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Die trigonometrischen Funktionen finden sowohl in der Schulmathematik, als auch in vielen anderen naturwissenschaftlichen Bereichen Anwendung.
Trigonometrischen Funktionen – Übersicht
Die trigonometrischen Funktionen bestehen aus der Sinus-, der Kosinus- und der Tangensfunktion.
Es handelt sich bei allen drei Funktionen um periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sich nach einer Periode derselbe
wiederholt und das immer und immer wieder.
Du bekommst hier einen groben Überblick über die drei trigonometrischen Funktionen mit ihren wichtigsten Eigenschaften. Wenn du mehr zu einer bestimmten Funktion erfahren möchtest, lies dir unsere Artikel Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion durch.
Trigonometrische Funktionen – Formeln
Zuerst kannst du dir die Funktionsgleichungen der drei trigonometrischen Funktionen anschauen.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion |
Dabei fällt auf, dass die Tangensfunktion von der Sinus- und Kosinusfunktion abhängt.
Dies führt allerdings auch dazu, dass die Tangensfunktion Definitionslücken besitzt - nämlich genau an den Nullstellen der Kosinusfunktion, da in diesem Fall durch null geteilt werden würde.
Trigonometrische Funktionen – Schaubilder
Als nächstes kannst du dir die Schaubilder der trigonometrischen Funktionen anschauen.
| Funktion | Schaubild |
| Sinus |
|
| Kosinus |
|
| Tangens |
|
Bei den Schaubilder fällt dir vielleicht auf, dass die Sinus- und die Kosinusfunktion sehr ähnlich aussehen. Das kommt daher, dass die Kosinusfunktion lediglich durch eine Verschiebung um nach links durch die Sinusfunktion entsteht.
Die Kosinusfunktion wird trotz der Ähnlichkeit zur Sinusfunktion gesondert betrachtet, da es manchmal in praktischen Anwendungen einfacher ist, die Kosinusfunktion statt der Sinusfunktion zu nutzen.
Trigonometrischen Funktionen – Wertebereich
Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen gibt an, welche maximalen und minimalen die Funktionen annehmen können.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion |
Wie du siehst, deckt sich der Wertebereich der Sinusfunktion mit dem der Kosinusfunktion. In beiden Fällen werden die nie größer als
und nie kleiner als
.
Lediglich der Wertebereich der Tangensfunktion ist ein anderer. Bei der Tangensfunktion laufen die im Bereich
gegen
und im Bereich
gegen
. Damit entsteht der Wertebereich
der Tangensfunktion.
Trigonometrische Funktionen – Periode
Wie bereits am Anfang des Artikels erwähnt, handelt es sich bei allen drei trigonometrischen Funktionen um periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sich ihre in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben
gekennzeichnet.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion |
Wie du siehst, beträgt die Periode der Sinus- und Kosinusfunktion
und die derTangensfunktion
.
Das heißt also, dass sich die Schaubilder der drei trigonometrischen Funktionen immer wiederholen.
Da die Sinus- und die Kosinusfunktion eine Periode von besitzen, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Funktionen zwischen
und
genau so aussehen wie zwischen
und
oder zwischen
und
. Das kannst du noch beliebig so weiter machen. Die beiden Funktionen sehen dann zwischen
und
wieder genau so aus.
Trigonometrische Funktionen – Nullstellen
Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen sind wie bei allen anderen Funktionen auch die der Schnittpunkte der trigonometrischen Funktion mit der
.
Die Besonderheit hier ist, dass sich diese aufgrund der Periodizität nach einer halben Periode wiederholen. Die trigonometrischen Funktionen besitzen damit unendlich viele Nullstellen.
Damit kannst du auch eine allgemeine Formel aufstellen, um jede beliebige Nullstelle herauszufinden. Dabei ist eine ganze Zahl.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion |
Wie du sehen kannst, besitzt die Tangensfunktion dieselben Nullstellen wie die Sinusfunktion. Das verdankt die Tangensfunktion ihrer Definition .
Trigonometrische Funktionen ableiten
Als nächstes kannst du die Ableitung der trigonometrischen Funktionen betrachten.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion |
Wie du sehen kannst, hängen auch die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion miteinander zusammen.
Die Ableitung der Tangensfunktion entsteht durch Anwenden der Ableitungsregeln auf die Definition der Tangensfunktion .
Trigonometrische Funktionen – Parameter
Manchmal brauchst du veränderte trigonometrische Funktionen, weil sie dir in der reinen Form oder
nichts bringen.
Dann tauchen plötzlich Parameter auf. Das sind Zahlen, die zum Beispiel an Funktionsgleichungen multipliziert oder addiert werden, um so die Funktion ein wenig zu verändern. Eine leicht veränderte Funktionsgleichung sieht dann vielleicht so aus: .
