Sinusfunktion

Sinusfunktion Eigenschaften – Periode

Bei der Sinusfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre $y-\mathrm{Werte}$ in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben $p$ angegeben.

Die Periode von $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$. Diese beträgt$p=2\mathrm{\pi }$.

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte der Sinusfunktion in Abständen von $2\pi$ wiederholen.

Das heißt zum Beispiel auch, dass, wenn sich an der Stelle $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ein Hochpunkt befindet, dass sich auch an der Stelle $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+p=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$ ein Hochpunkt befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen:

Abbildung 2: Periode der Sinusfunktion

Du siehst also, dass sich das Schaubild der Sinusfunktion immer wiederholt. Da die Sinusfunktion eine Periode von $p=2\mathrm{\pi }$ besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Sinusfunktion zwischen 0 und $2\mathrm{\pi }$ genau so aussieht, wie zwischen $2\mathrm{\pi }\mathrm{und}4\mathrm{\pi }$ oder zwischen $4\mathrm{\pi }\mathrm{und}6\mathrm{\pi }$. Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Sinusfunktion sieht dann zwischen $100\mathrm{\pi }$ und $102\mathrm{\pi }$ auch wieder genauso aus.

Der Wertebereich der Sinusfunktion

Schauen wir uns als Nächstes den Wertebereich der Sinusfunktion an.

Schau dir zuerst die Abbildung der Sinusfunktion an, und überlege, wie der Wertebereich der Sinusfunktion sein könnte.

Abbildung 3: Wertebereich der Sinusfunktion

Da der Sinus zwischen 0 und $2\mathrm{\pi }$ keine kleineren y-Werte als -1 und keine größeren y-Werte als 1 annimmt, kann die Sinusfunktion aufgrund der Periode p nie kleinere bzw. größere y-Werte als diese annehmen. Damit entspricht der Wertebereich $W_f=[-1,1]$.

Da die y-Werte -1 und 1 eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend so gewählt, dass sie die Grenzen einschließen.

Das bedeutet auch, dass die Sinusfunktion eine Amplitude von $a=1$ hat.

Sinusfunktion Eigenschaften – Symmetrie

Da du weißt, dass die Sinusfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen:

Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei der Sinusfunktion gilt also folgendes:

$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)=-\sin (-x)$

Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist.

Abbildung 4: Symmetrie der Sinusfunktion

Du siehst daran, dass $\sin \left(\mathrm{\pi }\right)=-\sin (-\mathrm{\pi })=0$ und $\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=-\sin (-\frac{\mathrm{\pi }}{2})=1$ ist.

Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

Sinusfunktion Eigenschaften – Grenzwert

Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder immer kleiner wird.

Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.

Du kannst das Verhalten im Unendlichen der Sinusfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

Wir haben vorhin schon gesehen, dass die Sinusfunktion zwischen $0$ und $2\mathrm{\pi }$ genau so aussieht wie zwischen$100\mathrm{\pi }$ und $102\mathrm{\pi }$. Damit sieht sie auch zwischen $1000000000\mathrm{\pi }$ und $1000000002\mathrm{\pi }$ genau so aus.

Das bedeutet, dass die Sinusfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen -1 und 1 pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, die Funktion divergiert unbestimmt.

Die Nullstellen der Sinusfunktion

Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f mit der x-Achse.

Bestimme hier die Nullstellen:

Abbildung 5: Nullstellen der Sinusfunktion

Hier kannst du sehen, dass an den Stellen $x_0=0$, $x_1=\mathrm{\pi }$ und $x_2=2\mathrm{\pi }$ eine Nullstelle existiert.

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen.

Der y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion

Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.

In dieser Abbildung erkennst du, welchen y-Achsenabschnitt die Sinusfunktion hat:

Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Sinusfunktion

Da die Sinusfunktion eine Nullstelle bei $x=0$ besitzt, ist hier zu sehen, dass die Sinusfunktion die y-Achse im Punkt $P=\left(0\right|0)$ schneidet. Das kannst du auch im Schaubild ablesen.

Die Sinusfunktion besitzt also den y-Achsenabschnitt $y=0$.

Sinusfunktion – Ableitung

Bei der Sinusfunktion kannst du dir die Ableitung relativ leicht merken. Denn wenn du die Sinusfunktion ableitest, erhältst du die Kosinusfunktion. Schau dir dazu die Abbildung 7 an.

Abbildung 7: Ableitung der Sinusfunktion

Du erhältst dann folgende Definition:

Extremstellen der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion hat sehr viele Extremstellen.

Abbildung 8: Extremstellen der Sinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{H{P}_0}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $x_{H{P}_1}=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$ ein Hochpunkt existiert.

An den Stellen $x_{T{P}_0}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ und $x_{T{P}_1}=\frac{7\mathrm{\pi }}{2}$ existiert ein Tiefpunkt.

Die y-Koordinate der Extrempunkte betragen $y_{TP}=-1$ und $y_{HP}=1$.

Auch für die Extremstellen kannst du eine allgemeine Formel aufstellen, da sich diese auch periodisch wiederholen.

Wendepunkte der Sinusfunktion

Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

Bestimme hier die Wendepunkte:

Abbildung 9: Wendepunkte der Sinusfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_0=0$, $x_1=\mathrm{\pi }$ und $x_2=2\mathrm{\pi }$ ein Wendepunkt existiert.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt $y=0$.

Die Wendestellen entsprechen den Nullstellen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

Sinusfunktion – Parameter

Parameter sind Zahlen, die zum Beispiel an Funktionsgleichungen multipliziert oder addiert werden und so die Funktion ein wenig verändern.

Oft hast du nicht nur die reine Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$ gegeben, sondern eine leicht veränderte Funktionsgleichung, wie zum Beispiel $g\left(x\right)=2\sin \left(3x\right)$.

Diese Funktionsgleichung kann allgemein wie folgt mit Parametern verändert werden:

$f\left(x\right)=a·\sin (b·(x-c\left)\right)+d$.

Dabei sind die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ reelle Zahlen. Die Parameter $a$ und $b$ dürfen zudem nicht null sein.

Einen kurzen Überblick über die Auswirkungen der Parameter findest du in nachfolgender Tabelle: