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Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.Die Summenregel gilt nur für ganzrationale Funktionen.
Gegeben ist die Funktion:
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist:Die Summenregel gilt nicht nur für zwei Funktionen, sondern auch für beliebig viele Funktionen in einer Summe.
Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x)=4x^2+5x nach der Summenregel?
Was besagt die Summenregel bei der Ableitung einer Funktion?
Kann die Summenregel auch auf Differenzen angewendet werden?
Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist:Die Summenregel gilt nicht nur für zwei Funktionen, sondern auch für beliebig viele Funktionen in einer Summe.
Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x)=4x^2+5x nach der Summenregel?
Was besagt die Summenregel bei der Ableitung einer Funktion?
Kann die Summenregel auch auf Differenzen angewendet werden?
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Feedback sendenDie Summenregel ist eine der Ableitungsregeln. Davon gibt es mehrere:
Sie helfen Dir dabei, die Ableitungen von verschiedenen Funktionsarten zu bilden.
Mehr über die Ableitung an sich erfährst Du in der Erklärung Differentialquotient. Alle wichtigen Regeln zum Ableiten findest Du in der Erklärung Ableitungsregeln.
Die Summenregel der Ableitung ist eine der fundamentalen Regeln für das Ableiten von Funktionen. Sie besagt, dass die Ableitung einer Summe nichts anderes ist, als die Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden
Stell Dir vor, Deine Funktion lautet zum Beispiel
Die Ableitung
Wie Du mit der Summenregel ableiten kannst, erfährst Du jetzt.
Die Summenregel besagt, dass die Summe von Funktionen abgeleitet werden kann, indem die einzelnen Funktionen abgeleitet werden und ihre Summe gebildet wird.
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion
Du kannst also einzeln die Ableitungen der Funktionen
Die Summenregel ist ebenso bei einer Differenz anwendbar, also wenn statt dem
Das liegt daran, dass eine Subtraktion auch als Addition einer negativen Zahl, Variable oder Funktion geschrieben werden kann, z. B.:
In dem Fall heißt die Regel allerdings nicht mehr Summenregel, sondern Differenzregel, und es gilt:
Mehr zur Ableitungsregel für die Differenz zweier Funktionen findest Du in der Erklärung Differenzregel.
Sieh Dir dazu am besten direkt das Beispiel mit den oben genannten Funktionen an.
Gegeben ist die Funktion
Dazu berechnest Du die Ableitungen der Funktionen
Hierfür wurden die Potenzregel und die Faktorregel verwendet.
Die Ableitung von
Doch woher kommt diese Regel? Hier findest Du den Beweis bzw. die Herleitung der Summenregel.
| Beschreibung | Beweis |
| 1. Die Ableitung wird ursprünglich mithilfe des Differentialquotienten berechnet. Daher wird zunächst die Ableitung der Funktion | |
| 2. Nun kann das Kommutativgesetz angewendet werden, welches für die Addition und Subtraktion gilt. Es werden dabei einzelne Summanden im Zähler vertauscht. | |
| 3. Als Nächstes kann der Bruch in zwei separate Brüche aufgeteilt werden, die beide den gleichen Nenner haben. | |
| 4. Somit können für diese beiden Brüche die Grenzwerte ebenfalls einzeln berechnet werden. | |
| 5. Diese beiden Grenzwerte bilden nun jeweils den Differentialquotienten von |
Tatsächlich gilt die Summenregel nicht nur für zwei Funktionen, sondern auch für beliebig viele Funktionen in einer Summe. Das liegt daran, dass der Zähler des Differentialquotienten wie in dieser Herleitung beliebig sortiert und in verschiedene Brüche auseinandergezogen werden kann, da der Nenner immer
Die Summenregel kannst Du bei der Ableitung einer e-Funktion ebenso anwenden, wie z. B. bei einer ganzrationalen Funktion.
Bestimme die Ableitung der Funktion
Zunächst solltest Du die zwei Funktionen benennen, die in dieser Summe enthalten sind:
Bestimme nun die Ableitungen von
Entsprechend lautet also die Ableitung der Funktion
Mehr über das Ableiten der e-Funktion erfährst Du in der Erklärung e-Funktion ableiten.
Du möchtest direkt testen, ob Du die Summenregel anwenden kannst? Dann findest Du hier ein paar Aufgaben mit Lösungen!
Aufgabe 1
Leite die folgenden Funktionen mithilfe der Summenregel einmal ab.
Lösung
Aufgabe 2
Bestimme die erste Ableitung der Funktion
Lösung
Die Funktion
Es gilt
Da die Ableitung der Konstanten
Aufgabe 3
Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion
Lösung
Bestimme zunächst die ersten Ableitungen der Funktionen
Die erste Ableitung von
Bestimme dann auch die zweiten Ableitungen einzeln:
Die erste Ableitung von
Die zweite Ableitung von
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Welche Ableitungsregeln gibt es?
Es gibt die Summenregel, die Differenzregel, die Faktorregel, die Potenzregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.
Wie lautet die Summenregel bei Ableitungen?
Die Ableitung einer Summe von Funktionen wird gebildet, indem die einzelnen Funktionen für sich abgeleitet werden und die Ableitungen addiert werden.
Wann Summenregel und Produktregel?
Die Summenregel kann angewendet werden, wenn eine Funktion die Summe mehrerer einzelner Funktionen ist, z. B. f(x)=g(x)+h(x).
Die Produktregel wird angewendet, wenn die Funktion das Produkt zweier Funktionen ist, z. B. f(x)=g(x)⋅h(x).
Wie geht die Summenregel?
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung Funktion f(x)=g(x)+h(x) als Summe der beiden Funktionen g(x) und h(x) wie folgt lautet:
f'(x)=g'(x)+h'(x).
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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