Die Sinus- und Kosinusfunktion können allgemein wie folgt mit den Parametern verändert werden.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion |
Auf die Tangensfunktion wird an dieser Stelle verzichtet. Aufgrund der Definitionslücken wird der Tangens in der Schule nur in seiner reinen Form betrachtet.
Die Parameter ,
,
und
sind reelle Zahlen. Zudem dürfen die Parameter
und
nicht null sein, denn sonst würden keine trigonometrischen Gleichungen mehr vorliegen.
Einen kurzen Überblick über die Auswirkungen der Parameter findest du in der nachfolgenden Tabelle.
| Parameter | Auswirkung |
| a | Streckung in |
| b | Streckung in |
| c | Verschiebung in |
| d | Verschiebung in |
Wenn du gerne noch mehr zu den Parametern der Sinusfunktion oder Kosinusfunktion wissen möchtest, schau dir unseren Artikel "Trigonometrische Funktionen Parameter" an.
Trigonometrische Funktionen – Bogenmaß
Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius . Für das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenmaß kannst du dir die nächste Definition anschauen.
Zu jedem Bogenmaß gehört auch ein Winkel . Die Beziehung zwischen dem Kreisbogen
und dem Winkel
lässt sich für den Radius
wie folgt aufstellen.
Das Ganze kannst du dir auch noch einmal in der Abbildung 4 am Einheitskreis verdeutlichen.
Da sich das Ganze auf die Sinus- und Kosinusfunktion bezieht, wird hier statt der Bezeichnung b für den Kreisbogen die Variable x gewählt.
Abbildung 4: Einheitskreis
Mit der Formel kannst du das dir bekannte Gradmaß
ins Bogenmaß
umrechnen und umgekehrt.
Mehr zu dem Thema kannst du im Artikel Bogenmaß nachlesen. Hilfreich kann auch der Artikel Einheitskreis sein.
Bogenmaß Tabelle
Um dir noch einen kurzen Überblick über das Grad- und Bogenmaß zu verschaffen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen.
Auch mit dabei sind in der Tabelle die wichtigsten Werte der Sinus- und Kosinusfunktion.
| Winkel | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| Bogenmaß | |||||||
Super, jetzt weißt du schon eine ganze Menge über die trigonometrischen Funktionen. Als Zusammenfassung kannst du dir noch kurz den nächsten Überblick anschauen.
Trigonometrische Funktionen – Das Wichtigste
- Die Formeln der trigonometrischen Gleichungen lauten wie folgt:
- Sinusfunktion:
- Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
- Sinusfunktion:
- Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen sieht wie folgt aus:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Periode:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
- Sinus- und Kosinusfunktion:
- Die Nullstellen der trigonometrischen Funktionen lauten folgendermaßen:
- Sinus- und Tangensfunktion:
- Kosinusfunktion:
- Sinus- und Tangensfunktion:
- Folgende Ableitungen besitzen die trigonometrischen Funktionen:
- Sinusfunktion:
- Kosinusfunktion:
- Tangensfunktion:
- Sinusfunktion:
- Es gibt erweiterte trigonometrische Funktionen mit Parametern. Diese Darstellung sieht wie folgt aus:
- Sinusfunktion:
- Kosinusfunktion:
- Die Parameter haben folgende Auswirkungen auf die reinen trigonometrischen Funktionen:
Parameter Auswirkung a Streckung in mit dem Faktor
Wenn
: Der Graph wird zusätzlich an der
gespiegelt.
b Streckung in mit dem Faktor
Wenn
: Der Graph wird zusätzlich an der
gespiegelt.
c Verschiebung in um
d Verschiebung in um
- Sinusfunktion:
- Das Bogenmaß ist die Länge eines Kreisbogens mit dem Radius
.
- Mit folgender Formel lässt sich das Bogenmaß
ins Winkelmaß
umrechnen und umgekehrt:
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen
Was ist k bei trigonometrischen Funktionen?
Mit Hilfe des k können mehrere Nullstellen, Extremstellen etc. berechnet werden. Wenn zum Beispiel die Nullstellen der Sinusfunktion mit x_k = k*Pi angegeben ist, bedeuetet das, dass für eine ganze Zahl k an jeder Stelle eine Nullstelle existiert. Zum Beispiel x_0=0, x_1=Pi,...
Wie berechnet man die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion?
Die Funktion gleich 0 setzen und nach x umformen.
Was gehört alles zur Trigonometrie?
Die Trigonometrie befasst sich hauptsächlich mit Dreiecken. Dabei spielen die Winkel und Seiten eine wichtige Rolle. Dier können unter anderem mit dem Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden.
Mit Hilfe des Einheitskreises können aus dem Sinus, dem Kosinus und dem Tangens auch Funktionen erstellt werden.
Was beschreiben trigonometrische Funktionen?
Trigonometrische Funktionen beschreiben eine wellenförmige Schwingung.
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