Symmetrie von Funktionen: Punktsymmetrie & Achsensymmetrie

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Symmetrie von Funktionen – Definition und Erklärung

Es gibt drei unterschiedliche Fälle für Symmetrien, die Teil der Analysis sind:

Wenn Du eine Funktion drehst, spiegelst oder verschiebst und die Funktion nach wie vor seine Form beibehält, handelt es sich in der Analysis um eine Achsen-bzw. Punktsymmetrie.

Uns interessiert die Symmetrie hauptsächlich als Teil der Analysis, aber auch außerhalb der Mathematik gibt es Beispiele, in denen man Symmetrien betrachten kann:

Magier und Magierinnen benutzen spiegeln und erzeugen optische Illusionen z. B. die sogenannte leere Box.
Kunstschaffende sowie Architekten und Architektinnen benutzen die Symmetrie für Ästhetik und zur Stabilisierung z. B. die gotische Architektur, die farbenprächtigen Muster auf orientalischen Teppichen oder Leonardo Da Vincis Skizzen zum Thema Anatomie.
Die meisten Menschen und Lebewesen haben fast immer eine inhärente Symmetrie, z. B. Hände, Beine oder Gesicht sind nahezu symmetrisch. Auch bei vielen Tieren ist das zu beobachten, z. B. weisen Vögel an ihren Flügeln identische Form und Ausprägung auf beiden Seiten auf.

Doch wie ist die Symmetrie in der Analysis/Kurvendiskussion zu betrachten?

Art der Symmetrie	Abbildung der Beispiele
Achsensymmetrie (=Axialsymmetrie) Bsp.: $f (x) = x^{2}$	Abbildung 1: Beispiel für Achsensymmetrie
Punktsymmetrie (=Zentralsymmetrie) Bsp.: $f (x) = x^{3} - 2 x$	Abbildung 2: Beispiel für die Punktsymmetrie

Die für Dich wichtigsten Formen sind zunächst die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung.

Symmetrie zu Parallelen der y-Achse

Bei der Achsensymmetrie von Funktion unterscheidet man die Symmetrie zur y-Achse selbst und die Symmetrie zu einer, der y-Achse verschiedenen, aber parallelen Achse.

Achsensymmetrie zur y-Achse bestimmen

Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der y-Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist.

Daher muss Folgendes gelten:

$f (- x) = f (x)$

Wie das in der Praxis aussieht, siehst Du im folgenden Beispiel:

Für den Anfang betrachtest Du hier ein klassisches Beispiel einer ganzrationalen Funktion.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob die Funktion $f (x) = x^{2}$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist!

Lösung 1

Du setzt zunächst $- x$ in die Funktion $f$ ein und überprüfst anschließend, ob:

$f (- x) = f (x)$

gegeben ist.

Kontrolliere nun, ob die Bedingung erfüllt wird.

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & {(- x)}^{2} \\ = & x^{2} \end{array}$

Die Bedingung wurde erfüllt.

$f (- x) = f (x)$

Somit hast Du die Achsensymmetrie der Funktion $f (x)$ zur y-Achse nachgewiesen.In der Abbildung ist die Symmetrie gut zu erkennen und die Symmetrieachse ist durch eine Gerade g dargestellt, welche genau auf der y-Achse liegt.

Symmetrie von Funktionen Achsensymmetrische Funktion StudySmarter Abbildung 3: Achsensymmetrische Funktion

Hier nochmal eine allgemeine Zusammenfassung des Lösungsweges:

Schritte zur Ermittlung der Symmetrie:

$- x$ in $f (x)$ einsetzen.
Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt ist oder nicht.
1. Wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist die Funktion $f (x)$ symmetrisch zur y-Achse.
2. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die Funktion $f (x)$ nicht symmetrisch zur y-Achse.

Aufgabe 2

Untersuche, ob die Funktion $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 2$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist!

Lösung 2

Schritt 1:

Setze zunächst $- x$ in die Funktion $f$ ein und überprüfe anschließend, ob

$f (- x) = f (x)$

gegeben ist.

