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Leg kostenfrei losWelche Form ist nützlich, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion direkt zu erkennen?
Was beschreibt der Parameter 'a' in der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion?
Was ist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?
Wie nennt man den Graphen einer quadratischen Funktion?
Wie verändert sich eine Parabel, wenn der Parameter 'a' negativ ist?
Welche Form einer quadratischen Funktion lässt den Scheitelpunkt direkt ablesen?
Wie nennt man den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel?
Was ist der Scheitelpunkt der Normalparabel f(x) = x²?
Welches Verfahren wird genutzt, um eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln?
Welche Methode kann zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion verwendet werden?
Welche Form ist nützlich, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion direkt zu erkennen?
Was beschreibt der Parameter 'a' in der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion?
Was ist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?
Wie nennt man den Graphen einer quadratischen Funktion?
Wie verändert sich eine Parabel, wenn der Parameter 'a' negativ ist?
Welche Form einer quadratischen Funktion lässt den Scheitelpunkt direkt ablesen?
Wie nennt man den höchsten Punkt einer nach unten geöffneten Parabel?
Was ist der Scheitelpunkt der Normalparabel f(x) = x²?
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Team Quadratische Funktionen Lehrer
Die Antwort lautet: Alle vier haben die Form einer Parabel. Eine Parabel entsteht durch eine quadratische Funktion. Doch was versteht man unter einer quadratischen Funktion?
Eine quadratische Funktion ist ein Sonderfall einer Potenzfunktion. Quadratische Funktionen haben immer ein Polynom zweiten Grades, enthalten also immer ein in der Funktion. Sie haben jedoch keine höheren Potenzen, wie sie zum Beispiel , enthalten.
Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form:
Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl. Dabei ist es wichtig, dass diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b und c alle reellen Zahlen annehmen – auch die 0.
wird als quadratisches Glied bezeichnet, als lineares Glied und als absolutes Glied.
Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel "Quadratische Gleichungen".
Es gibt verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Gleichung. Eine hast Du eben schon kennengelernt: die allgemeine Form. Es gibt aber auch noch die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.
| Name | Form | Beispiel |
| Allgemeine FormBei der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion hat der Parameter a Auswirkungen auf die Form des Graphen. Der Parameter c gibt den y-Achsenabschnittspunkt an und der Parameter b gibt an, wie steil der Graph an diesem Punkt steigt. | ||
| ScheitelpunktformBei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt auf den ersten Blick abgelesen werden. a ist hier der Streckfaktor. | ||
| Faktorisierte FormBei der faktorisierten Form können auf den ersten Blick die Nullstellen abgelesen werden. |
Gerade ging es jetzt schon um die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Aber was ist das eigentlich?
Der höchste Punkt einer nach unten offenen, beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet. Er hat folgende Form:
Die verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion können durch verschiedenen mathematische Verfahren ineinander umgerechnet werden.
| Ursprüngliche Form | umgewandelte Form | Verfahren |
| Allgemeine Form | Scheitelpunktform | quadratische Ergänzung |
| Scheitelpunktform | Allgemeine Form | binomische Formel |
| Allgemeine Form | Faktorisierte Form | Nullstellen mit Mitternachtsformel berechnen und in faktorisierter Form einsetzten. |
| Faktorisierte Form | Allgemeine Form | Ausmultiplizieren |
Die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form lassen sich jeweils in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln. Um die Scheitelpunktform in die faktorisierte Form und umgekehrt umzuwandeln, kannst Du den Zwischenschritt über die allgemeine Form einbauen oder über die Achsensymmetrie der Nullstellen den Scheitelpunkt bestimmen und so die Scheitelpunktform erhalten.
Abbildung 1: Umrechnungen Allgemeine Form und Scheitelform
Abbildung 2: Umrechnungen Allgemeine Form und Faktorisierte Form
Mehr zur Umwandlung von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form und umgekehrt findest Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".
Im folgenden Beispiel lernst Du, wie Du die faktorisierte Form in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln kannst.
