Satz von Vieta

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:

$$\begin{array}{r}f(x)=x^2-8x-9\end{array}$$

Gesucht sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion $f(x)$.

Zur Lösung dieser Aufgabe wendest Du die Schritte zur Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen an:

Schritt 1: Setze Deine quadratische Funktion $f(x)=0$, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Bringe diese bei Bedarf durch Äquivalenzumformung in die Normalform:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =0\\ \Rightarrow x^2-8x-9& =0\end{array}$$

Die Gleichung ist bereits in der Normalform gegeben, deswegen ist keine Äquivalenzumformung nötig.In diesem Beispiel gilt:

$$p=-8;q=-9$$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $p$ und $q$ aus Deiner Gleichung ein:

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2=-p& \to x_1+x_2=-(-8)=8\\ \\ x_1\cdot x_2=q& \to x_1\cdot x_2=-9\end{array}$$

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1\cdot x_2=q$ erfüllt ist.

Teiler von $-9$ sind beispielsweise die Zahlen $-1$ und $9$. Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=-9$$ erfüllt, denn $$(-1)\cdot 9=-9$$

Dann wäre $x_1=-1$ und $x_2=9$.

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-p$ aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also

$$x_1+x_2=8$$

Gegenbeispiel:

Möglich wären auch die Zahlen $x_1=3$ und $x_2=-3$, die Teiler von $q$ sind und für die ebenfalls das Produkt aufgeht, denn $$3\cdot (-3)=-9$$ Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht:

$$3+(-3)=0\ne 8$$ Diese beiden Lösungs wären also falsch.

Aufgabe 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion $f(x)$:

$$f(x)=x^2-5x+6$$

Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)$ zu bestimmen, setzt Du $f(x)=0$:

$$x^2-5x+6=0$$

Nun kannst Du Deine quadratiche Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta lösen und so die Nullstellen Deiner quadratischen Funktion $f(x)$ bestimmen.

In diesem Beispiel gilt: $$p=-5,q=6$$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für $q$ und $p$ aus Deiner Gleichung ein:

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2=-p& \to x_1+x_2=-(-5)=5\\ \\ x_1\cdot x_2=q& \to x_1\cdot x_2=6\end{array}$$

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1\cdot x_2=q$ erfüllt ist.

Teiler von $6$ sind beispielsweise die Zahlen $2$ und $3$. Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=6$$ erfüllt, denn $$2\cdot 3=6$$

Dann wäre $x_1=2$ und $x_2=3$.

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe $x_1+x_2=-p$ aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also $$x_1+x_2=5$$

Aufgabe 2

Gegeben ist die quadratische Funktion:

$$f(x)=x^2-10x+21$$

Eine Lösung dieser Funktion ist $$x_1=3$$

Mit dem Satz von Vieta soll die zweite Lösung bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Umstellen der Bedingung $x_1+x_2=-p$ nach $x_2$:

$$\begin{array}{rl}I.x_1+x_2& =-p|-x_1\\ x_2& =-p-x_1\end{array}$$

Schritt 2: Umstellen der Bedingung $x_1\cdot x_2=q$ nach $x_2$ :

$$\begin{array}{rl}II.x_1\cdot x_2& =q|:x_1\\ x_2& =\frac{q}{x_1}\end{array}$$

Schritt 3: Einsetzen von $x_1$, $p$ und $q$ in die beiden Ansätze und Vergleich beider Ergebnisse für $x_2$

Als Erstes setzt Du $x_1=3$ und $p=-10$ in $I.$ ein:

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =-(-10)-3\\ x_2& =10-3\\ x_2& =7\end{array}$$

Als Zweites setzt Du $x_1=3$ und $q=21$ in $II.$ ein:

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =\frac{21}{3}\\ x_2& =7\end{array}$$

In beiden Ansätzen muss $x_2$ übereinstimmen, nach Einsetzen der gegebenen Werte. In diesem Fall kommt bei beiden Ansätzen $x_2=7$ heraus. Das heißt, Deine zweite Lösung lautet $x_2=7$.