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Die Stammfunktionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benötigst Du immer dann, wenn Du ein Integral mit Sinus, Kosinus oder Tangens bilden möchtest.
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Team Trigonometrische Funktionen integrieren Lehrer
Genauso wie die Ableitungen kannst Du Dir die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen. Diese beinhaltet die Auf- und die Ableitung.
Abbildung 1: Integrationskreis Sinus- und Kosinusfunktion
Da das Integrieren das Gegenteil der Ableitung ist, entsteht durch den Ableitungskreis auch direkt der Integrationskreis – nur in entgegengesetzter Richtung.
Wenn Du Dir diesen Kreislauf merkst, hast Du schon einen Großteil des Integrierens verstanden.
Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Sinusfunktion \(f(x)=-\sin(x)\) lautet:\[F(x) = -\cos(x) +C\]
Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" kannst du noch einmal sehen, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante \(C\) dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) lautet:\[F(x)=\sin(x)+C\]
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Tangensfunktion \(f(x)=\tan(x)\) lautet:\[F(x) =-\ln(|\cos(x)|)+C\]
Jetzt kennst du alle Stammfunktionen der reinen trigonometrischen Funktionen. Jedoch hast du in vielen Aufgaben oft nicht diese reine Version vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern.
Interessanter sind die Stammfunktionen der erweiterten trigonometrischen Funktionen mit den Parametern.
Da du in der Schule hauptsächlich die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst, werden hier nur diese beiden betrachtet.
Zur Erinnerung:
Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Sinusfunktion \(f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\) lautet\[F(x) = -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\]
Die Herleitung dieser Formel erfolgt unter anderem durch Anwendung der linearen Substitution.
Schaue dir das folgende Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.
Aufgabe 1
Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x) = 3\cdot \sin (2\cdot(x-100))+9\).
Lösung
Zuerst musst du die Parameter \(a,\,b,\,c,\,d\) identifizieren.
\(f(x) = \underbrace{3}_a\cdot \sin (\underbrace{2}_b\cdot(x-\underbrace{100}_c))+\underbrace{9}_d\)
Als Nächstes brauchst du die Stammfunktion von Sinus – das ist der negative Kosinus. Damit erhältst du folgende Stammfunktion.
\begin{align}F(x) &= -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\\F(x) &= -\frac{3}{2}\cdot\cos(2\cdot(x-100))+9x+C\end{align}
Das Integrieren der allgemeinen Kosinusfunktion verhält sich wie bei der allgemeinen Sinusfunktion. Dementsprechend erhältst du folgende mathematische Definition:
Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Kosinusfunktion \(f(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\) lautet:
\(f(x) = \frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\)
Schau dir ein Beispiel an, um die Stammfunktion der erweiterten Kosinusfunktion direkt anzuwenden.
Aufgabe 2
Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = 20\cdot \cos(5x-30)+32\).
Lösung
Zuerst musst du den Parameter \(b\) identifizieren. Dazu musst du innerhalb der inneren Funktion erst einmal ausklammern.
\(f(x)=20\cdot \cos(5(x-6))+32\Rightarrow b=5 \)
Als Nächstes musst Du nur noch alle anderen Parameter \(a, \,b,\,c\) ablesen und in die Formel einsetzen. Damit erhältst du folgende Stammfunktion:\begin{align}F(x) &= \frac{20}{5}\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\\&= 4\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\end{align}
Zusammenfassend kannst du dir die folgende Tabelle ansehen:
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | |
| Reine Funktion | \(F(x) = -\cos(x)\) | \(F(x) = \sin(x)\) |
| Erweiterte Funktion | \(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) | \(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) |
Beim "aufleiten" wird aus Sinus, Minus-Kosinus und aus Kosinus wird Sinus.
Als Abschluss kannst du dir noch ein weiteres Beispiel anschauen.
Aufgabe 3
Berechne das Integral \(\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5\).
Lösung
Um das bestimmte Integral zu lösen, wird zuerst die Stammfunktion von \(f(x)\) benötigt. Die Stammfunktion bestimmst Du mit Hilfe der Regel für die Integration der allgemeinen Sinusfunktion.
\( F(x) = -\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x + C\)
Jetzt kannst Du das bestimmte Integral berechnen:
\begin{align}\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5 &=\left[-\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x \right]_\pi^{4\pi}\\ &= -\frac{2}{3}\cos(3\cdot (4\pi-\pi))-(\frac{2}{3}\cdot\cos(3\cdot(\pi-\pi)))\\&=-\frac{2}{3}\cdot \cos(9\pi)+\frac{2}{3}\\&=-\frac{2}{3}\cdot (-1)+\frac{2}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{align}
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | |
| Reine Funktion | \(F(x) = -\cos(x)\) | \(F(x) = \sin(x)\) |
| Erweiterte Funktion | \(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) | \(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) |
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Wie integriert man trigonometrische Funktionen?
Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.
Die Stammfunktion der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion.
Wie integriert man Sinus?
Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.
Was ist minus Cosinus integriert?
Da die Stammfunktion der Kosinusfunktion die Sinusfunktion ist, ist die Stammfunktion der negativen Kosinusfunktion auch die negative Sinusfunktion.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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