Schnittwinkel berechnen

Eine ganz-rationale Funktion vierten Grades $f\left(x\right)=0,5x^4-3x^2+2$ kann von einer linearen Funktion $g\left(x\right)=0,2x-1$ zum Beispiel viermal geschnitten werden.

Abbildung 2: Schnittpunkte von Funktionen

Aufgabe 1

Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen $f\left(x\right)=x^3-4x^2+x+2$ und $g\left(x\right)=x^3-x^2-x+1$.

Lösung

1. Schritt

Als Erstes setzt Du die beiden Funktionen gleich.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ x^3-4x^2+x+2& =& x^3-x^2-x+1\end{array}$

2. Schritt

Als Nächstes löst Du die Gleichung nach x auf. Dafür bringst Du hier alles auf eine Seite, sodass die Gleichung gleich null ist.

$\begin{array}{rclll}{x}^3-4x^2+x+2& =& x^3-x^2-x+1& & |-(x^3-4x^2+x+2)\\ 0& =& 3x^2-2x-1& & \end{array}$

Jetzt wendest Du die Mitternachtsformel an.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}{x}_{1/2}& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1/2}& =& \frac{-(-2)\pm \sqrt{{(-2)}^2-4·3·(-1)}}{2·3}\\ x_{1/2}& =& \frac{1\pm 2}{3}\end{array} \\ \Rightarrow \begin{array}{ccc}{x}_1=1& & x_2=-\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

3. Schritt

Die Ergebnisse aus der pq-Formel setzt Du jetzt in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und berechnest die y-Werte.

$$\begin{gathered} \mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{4}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2} \\ f\left(x_1\right)=f\left(1\right)=1^3-4·1^2+1+2=0 \\ f\left(x_2\right)=f\left(-\frac{1}{3}\right)={\left(-\frac{1}{3}\right)}^3-4·{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+\left(-\frac{1}{3}\right)+2=\frac{32}{27}\approx 1,185 \end{gathered}$$

4. Schritt

Zum Schluss schreibst Du die Schnittpunkte noch auf.

$S_1\left(1\right|0)S_2\left(\overline{)-\frac{1}{3}}\frac{32}{27}\right)$

Die beiden Funktionen schneiden sich im Punkt S. Wenn Du in diesem Punkt von beiden Funktionen die Tangente einzeichnest, entsteht der Schnittwinkel $\gamma$.

Abbildung 3: Tangenten und Schnittwinkel

Im Folgenden wird der Schnittwinkel oft ohne Tangenten dargestellt, da es sich dabei um eine vereinfachte Darstellung handelt, welche die Abbildung verständlicher macht. Für die spätere Berechnung des Schnittwinkels der Funktionen reicht es, die Steigung der Tangente im Schnittpunkt zu wissen.

Vereinfacht, ohne Tangenten dargestellt, sieht das folgendermaßen aus.

Abbildung 4: Schnittwinkel

Aufgabe 2

Berechne den Schnittwinkel der Funktionen $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ und $g\left(x\right)=\sqrt{x}$.

Lösung

1. Schritt

Als Erstes berechnest Du den Schnittpunkt der Funktionen. Setze sie dafür gleich.

$\begin{array}{rclll}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)& & \\ \frac{1}{x}& =& \sqrt{x}& & |{\left(\right)}^2\\ \frac{1}{x^2}& =& x& & |·x^2\\ x^3& =& 1& & |\sqrt[3]{}\\ x& =& 1& & \end{array}$

2. Schritt

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab und setzt $x=1$ ein.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=\frac{1}{x}& & & & g\left(x\right)=\sqrt{x}\\ f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}& & & & g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ f\text{'}\left(1\right)=-\frac{1}{1^2}& & & & g\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2\sqrt{1}}\\ =-1\Rightarrow {\mathit{m}}_{\mathbf{f}}& & & & =0,5\Rightarrow {\mathit{m}}_{\mathbf{g}}\end{array}\end{array}$

3. Schritt

Zum Schluss setze die Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.

$\begin{array}{rcl}\tan \left(\gamma \right)& =& \left|\frac{m_f-m_g}{1+m_f·m_g}\right|\\ & & \\ \tan \left(\gamma \right)& =& \left|\frac{-1-0,5}{1+(-1)·0,5}\right|\\ & & \\ \tan \left(\gamma \right)& =& \left|\frac{-1,5}{0,5}\right|\\ & & \\ \gamma & =& {\tan }^{-1}\left(3\right)=\mathbf{71}\mathbf{,}\mathbf{57}\mathbf{}\mathbf{°}\end{array}$

Der Schnittwinkel der beiden Funktionen beträgt $71,57°$.

Abbildung 8: Schnittwinkel zweier Funktionen

Aufgabe 3

Berechne den Schnittwinkel der Funktionen $f\left(x\right)=1,5\sqrt{x}$ und $g\left(x\right)=-1,5\sqrt{x}+3$. Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei $S\left(1\right|1,5)$.

Lösung

Als Erstes leitest Du beide Funktionen ab.

