Summenregel

Stell Dir vor, Deine Funktion lautet zum Beispiel \(f(x)={\color{bl}4x^2}+{\color{gr}5x}\). Dann ist diese Funktion die Summe der beiden Funktionen \(g(x)={\color{bl}4x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}5x}\).

Die Ableitung \(f'(x)\) ist dann nichts anderes als die Summe der Ableitungen \(g'(x) = {\color{bl}8x} \) und \(h'(x)={\color{gr}5}\). Also \(f'(x) = {\color{bl}8x}+{\color{gr}5}\)

Gegeben ist die Funktion \(f(x)={\color{bl}4x^2}+{\color{gr}5x}\) als Summe der beiden Funktionen \(g(x)={\color{bl}4x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}5x}\). Bestimme die Ableitung \(f^\prime\) der Funktion \(f\).

Dazu berechnest Du die Ableitungen der Funktionen \(g\) und \(h\): \begin{align}g^\prime (x)&={\color{bl}2 \cdot 4x^{2-1}}={\color{bl}8x} \\[0.1cm] h^\prime (x)&={\color{gr}5\cdot 1x^{1-1}}={\color{gr}5}\end{align}

Hierfür wurden die Potenzregel und die Faktorregel verwendet.

Die Ableitung von \(f(x)\) lautet also \[f^\prime (x)={\color{bl}8x}+{\color{gr}5}.\]

Bestimme die Ableitung der Funktion \(f(x)=3e^x+e^{2x}\).

Zunächst solltest Du die zwei Funktionen benennen, die in dieser Summe enthalten sind:

\begin{align} g(x)&={\color{bl}3e^x} \\[0.1cm] h(x)&={\color{gr}e^{2x}} \end{align}

Bestimme nun die Ableitungen von \(g\) und \(h\). Dafür solltest Du wissen, wie e-Funktionen im Allgemeinen abgeleitet werden. \begin{align}g^\prime (x)&={\color{bl}3e^x} \\[0.1cm] h^\prime (x)&={\color{gr}2\cdot e^{2x}}\end{align}

Entsprechend lautet also die Ableitung der Funktion \(f\):

\[f'(x)={\color{bl}3e^x}+{\color{gr}2e^{2x}}.\]

Aufgabe 1

Leite die folgenden Funktionen mithilfe der Summenregel einmal ab.

1. \(f(x)=7x+12x^3\)
2. \(f(x)=18x+7\)
3. \(f(x)=2x^2+4x^4\)

Lösung

1. Bestimme die Ableitungen von \(g(x)={\color{bl}7x}\) und \(h(x)={\color{gr}12x^3}\) einzeln:\begin{align}g'(x)&= {\color{bl}7} \\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}3 \cdot 12x^{3-1}}={\color{gr}36x^2}\\\end{align}Die Ableitung von \(f\) lautet demnach:\[f'(x)={\color{bl}7}+{\color{gr}36x^2}\]
2. Bestimme die Ableitungen der Funktionen \(g(x)={\color{bl}18x}\) und \(h(x)={\color{gr}7}\) einzeln:\begin{align}g'(x)&= {\color{bl}18} \\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}0}\end{align}Die Ableitung von \(f\) lautet demnach:\[f'(x)={\color{bl}18}\]
3. Bestimme auch hier die Ableitungen von \(g(x)={\color{bl}2x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}4x^4}\) einzeln:\begin{align}g'(x)&= {\color{bl}2\cdot 2x^{2-1}}={\color{bl}4x} \\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}4 \cdot 4x^{4-1}}={\color{gr}16x^3}\end{align}Die Ableitung von \(f\) lautet also:\[f'(x)={\color{bl}4x}+{\color{gr}16x^3}\]

Aufgabe 2

Bestimme die erste Ableitung der Funktion \(f(x)=2x^2+7x+2\).

Lösung

Die Funktion \(f\) kann als Summe der Funktionen \(g(x)={\color{bl}2x^2}\), \(h(x)={\color{gr}7x}\) und einer Konstanten \(c={\color{r}2}\) interpretiert werden.

Es gilt \begin{align}g'(x)&= {\color{bl}2\cdot 2x^{2-1}}={\color{bl}4x} \\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}7}\end{align}

Da die Ableitung der Konstanten \(c'={\color{r}0}\) beträgt, gilt daher \[f'(x)={\color{bl}4x}+{\color{gr}7} \]

Aufgabe 3

Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion \(f(x)=3x^2+7x^3\).

Lösung

Bestimme zunächst die ersten Ableitungen der Funktionen \(g(x)={\color{bl}3x^2}\) und \(h(x)={\color{gr}7x^3}\) einzeln:

\begin{align}g'(x)&= {\color{bl}2\cdot 3x^{2-1}}= {\color{bl}6x}\\[0.1cm] h'(x)&={\color{gr}3 \cdot 7x^{3-1}}={\color{gr} 21x^2}\end{align}

Die erste Ableitung von \(f\) lautet also:

\[f'(x)={\color{bl}6x}+{\color{gr}21x^2}\]

Bestimme dann auch die zweiten Ableitungen einzeln: \begin{align}g''(x)&= {\color{bl}6}\\[0.1cm] h''(x)&={\color{gr}2 \cdot 21x^{2-1}}={\color{gr} 42x}\end{align}

Die erste Ableitung von \(f\) lautet also:

\[f'(x)={\color{bl}6x}+{\color{gr}21x^2}.\]

Die zweite Ableitung von \(f\) lautet dann:

\[f''(x)={\color{bl}6}+{\color{gr}42x}.\]