Schritt 2:

Kontrollieren, ob die Bedingung erfüllt wird.

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & \frac{1}{4} {(- x)}^{2} - 2 \\ = & \frac{1}{4} x^{2} - 2 \end{array}$

Die Bedingung wurde erfüllt, also gilt:

Schritt 2.1 und die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

$f (- x) = f (x)$

Somit hast Du erneut die Achsensymmetrie der Funktion $f (x)$ zur y-Achse nachgewiesen.

In der Abbildung ist die Symmetrie entlang der y-Achse verschoben, aber trotzdem zu erkennbar und die Symmetrieachse ist auch hier durch eine Gerade g dargestellt.

Symmetrie von Funktionen Beweis Symmetrie y-Achse StudySmarter Abbildung 4: Graph zum Beweis der Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Bislang hast Du gelernt, dass du die y-Achse zur Symmetriebestimmung verwenden musst. Diese wird durch die Gleichung $x = 0$ beschrieben.

Deine Bedingung bleibt das, was im letzten Abschnitt verwendet wurde: $f (- x) = f (x)$ .

Funktionen sind aber nicht immer entlang der y-Achse symmetrisch und die bislang verwendete Bedingung ist nur für diesen einen Spezialfall gültig, wenn die Symmetrieachse bei $x = 0$ liegt.

Betrachte kurz die Abbildung 5 und frag Dich, was dargestellt wird.

Symmetrie von Funktionen verschieben der Symmetrieachse StudySmarter Abbildung 5: Verschieben der Symmetrieachse

Richtige Antwort:

Es sind alternative Symmetrieachsen zur y-Achse dargestellt.

Was ist der entscheidende Unterschied zwischen diesen Achsen?

Jede Achse hat einen anderen x-Wert.

Die Achse, dargestellt durch den Graphen h, ist die y-Achse und die anderen beiden Achsen unterscheiden sich dadurch, indem sie nach links/rechts verschoben sind.

Für alle anderen, zur y-Achse parallelen, vertikalen Achsen wird eine andere Methode benötigt. Darum findest Du folgende Definition, um Symmetrie an beliebigen Achsen zu überprüfen:

Der Graph der Funktion f(x) ist genau dann symmetrisch zu einer beliebigen Achse $x = h$ , wenn für alle $x$ gilt:

$f (x + h) = f (x - h)$

Du hast bisher wiederholt den Begriff Symmetrieachse gelesen und das ist genau das, worauf es jetzt im nächsten Schritt ankommt.

Die Definition ist nur dazu da, Symmetrie entlang einer potenziellen Symmetrieachse zu prüfen. Jetzt musst Du zunächst überlegen, welche Achsen infrage kommen.Dazu gibt es drei Möglichkeiten:

Fall A: gegebene Symmetrieachse

Wenn Du Glück hast, wird die zu prüfende Symmetrieachse in der Aufgabenstellung explizit genannt.

Lösungsweg a)

Setze die angegebene Achsengleichung $x = h$ in die Formel $f (x + h) = f (x - h)$ ein und Du bist fertig.

Fall B: verschobene Funktion

Du hast es mit einer in x-Richtung verschobenen Funktion zu tun, auch kein Problem.

Lösungsweg b)

Schaue Dir einfach an, um welchen Wert $h$ die Funktion in x-Richtung verschoben wurde.

Die Funktion $f (x) = {(x - 4)}^{2} + 2$ wurde in x-Richtung um 4 nach rechts verschoben.

Die Symmetrieachse ist dargestellt durch die Gerade $h = 4$ .

Symmetrie von Funktionen Beispiel für eine verschobene Symmetrieachse StudySmarter Abbildung 6: Beispiel für eine verschobene Symmetrie

Die Achse mit der Gleichung $x = h$ ist ein guter Kandidat für eine Achsensymmetrie und meistens hast Du vorher schon den Hoch- bzw. Tiefpunkt ermittelt und kannst daraus ableiten, ob es eine Symmetrie gibt.