$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=1,5\sqrt{x}& & & & g\left(x\right)=-1,5\sqrt{x}+3\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{4\sqrt{x}}& & & & g\text{'}\left(x\right)=-\frac{3}{4\sqrt{x}}\end{array}$

Danach berechnest Du die Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt S.

$\begin{array}{ccccc}f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{4\sqrt{x}}& & & & g\text{'}\left(x\right)=-\frac{3}{4\sqrt{x}}\\ f\text{'}\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt{1}}=0,75& & & & g\text{'}\left(1\right)=-\frac{3}{4\sqrt{1}}=-0,75\end{array}$

Jetzt berechnest Du über den Tangens die Winkel von $\alpha$ und $\beta$.

$\begin{array}{ccccc}\tan \left(\alpha \right)=|0,75|& & & & \tan \left(\beta \right)=|-0,75|\\ \alpha ={\tan }^{-1}(0,75)=36,87°& & & & \beta ={\tan }^{-1}(0,75)=36,87°\end{array}$

Zum Schluss addierst Du beide Winkel und erhältst den Schnittwinkel $\gamma$.

$$\begin{gathered} \gamma =\alpha +\beta \\ \gamma =36,87°+36,87°=73,74° \end{gathered}$$

Aufgabe 4

Berechne den Schnittwinkel der Funktion $f\left(x\right)=3x-5$ und der Funktion $g\left(x\right)=-0,5x+2$.

Lösung

1. Schritt

Da es sich bei diesen Funktionen um lineare Funktionen handelt, musst Du den Schnittpunkt der beiden nicht berechnen.

2. Schritt

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab, um die Steigung zu erhalten.

$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=3x-5& & & & g\left(x\right)=-0,5x+2\\ f\text{'}\left(x\right)=3\Rightarrow {\mathit{m}}_{\mathbf{f}}& & & & g\text{'}\left(x\right)=-0,5\Rightarrow {\mathit{m}}_{\mathbf{g}}\end{array}$

3. Schritt

Zum Schluss setzt Du beide Steigungen in die Formel ein und berechne den Schnittwinkel.

tanγ=mf-mg1+mf·mgtanγ=3--0,51+3·-0,5tanγ=2,5-0,5tanγ=-5γ=tan-15γ=78,69°$\begin{array}{rcl}\tan \left(\gamma \right)& =& \left|\frac{m_f-m_g}{1+m_f·m_g}\right|\\ & & \\ \tan \left(\gamma \right)& =& \left|\frac{3-(-0,5)}{1+3·(-0,5)}\right|\\ & & \\ \tan \left(\gamma \right)& =& \left|-7\right|\\ & & \\ \gamma & =& {\tan }^{-1}\left(7\right)=\mathbf{81}\mathbf{,}\mathbf{87}\mathbf{}\mathbf{°}\end{array}$

tanγ=mf-mg1+mf·mgtanγ=3--0,51+3·-0,5tanγ=2,5-0,5tanγ=-5γ=tan-15γ=78,69°

tanγ=mf-mg1+mf·mgtanγ=3--0,51+3·-0,5tanγ=2,5-0,5tanγ=-5γ=tan-15γ=78,69°Der Schnittwinkel zwischen den beiden Funktionen beträgt $81,87°$.

Aufgabe 5

Berechne den Schnittwinkel zwischen der Parabel$f\left(x\right)=2{(x-2)}^2-1$ und der Geraden $g\left(x\right)=-x+4$.

Lösung

1. Schritt

Als Erstes berechnest Du den Schnittpunkt der beiden Funktionen, indem Du diese gleichsetzt und so umstellst, sodass Du die pq-Formel anwenden kannst.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& & \\ 2{(x-2)}^2-1=-x+4& & |-(x+4)\\ 2{(x-2)}^2-5-x=0& & \\ 2x^2-7x+3=0& & |:2\\ x^2-3,5+1,5=0& & \end{array}\end{array}$

Jetzt wendest Du die pq-Formel an.

$$\begin{gathered} x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q} \\ {x}_{1/2}=-\frac{(-3,5)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{(-3,5)}{2}\right)}^2-1,5} \\ {x}_{1/2}=1,75\pm 1,25 \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5} \end{gathered}$$

2. Schritt

Leite die beiden Funktionen ab. Setze anschließend die x-Werte in die Ableitungen ein und berechne die Steigung an den Stellen.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=2x^2-8x+7& & & & g\left(x\right)=-x+4\\ f\text{'}\left(x\right)=4x-8& & & & g\text{'}\left(x\right)=-1\Rightarrow m_g\\ & & & & \\ f\text{'}\left(3\right)=4·3-8=4\Rightarrow m_{f_1}& & & & \\ f\text{'}(0,5)=4·0,5-8=-6\Rightarrow m_{f_2}& & & & \end{array}\end{array}$

