Schnittpunkte berechnen Parabeln

Rückblick: Parabeln und pq-Formel

Parabeln sind in der Mathematik Funktionen zweiten Grades. Grafisch kannst du dir diese u-förmig bzw. n-förmig vorstellen. Diese Funktionen finden in der Mathematik häufig Anwendung bei Sachaufgaben, wenn beispielsweise die Länge eines Brückenbogens oder die Höhe einer Welle ausgerechnet werden muss.

a stellt den Streckungsfaktor, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung dar.

Die pq-Formel dient zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. In der Berechnung der Schnittpunkte von Parabeln werden wir diese Formel brauchen, da die Nullstellen des entsprechenden Ausdrucks die Schnittstellen der Schnittpunkte sind.

Nun möchten wir diese Formel an einem Beispiel anwenden:

Es kann aber auch sein, dass ihr in der Schule bisher nur die Mitternachtsformel zur Berechnung der Lösungen quadratischer Gleichungen behandelt habt. Daher gehen wir auch auf diese noch etwas genauer ein.

Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Schnittpunkte von Parabeln – Übersicht

Nachdem wir jetzt über die Grundlagen geschaut haben, überlegen wir uns in diesem Abschnitt, in welcher Beziehung zwei Parabeln zueinander stehen können.

Sie könnten beispielsweise identisch sein, dann wären alle Punkte der Parabeln Schnittpunkte.

Eine der beiden Parabeln könnte nach oben geöffnet sein und die andere nach unten. Dann wäre es möglich, dass sich die Parabeln lediglich in einem Punkt berühren, dass sie sich gar nicht treffen oder sogar in zwei Punkten schneiden.

Zusammengefasst gilt: Zwei Parabeln haben entweder keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte.

In der folgenden Tabelle findest du eine Übersicht zu den vier Fällen:

Schnittpunkte von Parabeln – Berechnung

Nun sollst du nicht immer alles zeichnen müssen, um die Anzahl oder sogar die genauen Schnittpunkte zu bestimmen! Daher siehst du jetzt, wie du ganz einfach die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen kannst.

Im Schnittpunkt haben beide Parabeln den gleichen x- und y-Wert.

Da Funktionsgleichungen immer in Abhängigkeit von y geschrieben sind, können wir die Funktionsgleichungen der beiden gegebenen quadratischen Funktionen gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen.

An dieser Stelle entscheidet sich, wie viele Schnittpunkte die beiden Parabeln haben:

• Bekommt man keine Lösung für x, so haben die Parabeln keinen Schnittpunkt.
• Bekommt man eine Lösung für x, so haben die Parabeln einen Schnittpunkt.
• Bekommt man zwei Lösungen für x, so haben die Parabeln zwei Schnittpunkte.
• Bekommt man unendlich viele Lösungen für x, so sind die Parabeln identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte.

Setzt man die ermittelten x-Werte dann in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-Werte der Schnittpunkte.

Dieses Vorgehen schauen wir uns jetzt konkret an.

Schnittpunkte berechnen Parabeln – Schema

Folgendes Schema als Vorgehensweise empfehlen wir Dir:

1. Die Funktionen gleichsetzen, also: $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
2. Alles auf eine Seite bringen, sprich: $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.
3. Den Term auf der linken Seite normieren, so dass vor $x^2$ nichts mehr steht.
4. pq-Formel anwenden.
5. Die gefundenen x-Werte in eine der Funktionen einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte errechnen.
6. Die errechneten Paare als Schnittpunkt aufschreiben.

Schnittpunkte berechnen Parabeln – Übungen

Zum Abschluss kannst du dich selbst noch einmal testen und die folgende Aufgabe zur Schnittpunktberechnung zweier Parabeln lösen! Falls du Schwierigkeiten hast, dann schaue dir die Schrittanleitung nochmal an.