Ist der Satz von Vieta die PQ Formel?

Nein, der Satz von Vieta wird auch wie die pq-Formel für quadratische Gleichungen in der Normalform angewendet, ist aber nicht dieselbe Formel. Allerdings kann der Satz von Vieta durch die pq-Formel bewiesen werden.

Wann gilt der Satz von Vieta?

Der Satz von Vieta kann für quadratische Gleichungen in der Normalform angewendet werden.

Was ist die große Lösungsformel?

Die große Lösungsformel ist auch bekannt unter dem Namen Mitternachtsformel oder abc-Formel. Sie bietet neben dem Satz von Vieta eine Möglichkeit, quadratische Gleichungen zu lösen.

Satz von Vieta: Definition, Formel & Beispiele

Satz von Vieta

Satz von Vieta – das klingt nach einem Deutschzitat? Ist es aber nicht! Der Satz von Vieta wird in der Analysis bei quadratischen Gleichungen und damit auch zur Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen angewandt. Wie das geht? Das erfährst Du hier!

Los geht’s

Satz von Vieta – Erklärung

Der Satz von Vieta bietet verschiedene Möglichkeiten der Anwendung. Dazu gehören:

Quadratische Gleichungen lösen
Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen
Gegebene Nullstellen überprüfen
Zweite Nullstelle berechnen bei gegebener erster Nullstelle
Faktorisieren

Doch zunächst, was besagt der Satz von Vieta eigentlich und wie kannst Du ihn für die obigen Anwendungen nutzen?

Satz von Vieta Formel & Definition

Mithilfe des Satzes von Vieta können die Lösungen von quadratischen Gleichungen durch Ausprobieren anhand einer Formel bestimmt werden.

Zur Anwendung des Satzes von Vieta muss die quadratische Gleichung allerdings in der Normalform $x^2+px+q=0$ gegeben sein, oder durch Äquivalenzumformung in diese gebracht werden.

Mehr zur Normalform kannst Du im Artikel „Quadratische Gleichungen“ nachlesen.

Allgemein ist der Satz von Vieta wie folgt definiert:

Satz von Vieta: Für eine quadratische Gleichung in der Normalform $$x^2+{\color{#00dcb4}p}x+{\color{#1478c8}q}=0$$ gilt für die Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$:

1. Die Summe der Lösungsvariablen ergibt $-\color{#00dcb4}p$ (Koeffizient von $x$): $$x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p}$$

2. Das Produkt der Lösungsvariablen ist gleich q: $$x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q}$$

Wie kannst Du diesen Satz jetzt zur Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen verwenden?

Satz von Vieta – Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen von einer quadratischen Funktion $f(x)$ zu bestimmen, wird die Funktion $f(x)$ gleich $0$ gesetzt.

Zur Erinnerung: Eine quadratische Funktion $f(x)$ besitzt die allgemeine Form $f(x)=ax²+bx+c$ und entspricht grafisch einer Parabel.

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss diese Gleichung zunächst in die Normalform gebracht werden, wenn diese noch nicht vorliegt.

\begin{align} ax²+bx+c &= 0\hspace{1cm} |\,:a \\[0.2cm]x²+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a} &= 0 \end{align}

Vereinfacht werden die Koeffizienten mit $\dfrac{b}{a}=p$ und $\dfrac{c}{a}=q$ und somit erhältst Du eine Gleichung in Normalform:

$$x²+px+q=0$$

Um die zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$ dieser Gleichung zu bestimmen, kannst Du den Satz von Vieta nutzen. Die Vorgehensweise ist in der folgenden Tabelle kurz aufgeführt.

Schritte	Mathematischer Ausdruck	Beschreibung
Schritt 1	$f(x)=0$	Setze Deine quadratische Funktion $f(x)=0$, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Bringe diese bei Bedarf durch Äquivalenzumformung in die Normalform.
Schritt 2	1. $ x_1+x_2=-p$2. $x_1\cdot x_2=q$	Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $p$ und $q$ Deiner Gleichung ein.
Schritt 3	$x \text{ } \| \text{ } q$$x_1\cdot x_2=q\rightarrow \checkmark$	Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1\cdot x_2=q$ erfüllt ist.
Schritt 4	$x_1+x_2=-p \rightarrow \checkmark $	Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-p$ aufgeht.

