Summe und Differenz von Funktionen

Gegeben sind die Funktionen:

$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=x+1& & \text{mit}& & {\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}\\ g\left(x\right)=x^2+x-2& & \text{mit}& & {\mathbb{D}}_g=\mathrm{ℝ}\end{array}$

Es soll die Summenfunktion $p\left(x\right)$ gebildet werden. Dazu gehst Du wie folgt vor:

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion $p\left(x\right)$ gilt:

${\mathbb{D}}_p={\mathbb{D}}_f\cap {\mathbb{D}}_g=\mathrm{ℝ}\cap \mathrm{ℝ}=\mathrm{ℝ}$

$\cap$ heißt mathematisch geschnitten. Die Werte der Definitionsmenge ${\mathbb{D}}_p$ sind also die Werte, die sowohl in ${\mathbb{D}}_f$ als auch in ${\mathbb{D}}_g$ enthalten sind. Der Definitionsbereich der neuen Summenfunktion ist der Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$. Da beide den gleichen Definitionsbereich $\mathrm{ℝ}$ haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch $\mathrm{ℝ}$.

Die Graphen der Funktionen und ihre Summenfunktion sehen wie folgt aus:

Abbildung 1: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Summenfunktion p(x)

Gesucht ist die Summenfunktion $p\left(x\right)$ der folgenden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2-2x+3 \\ g\left(x\right)=x^2+x-1 \end{gathered}$$

Gegeben sind die Funktionen:

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=x+1& & \text{mit}& & {\mathbb{D}}_f=\mathrm{ℝ}\\ g\left(x\right)=x^2-3& & \text{mit}& & {\mathbb{D}}_g=\mathrm{ℝ}\end{array}\end{array}$

Es soll die Differenzfunktion $p\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ entstehen. Dazu gehst Du wie folgt vor:

Für die Definitionsmenge der Differenzfunktion $p\left(x\right)$ gilt:

${\mathbb{D}}_p={\mathbb{D}}_f\cap {\mathbb{D}}_g=\mathrm{ℝ}\cap \mathrm{ℝ}=\mathrm{ℝ}$

Der Definitionsbereich der neuen Differenzfunktion entspricht dem Schnittbereich der Definitionsbereiche der Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$. Da beide den gleichen Definitionsbereich $\mathrm{ℝ}$ haben, ist der Schnittbereich beider Definitionsbereiche auch $\mathrm{ℝ}$.

Die Graphen der Funktionen und der Differenzfunktion findest Du hier. Die neue Differenzfunktion p ist in türkis dargestellt. Für jeden Punkt im Graphen kannst Du die Subtraktion durchführen, um diesen zu ermitteln.

Abbildung 2: Funktionen f(x) und g(x) und ihre Differenzfunktion p(x)

Gesucht ist die Differenzfunktion $p\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ der folgenden Funktionen:

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -x-3\\ g\left(x\right)& =& x^2+3x-9\end{array}$

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 \\ g\left(x\right)=-x^2+3 \end{gathered}$$

Gesucht ist die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen. Grafisch kann das wie folgt verdeutlicht werden:

Abbildung 3: Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x)

Die Funktion $f\left(x\right)$ liegt unterhalb der Funktion $g\left(x\right)$, also rechnest Du bei der Bildung der Differenzfunktion $g\left(x\right)-f\left(x\right)$. Jetzt führst Du die bereits bekannten Schritte durch:

Den Graphen der Differenzfunktion siehst Du in türkis:

Abbildung 4: Differenzfunktion p(x) der Funktionen f(x) und g(x)

Nun berechnest Du die Nullstellen der Differenzfunktion p.

$\begin{array}{rcl}& & \left.\begin{array}{c}p\left(x\right)=0\\ -2x^2+3=0\\ x_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\mp \sqrt{\frac{3}{2}}\end{array}\right\}\begin{array}{c}{x}_1=-1,225x_2=1,225\end{array}\end{array}$

Du hast nun die Schnittpunkte der beiden Funktionen ermittelt sowie das Intervall.

Als Nächstes bildest Du die Stammfunktion. Sie ist das unbestimmte Integral von $f\left(x\right)$ nach $dx$. Die Stammfunktion wird durch Aufleiten ermittelt. Da das Aufleiten das Gegenteil zum Ableiten bildet, ist die abgeleitete Stammfunktion wieder Deine Funktion:

$$\begin{gathered} F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx \\ F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right) \end{gathered}$$

Die Stammfunktion lautet dementsprechend

$P\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^3+3x$

da gilt:

$P\text{'}\left(x\right)=-2x^2+3=p\left(x\right)$

Die Fläche berechnest Du durch das bestimmte Integral:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\right(x\left)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Dabei ist a die linke Grenze (auch untere Grenze genannt) und entspricht dem zuvor berechneten -1,225. Die rechte (obere) Grenze ist 1,225. Jetzt musst Du nur noch einsetzen:

$A={\int }_{-1,225}^{1,225}p\left(x\right)=P(1,225)-P(-1,225)=(-\frac{2}{3}{(1,225)}^3+3(1,225\left)\right)-(-\frac{2}{3}{(-1,225)}^3+3(-1,225\left)\right)=4,889$

Der Betrag des bestimmten Integrals ist 4,89. So hast Du die Fläche unterhalb der x-Achse gefunden.

Gesucht ist die neue Funktion $p\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)-h\left(x\right)$ der folgenden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3+x^2+x+1 \\ g\left(x\right)=-x^2+4x-6 \\ h\left(x\right)=x+9 \end{gathered}$$

Somit hast Du drei Funktionen durch die Bildung der Summe und Differenz kombiniert.

Aufgabe 1

Gesucht ist die Summenfunktion p(x) der folgenden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-x^3-x+9 \\ g\left(x\right)=x^2+5x-6 \end{gathered}$$

Lösung

Aufgabe 2

Gesucht ist die Differenzfunktion $p\left(x\right)=(f-g)\left(x\right)$ der folgenden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3+5x^2-3x-2 \\ g\left(x\right)=x^3-x^2+4x-6 \end{gathered}$$

Lösung

Aufgabe 3

Gesucht ist die neue Funktion der folgenden Funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=-5x^3-x^2+x+8 \\ g\left(x\right)=-x^2+9x-3 \\ h\left(x\right)=x+1 \end{gathered}$$

Lösung