Tangente an Parabel

Der Berührpunkt ist $B\left(2\right|3)$. Durch die Tangente in diesem Punkt weißt Du, dass die Steigung der Funktion in diesem Punkt bei $m=2$ liegt. Der Graph steigt also in diesem Punkt.

Abbildung 4: Tangente an Parabel

Aufgabe 1

Gegeben ist die quadratische Funktion $f\left(x\right)=-2x^2+3$. Berechne die Tangentengleichung im Punkt $P\left(1\right|1)$ mithilfe von Ableitungen.

Lösung

1. Schritt

Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -2x^2+3\\ f\text{'}\left(x\right)& =& -2·2x\\ & =& -4x\end{array}$

2. Schritt

Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein.

$\begin{array}{ccc}f\text{'}\left(x\right)& =& -4x\\ f\text{'}\left(1\right)& =& -4·1\\ y& =& -4\end{array}$

Der errechnete y-Wert ist dabei auch die Tangentensteigung m_t.

$y=m_t=-4$

3. Schritt

Als Nächstes stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.

$\begin{array}{cccc}y& =& m_t·x+n& |-m_t·x\\ n& =& y-m_t·x& \end{array}$

Setze nun den Punkt P und den Anstieg m_t ein und berechne n.

$$\begin{gathered} n=y-m_t·x \\ n=1-(-4)·1 \\ n=1+4 \\ n=5 \end{gathered}$$

4. Schritt

Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

$$\begin{gathered} y=m_t·x+n \\ y=-4x+5 \end{gathered}$$

Die Tangentengleichung am Punkt P lautet $y=-4x+5$.

Abbildung 11: Parabel mit Tangente

Aufgabe 2

Gegeben ist die quadratische Funktion $f\left(x\right)=-2x^2+3$. Berechne die Tangentengleichung im Punkt $P\left(1\right|1)$, ohne die Funktionen abzuleiten.

Lösung

1. Schritt

Setze als Erstes die Funktionsgleichung und die Tangentengleichung gleich.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -2x^2+3\\ t\left(x\right)& =& mx+n\\ & & \\ f\left(x\right)& =& t\left(x\right)\\ -2x^2+3& =& mx+n\end{array}$

2. Schritt

Jetzt stellst Du die allgemeine Tangentengleichung nach n um.

$\begin{array}{rcll}y& =& mx+n& |-mx\\ n& =& y-mx& \left|P\right(1\left|1\right)\\ n& =& 1-1m& \end{array}$

3. Schritt

Nun setze die umgestellte Tangentengleichung für n in die Gleichung vom 1. Schritt ein.

$\begin{array}{cclc}-2x^2+3& =& mx+n& |n=1-m\\ -2x^2+3& =& mx+1-m& \end{array}$

4. Schritt

Diese Gleichung stellst Du jetzt um, sodass Du die pq-Formel anwenden kannst.

$\begin{array}{rcll}-2x^2+3& =& mx+1-m& |-(mx+1-m)\\ 0& =& -2x^2+3-mx-1+m& \\ 0& =& -2x^2-mx+2+m& |÷(-2)\\ 0& =& x^2+\frac{mx}{2}-1-\frac{m}{2}& \end{array}$

Dann wendest Du die pq-Formel an.

$\begin{array}{rcl}{x}_{1,2}& =& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\\ x_{1,2}& =& -\frac{\frac{m}{2}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\frac{m}{2}}{2}\right)}^2+2+\frac{m}{2}}\\ x_{1,2}& =& -\frac{m}{4}\pm \sqrt{{\left(\frac{m}{4}\right)}^2+2+\frac{m}{2}}\\ x_{1,2}& =& -\frac{m}{4}\pm \sqrt{\frac{m^2}{16}+2+\frac{m}{2}}\end{array}$

5. Schritt

Da Du nur eine Lösung erhalten möchtest, setzt Du den Wurzelterm gleich null.

$\begin{array}{ccc}0& =& \frac{m^2}{16}+2+\frac{m}{2}\end{array}$

6. Schritt

Die Wurzelgleichung stellst Du dann so um, dass Du wieder die pq-Formel anwenden kannst. Wenn Du diese anwendest, erhältst Du eine negative Zahl unter der Wurzel. Diese kannst Du jedoch ignorieren und der vordere $-\frac{p}{2}$-Term ist der Anstieg der Tangente.