Der Satz von Vieta wird vorwiegend dann angewendet, wenn $p$ und $q$, bzw. deren Teiler ganzzahlig sind, er ist aber auch reellen Zahlen anwendbar.

Zeit für ein Beispiel!

Satz von Vieta Beispiel – Nullstellen berechnen

Die Anwendung des Satzes von Vieta zur Nullstellenberechnung einer quadratischen Funktion kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:

\begin{align}f(x)=x^2-8x-9\end{align}

Gesucht sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion $f(x)$.

Zur Lösung dieser Aufgabe wendest Du die Schritte zur Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen an:

Schritt 1: Setze Deine quadratische Funktion $f(x)=0$, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Bringe diese bei Bedarf durch Äquivalenzumformung in die Normalform:

\begin{align}f(x)&=0 \\[0.1cm] \Rightarrow x^2{\color{#00dcb4}-8}x{\color{#1478c8}-9}&=0\end{align}

Die Gleichung ist bereits in der Normalform gegeben, deswegen ist keine Äquivalenzumformung nötig.In diesem Beispiel gilt:

$${\color{#00dcb4}p}={\color{#00dcb4}-8}; {\color{#1478c8}q}={\color{#1478c8}-9} $$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $p$ und $q$ aus Deiner Gleichung ein:

\begin{align} x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p} &\rightarrow x_1+x_2=-({\color{#00dcb4}-8})=8 \\ \\ x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q} &\rightarrow x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}-9} \end{align}

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1\cdot x_2=q$ erfüllt ist.

Teiler von $-9$ sind beispielsweise die Zahlen $-1$ und $9$. Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=-9$$ erfüllt, denn $$(-1)\cdot 9=-9$$

Dann wäre $x_1=-1$ und $x_2=9$.

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-p$ aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also

$$x_1+x_2=8$$

Für die Zahlen $-1$ und $9$ stimmt diese Bedingung: $$-1+9=8$$ Du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Gleichung gefunden und somit die Nullstellen Deiner quadratischen Funktion $f(x)$.

Gegenbeispiel:

Möglich wären auch die Zahlen $x_1=3$ und $x_2=-3$, die Teiler von $q$ sind und für die ebenfalls das Produkt aufgeht, denn $$3\cdot (-3)=-9$$ Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht:

$$3+(-3)=0\neq8$$ Diese beiden Lösungs wären also falsch.

In manchen Aufgabentypen kann am Ende der Aufgabe nach der faktorisierten Form der Funktion gefragt sein, die Du nach Anwendung des Satzes von Vieta aufschreiben kannst.

Satz von Vieta – Faktorisieren

Hast Du die Nullstellen der Funktion berechnest, so kannst Du die Funktion $f(x)$ auch in faktorisierter Form darstellen:

Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion $f(x)$ in Normalform:

\begin{align}f(x)=x²+px+q=(x-x_1)(x-x_2)\end{align}

mit

$$ x_1+x_2=-p \text{ und } x_1\cdot x_2=q$$

Somit kannst Du Deine quadratische Gleichung und damit auch Deine quadratische Funktion nach der Anwendung des Satzes von Vieta faktorisiert schreiben.Dafür kannst Du Dir das Beispiel von oben noch mal ansehen.

Gegeben war folgende quadratische Funktion $f(x)$:

$$f(x)=x^2{\color{#00dcb4}-8}x{\color{#1478c8}-9}$$

Du hattest den Satz des Vieta angewendet und folgende Nullstellen bestimmt: $x_1=-1$ und $x_2=9$.

Über die obige Formel kannst Du die Funktion $f(x)$ als Faktoren darstellen:

$$f(x)=(x-(-1))\cdot (x-9)=(x+1)\cdot (x-9)$$

Mit dem Satz von Vieta kannst Du nicht nur beide Nullstellen einer quadratischen Funktion lösen, sondern zum Beispiel auch überprüfen, ob gegebene Stellen auch wirklich Nullstellen der Funktion sind.

Satz von Vieta – weitere Anwendungen

In der folgenden Tabelle kannst Du diese weitere Anwendungen zum Satz von Vieta sehen.

