Lerninhalte finden
Features
Entdecke
In einigen Fällen kann das Medikament eines Herstellers mit einem ähnlichen Heilmittel eines anderen Produzenten ersetzt werden, ohne dass die gewünschte Wirkung verloren geht. Das ersetzende Medikament stellt dann ein Substitut dar.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWelche Formel wird oft bei der Substitution verwendet, um Nullstellen zu finden?
Was ist der erste Schritt im Substitutionsverfahren?
Was versteht man unter einer Substitution in der Mathematik?
Was ist eine Nullstelle einer Funktion?
Was versteht man unter Substitution in der Mathematik?
Welches Verfahren wird häufig für die Berechnung von Nullstellen verwendet?
Was versteht man unter einer Substitution in der Mathematik?
Was ist eine Nullstelle einer Funktion?
Was versteht man unter Substitution in der Mathematik?
Welches Verfahren wird häufig für die Berechnung von Nullstellen verwendet?
Welche Formel wird oft bei der Substitution verwendet, um Nullstellen zu finden?
Was ist der erste Schritt im Substitutionsverfahren?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Substitution Nullstellen Lehrer
Danke für dein Interesse an Audio-Lernen!
Die Funktion ist noch nicht ganz fertig, aber wir würden gerne wissen, warum du Audio-Lernen bevorzugst.
Warum bevorzugst du Audio-Lernen? (optional)
Feedback sendenAuch in der Mathematik spielt das eine Rolle: Hier bezeichnet die Substitution den Vorgang, in dem ein Teil eines Terms durch einen anderen ersetzt wird. Meistens vereinfacht Dir dabei die Anwendung der p/q-Formel die Rechnung.
Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen nach x auflösen. Vor allem bei solchen mit hohen Polynomen ist das häufig mit großem Aufwand verbunden. Durch die Substitution kannst Du Dir den Weg erleichtern, indem Du x2 durch z ersetzt. Dadurch kannst Du die Gleichung auflösen und anschließend wieder x einsetzen (Resubstitution). So gelingt es Dir, die Nullstellen zu ermitteln.
Doch bevor Du die Definition zur Substitution kennenlernst, solltest Du wissen, was Nullstellen überhaupt sind.
Eine Nullstelle einer Funktion
Grafisch bezeichnet die Nullstelle den x-Wert des Schnitt- oder Berührpunktes einer Funktion f mit der x-Achse.
Dabei ist die Nullstelle einer der wichtigsten Schnittpunkte einer Funktion. Sie gehört neben dem y-Achsenabschnitt zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.
Abbildung 1: Nullstellen
Häufig berechnest Du Nullstellen mithilfe der pq-Formel.
Mithilfe der p/q-Formel kannst Du Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen. Dafür benötigst Du folgenden Ausdruck:
Voraussetzung dafür ist die quadratische Funktion in Normalform:
Nun wirst Du lernen, wie man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion mithilfe der Substitution berechnet.
Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term denselben Zweck:
Die Resubstitution stellt die Wiederherstellung des Terms dar. Die Veränderung wird rückgängig gemacht:
Für das Substitutionsverfahren benötigst Du die vier folgenden Schritte:
1. Schritt:
Hier ersetzt Du jedes x2 durch ein z.
2. Schritt
Die neue Gleichung kannst Du jetzt mit der Mitternachtsformel oder der p/q-Formel berechnen und nach z auflösen.
3. Schritt
Nun gelangst Du zur Resubstitution, bei der Du den Parameter z wieder mit x2 tauschst.
4. Schritt
Zum Schluss musst Du noch die Wurzel ziehen, um x zu erhalten.
Häufig wird die Substitution bei der Ermittlung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen angewendet. Daher wirst Du jetzt mehr über diese Funktionen erfahren.
Diese Funktionen werden auch als Polynomfunktionen (mehrgliedrige Terme) bezeichnet.
Unter einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion des Grades n versteht man eine reelle Funktion mit
,
Dabei verändert sich die Funktion entsprechend dem Wert, den Du für n einsetzt.
Abbildung 2: Ganzrationale Funktion
Die Parameter des Funktionsterms nennst Du folgendermaßen:
| Koeffizienten |  | |
| Exponenten | n, n-1, 2, 1, 0 | |
| Grad | der höchste vorkommende Exponent (hier n) | |
| Leitkoeffizient | Koeffizient vor dem größten vorkommenden Exponenten (hier ) |
Da die Ermittlung der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen kompliziert ist, kannst Du hier die Substitution anwenden.
Aufgabe
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Da Du diese Gleichung nicht einfach nach x auflösen kannst, nutzt Du die Substitution zur Vereinfachung. Hierbei gehst Du nach den oben genannten Schritten vor.