Solltest Du zum Thema Graphen zeichnen oder Hoch- und Tiefpunkte noch offene Fragen haben, kannst Du Dir den dazugehörigen Artikel durchlesen.

Fall C: Symmetrieachse an einer Extremstelle

Du vermutest die Symmetrieachse an einer Extremstelle.

Lösungsweg c)

Berechne die Extremstellen der Funktion.

Ist der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ achsensymmetrisch?

Dein erster Schritt ist die Bestimmung der Extremwerte, um potentielle Symmetrieachsen zu finden:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 6 x + 9 \\ f' (x) & = & 2 x - 6 \\ f'' (x) & = & 2 \end{array}$

Durch das Berechnen der notwendigen Bedingung $f' (x) = 0$ und durch Überprüfen der hinreichenden Bedingung $f'' (x) \neq 0$ erhältst Du $x = 3$ als potentielle Symmetrieachse.

Als Nächstes überprüfst Du die Bedingung aus der Definition:

$f (x + h) = f (x - h)$

$\begin{array}{rcl} f (x + 3) & = & {(x + 3)}^{2} - 6 \cdot (x + 3) + 9 \\ = & {(x + 3)}^{2} - 6 \cdot x + 27 \\ f (x - 3) & = & {(x - 3)}^{2} - 6 \cdot (x - 3) + 9 \\ = & {(x - 3)}^{2} - 6 \cdot x + 27 \\ f (x - 3) & = & f (x + 3) \end{array}$

Fazit: Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zu der Achse $x = 3$ .

Symmetrie von Funktionen Beweis Symmetrie an einer beliebigen Achse StudySmarter Abbildung 7: Beweis der Achsensymmetrie an einer beliebigen Achse

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{a} \cdot x + a_{0}$

kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich gerade Exponenten, ist die Funktion achsensymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie

Auch bei der Punktsymmetrie unterscheidest Du zwischen zwei Fällen:

Symmetrie zum Ursprung erkennen

Die Punktsymmetrie ist eine weitere Form der Symmetrie und wird auch Zentralsymmetrie genannt.

Der Unterschied ist, dass hier eine Funktion nicht entlang einer Achse, sondern über einen Punkt gespiegelt wird. Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet werden kann. Das kannst Du in Abbildung 2 schon gut erkennen.

Gilt:

$f (- x) = - f (x)$

dann ist $f (x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Eine punktsymmetrische Funktion hat die Eigenschaft, dass sich die Vorzeichen der y-Werte vor und nach dem Ursprung unterscheiden, d. h. jeden Punkt der Funktion kannst Du am Ursprungspunkt spiegeln und landest auf der anderen Seite ebenfalls wieder auf dem Funktionsgraphen.

Aufgabe 3

Betrachte nun die Funktion: $f (x) = x^{3} - 2 x$ .

Wo hat diese Funktion ihren Symmetriepunkt?

Lösung 3

Symmetrie von Funktionen Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter Abbildung 8: Punktsymmetrie zum Ursprung

Dreht man den Graphen in Abbildung 8 um 180° um den Symmetriepunkt, dann erhält man den Ursprungsgraphen und zeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + . . . + a_{2} \cdot x^{2} + a_{a} \cdot x + a_{0}$

kannst Du spezielle Symmetrien auf einen Blick erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich ungerade Exponenten, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von e-Funktionen

Im folgenden Beispiel betrachtest Du die Symmetrie einer e-Funktion und kontrollierst, ob es sich um eine Punkt- oder Achsensymmetrie handelt.

Betrachte die Funktion $f (x) = 3 \cdot (e^{- x} - e^{x})$ .

Kontrolliere nun die Funktion f(x) auf Achsensymmetrie mit der Bedingung $f (- x) = f (x)$ :

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 \cdot (e^{- x} - e^{x}) \\ f (- x) & = & 3 \cdot (e^{- (- x)} - e^{- x}) \\ = & 3 \cdot (e^{x} - e^{- x}) \end{array}$

Also: $f (- x)$ stimmt nicht mit f(x) überein.

Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch.

Kontrolliere jetzt, ob die Funktion f(x) auf punktsymmetrisch ist, mit der Bedingung $f (- x) = - f (x)$

$\begin{array}{rcl} f (- x) & = & 3 \cdot (e^{x} - e^{- x}) \\ - f (x) & = & - (3 \cdot (e^{- x} - e^{x})) \\ = & - 3 \cdot e^{- x} + 3 \cdot e^{x} \\ = & 3 \cdot (e^{x} - e^{- x}) \end{array}$

$f (- x)$ und $- f (x)$ stimmen miteinander überein.

Die Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von Funktionen e-Funktion StudySmarter Abbildung 9: Punktsymmetrie der e-Funktion

Die Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Nun gilt es nur noch, die Punktsymmetrie für einen beliebigen Punkt auf dem Koordinatensystem zu erkennen und nachzuweisen.

Dabei verfährst Du ähnlich wie beim Abschnitt "Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse".

Auch hier wird beim Überprüfen die Funktion auf den Ursprung zurückgeführt und getestet, ob sie dort symmetrisch ist.

Der Graph einer Funktion $f (x)$ ist genau dann symmetrisch zu dem Punkt $P (a | b)$ , falls

$f (a + x) - b = - (f (a - x) + b)$

gilt.

Die Koordinaten a und b entsprechen x und y Koordinaten des Punktes.

Abfolge der Schritte zum Ermitteln der Lösung:

a und b in $f (a + x) - b$ einsetzen und berechnen.
a und b in $- f (a - x) + b$ einsetzen und berechnen.
Ergebnisse aus diesen beiden Schritten vergleichen.

Symmetrie von Funktionen – Das Wichtigste

Bei ganzrationalen Funktionen sind die Exponenten ein Indiz für die Art der Symmetrie:
Fall a: ausschließlich gerade Exponenten = achsensymmetrisch
Fall b: ausschließlich ungerade Exponenten = punktsymmetrisch
Fall c: gemischte Exponenten = Keine Symmetrie
Ansonsten untersuchen, ob die Bedingung erfüllt wird.
Es gibt zwei Arten der Symmetrie. Es wird jeweils noch zwischen Spezialfall und beliebigem Punkt oder Achse, also insgesamt vier möglichen Fällen, unterschieden:

Art der Symmetrie	Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse (Spezialfall)	$f (- x) = f (x)$
Punktsymmetrie zum Ursprung (Spezialfall)	$f (- x) = - f (x)$
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse	$f (h - x) = f (h + x)$
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt	$f (a + x) - b = - (f (a - x) + b)$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Symmetrie von Funktionen

Wie erkenne ich die Symmetrie einer Funktion?

Die Symmetrie einer Funktion erkennst du durch das Prüfen der Kriterien für Achsen- und Punktsymmetrie.

Ist eine Funktion symmetrisch?

Funktionen müssen nicht, aber können symmetrisch sein. Bei Funktionen kann eine Punkt- oder Achsensymmetrie vorliegen.

Wie beweist man Symmetrie?

Symmetrie von Funktionen beweist man mit den entsprechenden Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie.

Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch und achsensymmetrisch?

Gibt es bei einer ganzrationalen Funktion f(x) nur ungerade Exponenten, ist f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ansonsten muss die Bedingung für die Punktsymmetrie nachgewiesen werden. Diese lautet: f (-x) = - f (x).

Besitzt eine ganzrationale Funktion f(x) nur gerade Exponenten, ist f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ansonsten muss die Bedingung für die Achsensymmetrie nachgewiesen werden. Diese lautet: f (-x) = f (x).

Wann hat eine Funktion keine Symmetrie?

Eine Funktion ist unsymmetrisch, wenn weder eine Achsen- noch eine Punktsymmetrie vorliegt. Bei ganzrationalen Funktionen ist das der Fall, wenn diese sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt.

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