1. Gegebene Stellen überprüfen
Vorgehen:Stellen $x_1$ und $x_2$ in die beiden Zusammenhänge $x_1\cdot x_2=q$ und $x_1+x_2=-p$ einsetzen.	Überprüfung der Stellen $x_1=1$ und $x_2=3$ bei der Funktion $f(x)=x²-4x+3$: \begin{align}x_1+x_2=-(-4)&=4 \\ 1+3&=4 \\ \\x_1\cdot x_2&=3 \\1\cdot3&=3 \end{align} Die Stellen $x_1=1$ und $x_2=3$ sind Nullstellen der Funktion $f(x)$.
2. Zweite Nullstelle berechnen
Vorgehen: Stelle $x_1$ in die beiden Zusammenhänge $x_1\cdot x_2=q$ und $x_1+x_2=-p$ einsetzen und nach $x_2$ auflösen.	Zweite Nullstelle der Funktion $f(x)=x²-10x+9$ finden, mit $x_1=1$: \begin{align}x_1+x_2=-(-10)&=10 \\ 1+x_2&=10\,\,\, \|-1 \\ x_2&=9\\ \\x_1\cdot x_2&=9 \\1\cdot x_2&=9 \\x_2&=9 \end{align} Ergebnisse für $x_2$ stimmen überein, somit ist $x_2=9$ die gesuchte zweite Nullstelle.

Dass der Satz von Vieta in verschiedenen Anwendungen funktioniert, konntest Du bereits in den vorherigen Abschnitten kennenlernen. Doch wie kann der Satz von Vieta allgemein bewiesen werden? Sieh Dir dazu gerne die nachfolgende Vertiefung an.

Satz von Vieta – Beweis

Du kannst zwei Nullstellen einer quadratischen Funktion $f(x)$ als ihre Faktoren darstellen: $$f(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$$

Wenn Du dieses Produkt ausmultiplizierst, erhältst Du: $$f(x)=x^2-(x_2+x_1)\cdot x+x_2\cdot x_1$$

Wenn Du nun diesen Teil mit der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vergleichst, stellst Du fest, dass gilt:

\begin{align} -p&=(x_2+x_1)=x_1+x_2 \\ q&=x_2\cdot x_1 \end{align}

\begin{align} f(x)=x^2-\underbrace{(x_2+x_1)}_{-p}\cdot x+\underbrace{x_2\cdot x_1}_{q} \end{align}

Satz von Vieta – Aufgaben

Im Folgenden findest Du ein paar Aufgaben, mit der Du die Anwendung des Satzes von Vieta üben kannst.

Aufgabe 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion $f(x)$:

$$f(x)=x^2{\color{#00dcb4}-5}x+{\color{#1478c8}6}$$

Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)$ zu bestimmen, setzt Du $f(x)=0$:

$$x^2{\color{#00dcb4}-5}x+{\color{#1478c8}6}=0$$

Nun kannst Du Deine quadratiche Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta lösen und so die Nullstellen Deiner quadratischen Funktion $f(x)$ bestimmen.

In diesem Beispiel gilt: $${\color{#00dcb4}p}={\color{#00dcb4}-5}, {\color{#1478c8}q}={\color{#1478c8}6} $$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $q$ und $p$ aus Deiner Gleichung ein:

\begin{align} x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p} &\rightarrow x_1+x_2=-({\color{#00dcb4}-5})=5 \\ \\ x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q} &\rightarrow x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}6} \end{align}

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1\cdot x_2=q$ erfüllt ist.

Teiler von $6$ sind beispielsweise die Zahlen $2$ und $3$. Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=6$$ erfüllt, denn $$2\cdot 3=6$$

Dann wäre $x_1=2$ und $x_2=3$.

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-p$ aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also $$x_1+x_2=5$$

Für die Zahlen $2$ und $3$ stimmt diese Bedingung: $$2+3=5$$ Du hast also die zwei Lösungen für diese quadratische Gleichung gefunden.