Aufgabe 1
Wandle die Funktion in die allgemeine Funktion um und dann wieder zurück in die faktorisierte Form.
Lösung
faktorisierte Form → allgemeine Form
Hier kannst Du direkt sehen, dass die Klammern noch ausmultipliziert werden können. Du musst also jede Zahl der einen Klammer mit jeder Zahl der anderen Klammer multiplizieren.
allgemeine Form → faktorisierte Form
Hier musst Du als Erstes die Nullstellen der allgemeinen Form mit der Mitternachtsformel berechnen.
Zur Erinnerung: Mitternachtsformel
Die Nullstellen betragen also . Diese kannst Du jetzt in die faktorisierte Form einsetzen.
Hier musst Du aufpassen, weil Du für die Zahl -2 einsetzt. Da aber schon ein Minus in der faktorisierten Form enthalten ist, musst Du beachten, dass Minus und Minus Plus ergibt.
Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, gibt es vier verschiedenen Möglichkeiten. Eine davon hast Du eben verwendet. Insgesamt kann eine quadratische Funktion entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzen.
| Name und Anwendung | Formel |
| Mitternachtsformel Mit der Mitternachtsformel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. | |
| pq–Formel Mit der pq–Formel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass gilt. | |
| Satz von VietaMit dem Satz von Vieta kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass gilt. Mit diesem Satz überlegst Du Dir, welche Lösungen möglich sind und prüfst diese dann mit den Formeln. | |
| quadratische ErgänzungBei der quadratischen Ergänzung wird die Funktionsgleichung so umgewandelt, dass sie die nebenstehende Form enthält. Anschließend kann dann eine binomische Formel angewendet werden. |
Wie die Berechnungsverfahren genau funktionieren, erfährst Du in den jeweiligen Artikeln.
Bis jetzt hast Du viel über die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gelernt, aber wie sieht es mit dem Graphen einer quadratischen Funktion aus?
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese Parabel kann entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein. Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird Scheitel oder auch Scheitelpunkt genannt.
Eine Parabel kann zum Beispiel so aussehen:
Abbildung 3: Parabel
Parabeln dienen jedoch nicht nur zur Visualisierung von quadratischen Funktionen. Du kannst verschiedene charakteristische Parameter, wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden auch berechnen. Außerdem kannst Du beispielsweise auch eine Tangente an einer Parabel konstruieren. Darüber hinaus gibt es noch weiere verschiedene Möglichkeiten, mit Parabeln zu rechnen.
Wie Du die eben genannten Punkte berechnen kannst, findest Du in den zugehörigen Artikeln.
Um zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sogenannten Normalparabel zu kennen. Von ihr ausgehend, kannst Du andere Parabeln dann beschreiben.
Der zur Funktion 
gehörende Graph heißt Normalparabel.
Eine Normalparabel sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 4: Normalparabel
Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften:
Die Parameter a, b und c haben einen Einfluss auf die Form und Lage einer Normalparabel. Die Veränderungen der Parabel werden immer anhand der Normalparabel verglichen und ausgedrückt.
Der Parameter a einer quadratischen Funktion gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Des Weiteren ist er für die Streckung oder Stauchung zuständig.
Zur Erinnerung!
Die Formel für die allgemeine quadratische Funktion lautet: .
| Voraussetzung | Effekt | Abbildung |
| Parabel ist nach oben geöffnet. |
| |
| Parabel ist nach unten geöffnet. |
| |
| Parabel ist in Richtung der x-Achse gestaucht, also ist sie schmaler als die Normalparabel. |
| |
| Parabel ist in Richtung der x-Achse gestreckt, also ist sie breiter als die Normalparabel. |
|
Die Normalparabel, mit der Funktionsgleichung , ist hier die Ausgangsgleichung.
| Voraussetzung | Effekt | Abbildung |
| Spiegelung der Parabel an der x-Achse. |
| |
| Spiegelung der Parabel an der y-Achse. |
| |
| Spiegelung der Parabel am Ursprung. |
|
Um eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:
Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:
| Voraussetzung | Effekt | Abbildung |
| Die Parabel wird an der x-Achse nach rechts verschoben. |
| |
| Die Parabel wird an der y-Achse nach links verschoben. |
| |
| Die Parabel wird an der y-Achse nach oben verschoben. |
| |
| Die Parabel wird an der y-Achse nach unten verschoben. |
|
Genauere Erklärungen sowie Beispiele, findest Du im Artikel "Quadratische Funktion verändern".