$\begin{array}{rclc}0& =& \frac{m^2}{16}+2+\frac{m}{2}& |·16\\ 0& =& m^2+8m+32& \\ m_{1,2}& =& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}& \\ m_{1,2}& =& -\frac{8}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2-32}& \\ m_{1,2}& =& -4\pm \sqrt{16-32}& \\ m& =& -4& \end{array}$

7. Schritt

Jetzt musst Du noch das n berechnen. Setze dafür das m in die Gleichung aus dem 2. Schritt ein.

$\begin{array}{cclc}n& =& 1-1m& |m=-4\\ n& =& 1-1·(-4)& \\ n& =& 5& \end{array}$

8. Schritt

Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

$$\begin{gathered} y=mx+n \\ y=-4x+5 \end{gathered}$$

Die Tangentengleichung am Punkt P lautet $y=-4x+5$.

Abbildung 12: Parabel mit Tangente

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=0,5x^2-1$ und der Punkt $P\left(0\right|-1,5)$. Stelle die Tangentengleichung durch den Punkt P an die Funktion f auf.

Lösung

1. Schritt

Als Erstes setze die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0,5x^2-1\\ t\left(x\right)& =& mx+n\\ & & \\ f\left(x\right)& =& t\left(x\right)\\ 0,5x^2-1& =& mx+n\end{array}$

2. Schritt

Stelle die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.

$\begin{array}{rlll}0,5x^2-1& =& mx+n& |-(mx+n)\\ 0& =& 0,5x^2-1-mx-n& |÷0,5\\ 0& =& x^2-2mx-2-2n& \end{array}$

Wende die pq-Formel an.

$\begin{array}{rcl}0& =& x^2-2mx-2-2n\\ x_{1,2}& =& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\\ x_{1,2}& =& -\frac{\cancel{2}m}{\cancel{2}}\pm \sqrt{{\left(\frac{\cancel{2}m}{\cancel{2}}\right)}^2+2+2n}\\ x_{1,2}& =& -m\pm \sqrt{m^2+2+2n}\end{array}$

3. Schritt

Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.

$\begin{array}{rcll}0& =& m^2+2+2n& |-2n\\ -2n& =& m^2+2& |÷(-2)\\ n& =& -\frac{m^2}{2}-1& \end{array}$

4. Schritt

Setze in die allgemeine Tangentengleichung den Wert für n und den Punkt P ein und berechne anschließend m.

$\begin{array}{rclc}t\left(x\right)& =& mx-\frac{m^2}{2}-1& \left|P\right(0|-1,5)\\ -1,5& =& m·0-\frac{m^2}{2}-1& \end{array}$

$\begin{array}{rcll}-1,5& =& -\frac{m^2}{2}-1& |+1\\ -0,5& =& -\frac{m^2}{2}& |·(-2)\\ 1& =& m^2& |\sqrt{}\\ m_{1,2}& =& \pm \sqrt{1}& \\ m_{1,2}& =& \pm 1& \end{array}$

5. Schritt

Berechne n für beide Anstiege m.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}y& =& mx+n\\ -1,5& =& -1·0+n\\ n& =& -1,5\end{array} \\ \begin{array}{ccc}-1,5& =& 1·0+n\\ n& =& -1,5\end{array} \end{gathered}$$

6. Schritt

Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.

$$\begin{gathered} t_1\left(x\right)=-1x-1,5 \\ {t}_2\left(x\right)=1x-1,5 \end{gathered}$$

Abbildung 13: Tangente von außen an Parabel

Aufgabe 4

Zeichne eine Tangente an der Funktion $f\left(x\right)=-2x^2+3$ im Punkt $P(-1|1)$. Die Steigung der Tangente beträgt 4.

Lösung

Da es sich um einen positiven Anstieg handelt, legst Du das Steigungsdreieck leicht anders an.

Du gehst als Erstes eine Kästchen nach rechts und dann vier Kästchen nach oben. Zum Schluss verlängerst Du noch die Hypotenuse des Dreiecks und erhältst die Tangente im Punkt B.