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
In diesem Schritt siehst Du, wie Du x2 durch z ersetzen kannst. Somit gelingt es Dir im nächsten Schritt, die Nullstellen mithilfe der pq-Formel zu ermitteln.
2. Schritt: pq-Formel
Um die p/q-Formel anzuwenden, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen:
Nun kannst Du p und q ermitteln:
Setze p und q in die Formel ein:
In diesem Schritt hast Du die Nullstellen mithilfe der p/q-Formel berechnet. Nun kannst Du im nächsten Schritt resubstituieren.
3. Schritt: Resubstitution
Ersetze z mit x2:
Damit Du wieder zu Deinem Ursprungsformat gelangst, musst Du Deine Nullstellen für Deine eigentliche Gleichung berechnen. Das machst Du, indem Du die Wurzeln ziehst.
4. Schritt: Wurzel ziehen
Da Du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, gibt es in diesem Fall nur zwei Lösungen, welche
Abbildung 3: Nullstellen
Durch die Substitution konntest Du soeben die Nullstellen Deiner Gleichung ermitteln.
Du kannst dieses Verfahren nicht immer anwenden. Bei manchen Funktionen musst Du auf die Polynomdivision zurückgreifen.
Mithilfe der Polynomdivision kannst Du die Nullstellen einer Polynomfunktion ermitteln. Dabei verfährst Du wie folgt.
Du kannst dabei die Regeln der schriftlichen Division beachten. Mehr zur Polynomdivision findest Du in der gleichnamigen Erklärung.
Stell Dir vor, Du hast die Polynomfunktion
gegeben und möchtest ihre Nullstellen herausfinden.
1. Schritt
Eine Nullstelle durch Ausprobieren ermitteln:
Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei
2. Schritt
Teile die Funktion durch x minus der Nullstelle aus Schritt 1:
3. Schritt
Teile
Womit musst Du x multiplizieren, um x2 zu erhalten?
4. Schritt
Multipliziere das Ergebnis mit der Klammer hinter dem Divisionszeichen und schreibe es unter das Polynom:
Du darfst dabei nicht vergessen, ein Minus vor Dein Ergebnis zu setzen.
5. Schritt
Subtrahiere das ursprüngliche Polynom mit dem Ergebnis aus Schritt 4:
6. Schritt
Teile Dein Zwischenergebnis
7. Schritt
Multipliziere Dein Ergebnis 1 mit der zweiten Klammer und subtrahiere anschließend:
Nun hast Du Dein Ergebnis der Polynomdivision ermittelt. Du kannst weitere Nullstellen der Funktion finden, indem Du das Ergebnis nach x auflöst:
Die Funktion besitzt zwei Nullstellen:
Damit Du das Thema gut verinnerlichen kannst, folgen hier ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 1
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
2. Schritt: p/q-Formel
Nun kannst Du p und q ermitteln:
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt: Resubstitution
Jetzt ersetzt Du z mit x2:
4. Schritt: Wurzel ziehen
Um x zu erhalten, ziehst Du nun die Wurzel:
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen
Aufgabe 2
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt: x2 durch z ersetzen
2. Schritt: p/q-Formel
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt: Resubstitution
Jetzt ersetzt du z mit x2:
4. Schritt: Wurzel ziehen
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen
Abbildung 4: Nullstellen
Aufgabe 3
Löse die folgende Gleichung mithilfe der Substitution:
Lösung
1. Schritt:
2. Schritt:
Setze p und q in die Formel ein:
3. Schritt:
4. Schritt:
Du erhältst somit die Nullpunkte an den Stellen
Abbildung 5: Nullstellen
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Wie geht das Substitutionsverfahren?
Das Substitutionsverfahren besteht aus der Substitution und Resubstitution. Das heißt, du ersetzt einen Term in einer Funktion mit einem Term, welcher die gleiche Bedeutung hat. Somit gelingt es dir einfacher, eine Funktion nach x aufzulösen. Bei der Resubstitution änderst du diesen Term wieder zum Ausgangsterm.
Wann Substitution und wann Polynomdivision?
Du kannst die Substitution verwenden, wenn alle Exponenten der Funktion gerade sind. Ist dies nicht der Fall musst du auf die Polynomdivision zurückgreifen.
Was ist das Substitutionsverfahren?
Unter der Substitution versteht man den Austausch eines Terms durch einen neuen. Dabei erfüllt der Term den selben Zweck.
Warum ist die Grenzrate der Substitution negativ?
Die Grenzrate der Substitution ist immer negativ. Denn wenn der Konsument auf eine Einheit von Gut 1 verzichtet, muss er die konsumierte Menge von Gut 2 erhöhen, damit der erreichte Nutzen konstant bleibt. Darum ist die Grenzrate der Substitution negativ.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.
Erfahre mehrSpeichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Durch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen 