Um eine Parabel zu zeichnen, reicht es nicht, wie bei linearen Funktionen, die Werte aus der Funktionsgleichung abzulesen. Die Funktionen können Dir bei ein paar Punkten helfen, Du kannst jedoch keine gesamte Parabel damit zeichnen.
Im Folgenden wird das Vorgehen beim Zeichnen einer Parabel anhand eines Beispiels erklärt.
Aufgabe 2
Zeichne die Parabel f zu folgender Funktionsgleichung .
Lösung
1. Schritt
Als Erstes kannst Du, wie gerade erwähnt, alle Werte aufschreiben, die Du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. In diesem Fall sind das die Nullstellen und .
2. Schritt
Als Nächstes musst Du, wenn Du ihn nicht schon ablesen konntest, den Scheitelpunkt berechnen.
Wie das funktioniert, lernst Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".
Da das hier zu weit führen würde, ist hier der Scheitelpunkt S der gefragten Funktionsgleichung gegeben.
3. Schritt
Danach kannst Du eine Wertetabelle anlegen.
Wenn Du schon einen Taschenrechner hast, dann kannst Du sehr viele Werte ausrechnen. Dein Taschenrechner kann eine Wertetabelle erstellen, die von einem von Dir definierten Wert a bis zu einem ebenfalls von Dir definierten Wert b geht. Auch die Größe der Schritte, also die Abstände, in denen x-Werte eingesetzt und berechnet werden, kannst Du Dir so berechnen lassen.
Rechnest Du per Hand, dauert das deutlich länger und Du musst Dir besser überlegen, welche Werte Du berechnest. Es reicht jedoch immer, wenn Du nur Werte auf einer Seite des Scheitelpunkts berechnest, da eine Parabel ja immer achsensymmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt S ist.
Für dieses Beispiel kann eine Wertetabelle beispielsweise so aussehen:
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | -8 | -14 | -18 | -20 | -20 | -18 | -14 | -8 |
4. Schritt
Zum Schluss kannst Du dann noch die Punkte, die Du mit der Wertetabelle berechnet hast, in Dein Koordinatensystem eintragen und diese verbinden.
Abbildung 16: Parabel zeichnen
Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form:
.
Quadratische Funktionen können in 3 verschiedenen Varianten dargestellt werden
allgemeine Form:
Scheitelpunktform:
Faktorisierte Form: .
Der höchste Punkt einer nach unten offenen beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet: .
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit 4 verschiedenen Mitteln berechnet werden:
Mitternachtsform
pq–Formel
Satz von Vieta
quadratische Ergänzung.
Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.
Der zur Funktion 
gehörende Graph heißt Normalparabel.
Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Parabel zu verändern:
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Was ist c in einer quadratischen Funktion?
Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form:
f(x) = ax2 + bx + c
Der Parameter a hat Auswirkungen auf die Form des Graphen. c ist das absolute Glied und gibt den y-Achsenabschnittspunkt an. Und b gibt an, wie steil der Graph am Punkt c ist.
Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben?
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, welche entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen hat.
Wie sehen quadratische Funktionen aus?
Quadratische Funktionen haben die Form einer Parabel. Diese kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein.
Objekte, die die Form einer Parabel haben, sind zum Beispiel:
Wann benutzt man quadratische Funktionen?
Quadratische Funktionen werden verwendet, um die Nullstellen einer Parabel herauszufinden, eine Parabel zu zeichnen, den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen und vieles mehr. Quadratische Funktionen sind in Mathe ein Thema, das Dich bis zum Abitur begleiten wird.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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