesamt kann eine quadratische Funktion entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzen.

Der Graph einer quadratischen Funktion

Bis jetzt hast Du viel über die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gelernt, aber wie sieht es mit dem Graphen einer quadratischen Funktion aus?

Eine Parabel kann zum Beispiel so aussehen:

Abbildung 3: Parabel

Parabeln dienen jedoch nicht nur zur Visualisierung von quadratischen Funktionen. Du kannst verschiedene charakteristische Parameter, wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden auch berechnen. Außerdem kannst Du beispielsweise auch eine Tangente an einer Parabel konstruieren. Darüber hinaus gibt es noch weiere verschiedene Möglichkeiten, mit Parabeln zu rechnen.

Die Normalparabel

Um zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sogenannten Normalparabel zu kennen. Von ihr ausgehend, kannst Du andere Parabeln dann beschreiben.

Eine Normalparabel sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 4: Normalparabel

Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften:

• Sie ist nach oben geöffnet
• Der Scheitelpunkt liegt bei $S\left(0\right|0)$
• Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
• Sie geht durch die Punkte $P_0\left(1\right|1),P_1(-1\left|1\right),P_2\left(2\right|4)und{P}_3(-2\left|4\right)$.

Veränderung der Parabel

Die Parameter a, b und c haben einen Einfluss auf die Form und Lage einer Normalparabel. Die Veränderungen der Parabel werden immer anhand der Normalparabel verglichen und ausgedrückt.

• Skalierung (Strecken, Stauchen)
• Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
• Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse

Richtung der Öffnung, Strecken und Stauchen von Parabeln

Der Parameter a einer quadratischen Funktion gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Des Weiteren ist er für die Streckung oder Stauchung zuständig.

Spiegelung von Parabeln

Die Normalparabel, mit der Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2$, ist hier die Ausgangsgleichung.

Verschiebung von Parabeln

Um eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g\left(x\right)=(x-d){}^2$

Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g\left(x\right)=x^2+e$

Zeichnen einer Parabel

Um eine Parabel zu zeichnen, reicht es nicht, wie bei linearen Funktionen, die Werte aus der Funktionsgleichung abzulesen. Die Funktionen können Dir bei ein paar Punkten helfen, Du kannst jedoch keine gesamte Parabel damit zeichnen.

Im Folgenden wird das Vorgehen beim Zeichnen einer Parabel anhand eines Beispiels erklärt.