Aufgabe 2

Gegeben ist die quadratische Funktion:

$$f(x)=x^2-10x+21$$

Eine Lösung dieser Funktion ist $$x_1=3$$

Mit dem Satz von Vieta soll die zweite Lösung bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Umstellen der Bedingung $x_1+x_2=-p$ nach $x_2$:

\begin{align} I. \quad x_1+x_2&=-p\quad\quad|-x_1\\x_2&=-p-x_1\end{align}

Schritt 2: Umstellen der Bedingung $x_1\cdot x_2=q$ nach $x_2$ :

\begin{align} II. \quad x_1\cdot x_2&=q\quad\quad|:x_1\\x_2&=\frac{q}{x_1}\end{align}

Schritt 3: Einsetzen von $x_1$, $p$ und $q$ in die beiden Ansätze und Vergleich beider Ergebnisse für $x_2$

Als Erstes setzt Du $x_1=3$ und $p=-10$ in $I.$ ein:

\begin{align} x_2&=-(-10)-3\\x_2&=10-3\\x_2&=7\end{align}

Als Zweites setzt Du $x_1=3$ und $q=21$ in $II.$ ein:

\begin{align} x_2&=\frac{21}{3} \\ x_2&=7\end{align}

In beiden Ansätzen muss $x_2$ übereinstimmen, nach Einsetzen der gegebenen Werte. In diesem Fall kommt bei beiden Ansätzen $x_2=7$ heraus. Das heißt, Deine zweite Lösung lautet $x_2=7$.

Satz von Vieta – Das Wichtigste

Der Satz von Vieta ist eine Alternative für die pq-Formel und Mitternachtsformel bei der Berechnung von Nullstellen einer quadratischen Funktion $f(x)$.
Der Satz von Vieta besagt: Für eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+{\color{#00dcb4}p}x+{\color{#1478c8}q}=0$ gilt für die Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$:
1. $x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p}$
2. $x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q}$
Vorgehen bei der Nullstellenberechnung einer Funktion $f(x)$:
1. Schritt: Setze Deine quadratische Funktion $f(x)=0$
2. Schritt: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $q$ und $p$ aus Deiner Gleichung ein.
3. Schritt: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob
  $x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q}$ erfüllt ist.
4. Schritt: Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p}$ aufgeht.

Nachweise

Ther Sa (2019). Satz von Vieta. Wie ermittelt man die Lösungen von Quadratischen Gleichungen?. GRIN Verlag
Peter Stender (2021). Heuristische Strategien in der Schulmathematik. Springer Spektrum.

Schritte	Mathematischer Ausdruck	Beschreibung
Schritt 1	\(f(x)=0\)	Setze Deine quadratische Funktion \(f(x)=0\), um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Bringe diese bei Bedarf durch Äquivalenzumformung in die Normalform.
Schritt 2	1. \( x_1+x_2=-p\)2. \(x_1\cdot x_2=q\)	Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für \(p\) und \(q\) Deiner Gleichung ein.
Schritt 3	\(x \text{ } \| \text{ } q\)\(x_1\cdot x_2=q\rightarrow \checkmark\)	Teiler vom Koeffizienten \(q\) bestimmen und kontrollieren, ob \(x_1\cdot x_2=q\) erfüllt ist.
Schritt 4	\(x_1+x_2=-p \rightarrow \checkmark \)	Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch die Summe \(x_1+x_2=-p\) aufgeht.

1. Gegebene Stellen überprüfen
Vorgehen:Stellen \(x_1\) und \(x_2\) in die beiden Zusammenhänge \(x_1\cdot x_2=q\) und \(x_1+x_2=-p\) einsetzen.	Überprüfung der Stellen \(x_1=1\) und \(x_2=3\) bei der Funktion \(f(x)=x²-4x+3\): \begin{align}x_1+x_2=-(-4)&=4 \\ 1+3&=4 \\ \\x_1\cdot x_2&=3 \\1\cdot3&=3 \end{align} Die Stellen \(x_1=1\) und \(x_2=3\) sind Nullstellen der Funktion \(f(x)\).
2. Zweite Nullstelle berechnen
Vorgehen: Stelle \(x_1\) in die beiden Zusammenhänge \(x_1\cdot x_2=q\) und \(x_1+x_2=-p\) einsetzen und nach \(x_2\) auflösen.	Zweite Nullstelle der Funktion \(f(x)=x²-10x+9\) finden, mit \(x_1=1\): \begin{align}x_1+x_2=-(-10)&=10 \\ 1+x_2&=10\,\,\, \|-1 \\ x_2&=9\\ \\x_1\cdot x_2&=9 \\1\cdot x_2&=9 \\x_2&=9 \end{align} Ergebnisse für \(x_2\) stimmen überein, somit ist \(x_2=9\) die gesuchte zweite Nullstelle.

Satz von Vieta

StudySmarter Redaktionsteam