3. Schritt

Da zwei Schnittpunkte existieren, musst Du nun für beide den Schnittwinkel berechnen. Setze die Werte ein und berechne jeweils den Winkel.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}\tan \left({\gamma }_1\right)=\left|\frac{m_{f_1}-m_g}{1+m_{f_1}·m_g}\right|& & & & \tan \left({\gamma }_2\right)=\left|\frac{m_{f_2}-m_g}{1+m_{f_2}·m_g}\right|\\ \tan \left({\gamma }_1\right)=\left|\frac{4-(-1)}{1+4·(-1)}\right|& & & & \tan \left({\gamma }_2\right)=\left|\frac{-6-(-1)}{1+\left(-6\right)·\left(-1\right)}\right|\\ \tan \left({\gamma }_1\right)=\left|\frac{5}{-3}\right|& & & & \tan \left({\gamma }_2\right)=\left|\frac{-5}{7}\right|\\ {\gamma }_1={\tan }^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)=\mathbf{59}\mathbf{,}\mathbf{04}\mathbf{}\mathbf{°}& & & & {\gamma }_2={\tan }^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)=\mathbf{35}\mathbf{,}\mathbf{54}\mathbf{}\mathbf{°}\end{array}\end{array}$

Die beiden Funktionen schneiden sich zweimal. Deshalb existieren zwei Schnittwinkel mit den Größen von 59,04° an der Stelle $x=3$ und 35,54° an der Stelle $x=0,5$.

Aufgabe 6

Berechne den Schnittwinkel der beiden Funktionen $f\left(x\right)=2{(x-2)}^2-2$ und $g\left(x\right)=-2{(x-2)}^2+2$ im Schnittpunkt $S\left(3\right|0)$. Nutze dafür den Steigungswinkel.

Lösung

Es ist sinnvoll, sich hier als Erstes eine Skizze anzufertigen. Wenn Du Schnittwinkel über den Steigungswinkel berechnest, musst Du zu Beginn wissen, ob der Schnittwinkel die waagerechte Gerade einschließt oder nicht. Davon hängt ab, auf welche Weise Du den Winkel berechnen kannst.

Abbildung 11: Schnittwinkel berechnen mithilfe des Steigungswinkels

Der Winkel $\gamma$ ist der gesuchte Schnittwinkel.

Jetzt leitest Du beide Funktionen ab.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=2{(x-2)}^2-2=2x^2-8x+6& & & & g\left(x\right)=-2{(x-2)}^2-2=-2x^2+8x-10\\ f\text{'}\left(x\right)=4x-8& & & & g\text{'}\left(x\right)=-4x+8\end{array}\end{array}$

Danach berechnest Du die Steigung beider Funktionen im Schnittpunkt S.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}f\text{'}\left(x\right)=4x-8& & & & g\text{'}\left(x\right)=-4x+8\\ f\text{'}\left(3\right)=4·3-8=4& & & & g\text{'}\left(3\right)=-4·3+8=-4\end{array}\end{array}$

Als Nächstes berechnest Du über den Tangens die Winkel von $\alpha$ und $\beta$. Du kannst nicht direkt den Winkel$\beta \text{'}$, der Teil des Schnittwinkels ist, berechnen, da der Tangens immer den kleineren Steigungswinkel berechnet.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}\tan \left(\alpha \right)=\left|4\right|& & & & \tan (\beta \text{'})=|-4|\\ \alpha ={\tan }^{-1}\left(4\right)=75,96°& & & & \beta \text{'}={\tan }^{-1}\left(4\right)=75,96°\end{array}\end{array}$

Ab hier gibt es zwei Varianten, den Schnittwinkel zu berechnen.

1. Variante: Von dem Winkel $\beta$ musst Du jetzt den Nebenwinkel berechnen, da $\beta$ unterhalb der x-Achse liegt und kein Teil des Schnittwinkels ist.

$\begin{array}{rclc}\beta +\beta \text{'}& =& 180°& |-\beta \\ \beta \text{'}& =& 180°-\beta & \\ \beta \text{'}& =& 180°-75,96°& \\ \beta \text{'}& =& 104,04°& \end{array}$

Zum Schluss subtrahierst Du $\alpha$ von $\beta \text{'}$ und erhältst den Schnittwinkel.

$\begin{array}{ccl}\gamma & =& \beta \text{'}-\alpha \\ \gamma & =& 104,04°-75,96°\\ \gamma & =& 28,08°\end{array}$

2. Variante: Du berechnest jetzt $\gamma \text{'}$, indem Du $\alpha$ und $\beta$ addierst.

$\begin{array}{ccl}\gamma \text{'}& =& \alpha +\beta \\ \gamma \text{'}& =& 75,96°+75,96°\\ \gamma \text{'}& =& 151,92°\end{array}$

Zum Schluss berechnest Du den Nebenwinkel von $\gamma \text{'}$ und erhältst den Schnittwinkel.

$\begin{array}{rcll}\gamma +\gamma \text{'}& =& 180°& |-\gamma \text{'}\\ \gamma & =& 180°-\gamma \text{'}& \\ \gamma & =& 180°-151,92°& \\ \gamma & =& 28,08°& \end{array}$