Abbildung 14: Tangente konstruieren

Aufgabe 5

Berechne die Tangente der Funktion $f\left(x\right)=-{(x-3)}^2+1$ im Punkt $P\left(1\right|-3)$. Nutze die Ableitungsregeln.

Lösung

1. Schritt

Du leitest die Funktion f ab und fasst anschließend zusammen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -{(x-3)}^2+1\\ f\text{'}\left(x\right)& =& -2(x-3)·1\\ & =& -2x+6\end{array}$

2. Schritt

Jetzt setzt Du den x-Wert vom Punkt P in die Ableitung ein und berechnest y und gleichzeitig m_t.

$\begin{array}{ccll}f\text{'}\left(x\right)& =& -2x+6& \\ f\text{'}\left(1\right)& =& -2·1+6& \\ & =& 4& =m_t\end{array}$

3. Schritt

Als Nächstes berechnest Du n über die allgemeine Tangentengleichung.

$\begin{array}{ccll}y& =& mx+n& |m=4;P(1|-3)\\ -3& =& 4·1+n& |-4\\ -7& =& n& \end{array}$

4. Schritt

Zum Schluss stellst Du die Tangentengleichung auf.

$$\begin{gathered} y=mx+n \\ y=4x-7 \end{gathered}$$

Aufgabe 6

An die Funktion $f\left(x\right)=-0,25x^2-2$ sollen zwei Tangenten angelegt werden, welche durch den Punkt $P\left(0\right|-1)$gehen. Der Punkt P liegt nicht auf dem Funktionsgraphen. Berechne die Gleichungen der beiden Tangenten.

Lösung

1. Schritt

Als Erstes setzt Du die Funktionsgleichung und die allgemeine Tangentengleichung gleich.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -0,25x^2-2\\ t\left(x\right)& =& mx+n\\ & & \\ f\left(x\right)& =& t\left(x\right)\\ -0,25x^2-2& =& mx+n\end{array}$

2. Schritt

Danach stellst Du die Gleichung so um, dass Du die pq-Formel anwenden kannst.

$\begin{array}{rcll}-0,25x^2-2& =& mx+n& |-(mx+n)\\ 0& =& -0,25x^2-mx-n-2& |÷(-0,25)\\ 0& =& x^2+\frac{m}{0,25}x+\frac{n}{0,25}+8& \end{array}$

Jetzt wendest Du die pq-Formel an.

$\begin{array}{rcl}0& =& x^2+\frac{m}{0,25}x+4n+8\\ x_{1,2}& =& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\\ x_{1,2}& =& -\frac{\frac{m}{0,25}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\frac{m}{0,25}}{2}\right)}^2-4n-8}\\ x_{1,2}& =& -8m\pm \sqrt{64m^2-4n-8}\end{array}$

3. Schritt

Den Wurzelterm der pq-Formel setzt Du gleich null und stellst nach n um.

$\begin{array}{rcll}0& =& 64m^2-4n-8& |+4n\\ 4n& =& 64m^2-8& |÷4\\ n& =& 16m^2-2& \end{array}$

4. Schritt

Setze den Wert für n und den Punkt P in die allgemeine Tangentengleichung ein und berechne m.

$\begin{array}{rclc}t\left(x\right)& =& mx+16m^2-2& \left|P\right(0|-1)\\ -1& =& m·0+16m^2-2& \end{array}$

$\begin{array}{rcll}-1& =& 16m^2-2& |+2\\ 1& =& 16m^2& |÷16\\ m^2& =& \frac{1}{16}& |\sqrt{}\\ m_{1,2}& =& \pm \sqrt{\frac{1}{16}}& \\ m_{1,2}& =& \pm \frac{1}{4}& \end{array}$

5. Schritt

Da Du den Punkt $P\left(0\right|-1)$ gegeben hast und dieser auf der y-Achse liegt, benötigst Du kein n und kannst es aus dem Punkt übernehmen.

6. Schritt

Zum Schluss stellst Du beide Tangentengleichungen auf.

$\begin{array}{ccc}y& =& mx+n\\ t_1\left(x\right)& =& \frac{1}{4}x-1\\ t_2\left(x\right)& =& -\frac{1}{4}x-1\end{array}$