Tangensfunktion

Allgemeines zu der Tangensfunktion

Bei der Tangensfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich nach der Periode $p$dasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.

Schau dir doch zuerst einmal das Schaubild der Tangensfunktion an:

Abbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

Die Definition der Tangensfunktion ergibt sich auch aus dem Einheitskreis. Wenn du mehr dazu wissen möchtest, kannst du dir unseren Artikel Einheitskreis anschauen.

Die Periode der Tangensfunktion

Bei der Tangensfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre y-Werte in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben $p$ angegeben.

Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!

Bestimmt kennst du die Periode von $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\tan \left(\mathrm{x}\right)$. Diese beträgt$p=\mathrm{\pi }$.

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte der Tangensfunktion in Abständen von $\pi$ immer wiederholen.

Das heißt zum Beispiel auch, dass wenn sich an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle befindet, dass sich auch an der Stelle $x=0+p=\mathrm{\pi }$ eine Nullstelle befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen:

Abbildung 2: Periode der Tangensfunktion

Du siehst also, dass sich das Schaubild der Tangensfunktion immer wiederholt.

Da die Tangensfunktion eine Periode von $p=\mathrm{\pi }$ besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Tangensfunktion zwischen $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ genau so aussieht wie zwischen $\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{und}\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ oder zwischen $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{und}\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$. Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Tangensfunktion sieht dann zwischen $\frac{201\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{203\mathrm{\pi }}{2}$ auch wieder genauso aus.

Wertebereich der Tangensfunktion

Schauen wir uns als Nächstes den Wertebereich der Tangensfunktion an.

Schau dir zuerst das Schaubild der Tangensfunktion an, und überlege, wie der Wertebereich der Tangensfunktion sein könnte:

Abbildung 3: Wertebereich der Tangensfunktion

Aufgrund der Periode $p$ reicht es aus, die Tangensfunktion zwischen $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ zu betrachten. Die Erkenntnis für den Bereich zwischen $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ lässt sich anschließend auf die gesamte Tangensfunktion anwenden.

Im Bereich $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ laufen die $y-\mathrm{Werte}$ gegen $-\infty$. Im Bereich $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ laufen die $y-\mathrm{Werte}$ gegen $\infty$. Damit entspricht der Wertebereich $W_f=(-\infty ,\infty )$.

Da die $y-\mathrm{Werte}$ $-\infty$ und $\infty$ nie eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend so gewählt, dass sie die Grenzen nicht einschließen.

Tangensfunktion: Symmetrie

Da du weißt, dass die Tangensfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen: Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei der Tangensfunktion gilt also folgendes:

$f\left(x\right)=\tan \left(x\right)=-\tan (-x)$

Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist:

Abbildung 4: Symmetrie der Tangensfunktion

Du siehst daran, dass $\tan \left(\mathrm{\pi }\right)=-\tan (-\mathrm{\pi })=0$ und $\tan \left(1\right)=-\tan (-1)\approx 1,58$ ist.

Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der Tangensfunktion

Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der $x-\mathrm{Wert}$ immer größer oder kleiner wird.

Funktionen können beispielsweise auch in $y-\mathrm{Richtung}$ ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer $x-\mathrm{Wert}$ eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die $x-\mathrm{Achse}$ annähern.

Du kannst das Verhalten im Unendlichen der Tangensfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

Wir haben vorhin schon gesehen, dass die Tangensfunktion zwischen $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ genau so aussieht wie zwischen $\frac{201\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{203\mathrm{\pi }}{2}$. Damit sieht sie auch zwischen $\frac{2000000001\mathrm{\pi }}{2}$ und $\frac{2000000003\mathrm{\pi }}{2}$ genau so aus.

Das bedeutet, dass die Tangensfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen $-\infty$ und $\infty$ pendelt, sich aber auch nie einem $y-\mathrm{Wert}$ annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, dass die Funktion unbestimmt divergiert.

Tangensfunktion: Nullstellen

Schauen wir uns nun die Nullstellen der Tangensfunktion an.

Schau dir wieder einmal das Schaubild der Tangensfunktion an, um die Nullstellen zu bestimmen:

Abbildung 5: Nullstellen der Tangensfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{-1}=-\mathrm{\pi }$, $x_0=0$, $x_1=\mathrm{\pi }$ und $x_2=2\mathrm{\pi }$ eine Nullstelle existiert.

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen. Wenn du dazu mehr wissen möchtest, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen. Falls dir das zu viel ist, kannst du einfach nach dem Kasten die nächste Eigenschaft der Tangensfunktion anschauen.

Der y-Achsenabschnitt der Tangensfunktion

Der $y-\mathrm{Achsenabschnitt}$ ist der $y-\mathrm{Wert}$ des Schnittpunktes einer Funktion mit der $y-\mathrm{Achse}$.

Schau dir das Schaubild der Tangensfunktion an. Du erkennst dann direkt, welchen $y-\mathrm{Achsenabschnitt}$ die Tangensfunktion hat:

Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Tangensfunktion

Da du aus dem vorherigen Abschnitt weißt, dass die Tangensfunktion eine Nullstelle bei $x=0$ besitzt, weißt du, dass die Tangensfunktion die $y-\mathrm{Achse}$ im Punkt $P=\left(0\right|0)$ schneidet. Das kannst du auch im Schaubild ablesen.

Die Tangensfunktion besitzt also den $y-\mathrm{Achsenabschnitt}$ $y=0$.

Tangensfunktion: Ableitung

An dieser Stelle beschäftigen wir uns kurz mit der Ableitung zur Tangensfunktion. Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, wie zum Beispiel die Herleitung, dann kannst du den Artikel Ableitung trigonometrischer Funktionen lesen.

Du hast für die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ der Tangensfunktion folgende Definition:

Extremstellen der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion besitzt keine Extremstellen.

Dazu kannst du dir noch einmal das Schaubild der Tangensfunktion anschauen:

Abbildung 7: Extremstellen der Tangensfunktion

Da zur Betrachtung der gesamten Tangensfunktion der Bereich von $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ bis $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ausreicht, kannst du diesen Bereich betrachten.

Da der Wertebereich $W_f=(-\infty ,\infty )$ beträgt und im Bereich von $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ bis $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ die Tangensfunktion streng monoton steigt, also lediglich eine positive Steigung vorliegt, besitzt die Tangensfunktion keine Extremstellen.

Wendepunkte der Tangensfunktion

Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt dann die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.

Schau dir wieder das Schaubild der Tangensfunktion an, um die Wendepunkte zu bestimmen:

Abbildung 8: Wendepunkte der Tangensfunktion

Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen $x_{-1}=-\mathrm{\pi }$, $x_0=0$, $x_1=\mathrm{\pi }$ und $x_2=2\mathrm{\pi }$ ein Wendepunkt existiert.

Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt $y=0$.

Vielleicht hast du bemerkt, dass die Wendestellen den Nullstellen entsprechen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

Jetzt weißt du eine ganze Menge über die Tangensfunktion. Für einen kurzen Überblick aller Eigenschaften der Tangensfunktion kannst du dir noch den nächsten Abschnitt durchlesen.